Ôn tập chương II | Bài giải HÌNH HỌC 12 | CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU - Lớp 12 - Sách Bài Giải

Bài 1 trang 50 SGK

Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu và cho biết

. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

a) Đường tròn qua ba điểm A, B, C nằm trên mặt cầu.

b) AB là một đường kính của mặt cầu đã cho.

c) AB không phải là đường kính của mặt cầu.

d) AB là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

a) Đúng. Ba điểm A,B,C xác định một mặt phẳng (ABC), giao tuyến của mặt phẳng (ABC) với mặt cầu là một đường tròn, do đó đường tròn đi qua ba điểm A,B,C nằm trên mặt cầu.

b) và c) Sai. Vì chưa kết luận được AB là đường kính của mặt cầu hay không là đường kính của mặt cầu.

d) Đúng. Vì trong đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (ABC) với mặt cầu là một đường tròn, với giả thiết  suy ra AB là đường kính của đường tròn giao tuyến.

Bài 2 trang 50 SGK

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC. Biết AB = AD = a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khúc BDA quanh cạnh AB.

Lời giải:

AD ⊥ (ABC) ⇒ AD ⊥ AB ⇒ ΔABD vuông tại A.

Vì ΔABD vuông góc tại A, nên khi quay BDA quanh AB ta được hình nón tròn xoay đường cao h = AB = a và bán kính đáy bằng r = AD = a.

Gọi l là độ dài đường sinh của hình nón ta có:

Vậy S_xq = πrl = π.a.a√2 = πa²√2

Bài 3 trang 50 SGK

Chứng minh rằng hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau nội tiếp được trong một mặt cầu.

Lời giải:

Cho hình chóp S.A₁A₂A₃...A_n có các cạnh bên bằng nhau.

Giả sử I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy.

Ta có: SA₁ = SA₂ = SA₃ = ... = SA_n

Suy ra ΔSIA₁= ΔSIA₂ = ΔSIA₃ = ... = ΔSIA_n

Suy ra IA₁ = IA₂ = IA₃ = ... = IA_n

Đa giác A₁A₂A₃...A_n là một đa giác nội tiếp được trong một đường tròn tâm I bán kính IA, trục SI.

Trong mp(SAI), đường trung trực của SA₁ cắt SI tại O, ta có:

OS = OA₁ (1)

OA₁ = OA₂ = OA₃ = ... = OA_n (2)

Từ (1) và (2) suy ra OS = OA₁ = OA₂ = OA₃ = ... = OA_n

Vậy hình chóp S.A₁A₂A₃...An nội tiếp được trong một mặt cầu.

Bài 4 trang 50 SGK

Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh SA, SB, SC và tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.

Lời giải:

Gọi mặt cầu đã cho có tâm O và bán kính R.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC và CA.

Gọi I,J và K lần lượt là tiếp điểm của các cạnh bên SA, SB, SC với mặt cầu:

+ Từ giả thiết ta suy ra: OI ⊥ SA; OM ⊥ AB

Xét tam giác OIA và tam giác OMA có:

OA chung

OI = OM = R

⇒ ∆ OIA = ∆OMA (ch-cgv)

⇒ AM = AI.

Chứng minh tương tự có: BM = BJ và SI = SJ (1)

Mà AM = BM nên AI = BJ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SI + IA = SJ + BJ hay SA = SB (3)

* Chứng minh tương tự, ta có SB= SC (4).

Từ (3) và (4) suy ra: SA = SB = SC (*)

Mặt khác: BM = BN (= BJ) và CN = CP (= CK)

Suy ra: AB = 2BM = BC = 2 CN = 2CP = CA

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều (**)

Từ (*) và (**) suy ra, S. ABC là hình chóp tam giác đều.

Bài 5 trang 50 SGK

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD).

a) Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính độ dài đoạn AH.

b) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD và chiều cao AH.

Lời giải:

a) Từ A vẽ AH ⊥ (BCD)

Xét ba tam giác ABH, ACH và ADH có:

AB = AC = AD ( vì ABCD là tứ diện đều).

AH chung

⇒ ∆ ABH = ∆ ACH = ∆ ADH (ch-cgv)

Suy ra, HB = HC = HD. Do đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Do tam giác BCD là tam giác đều nên H đồng thời là trọng tâm tam giác BCD.

Gọi M là trung điểm CD. Ta có:

Xét tam giác AHB vuông tại H có:

b) Ta có:

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

Thể tích của khối trụ là:

Bài 6 trang 50 SGK

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên Δ lấy điểm S sao cho OS = a/2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó. 

Lời giải:

Bài 7 trang 50 SGK

Cho hình trụ có bán kính đáy r, trục OO' = 2r và mặt cầu đường kính OO'.

a) Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.

b) Hãy so sánh thể tích khối trụ và thể tích khối cầu được tạo nên bởi hình trụ và mặt cầu đã cho.

Lời giải:

a) Do trục OO’= 2r nên chiều cao của khối trụ là h = 2r.

Mặt cầu có đường kính là OO’= 2r nên bán kính của mặt cầu là: R = r.

Diện tích mặt cầu là:

S_c = 4πR² = 4πr²

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

S_t = 2πr.h = 2πr.2r = 4πr²

Vậy S_c = S_t.

b) Thể tích khối trụ là:

V_t = π.r².h = π.r².2r = 2πr³

Thể tích khối cầu là: