Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian | Bài giải HÌNH HỌC 12 | CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - Lớp 12 - Sách Bài Giải

Câu hỏi 1 trang 63 SGK

Trong không gian Oxyz, cho một điểm M. Hãy phân tích vecto

theo 3 vectơ không đồng phẳng đã cho trên các trục Ox, Oy, Oz.

Lời giải:

Câu hỏi 2 trang 64 SGK

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O, có theo thứ tự cùng hướng với và có AB = a, AD = b, AA’ = c. Hãy tính tọa độ các vectơ

và  với M là trung điểm của cạnh C’D’.

Lời giải:

Dựa vào đề bài ta có hình vẽ sau:

Ta có: A(0; 0; 0) trùng với gốc tọa độ.

Vì B ∈ Ax nên B(a; 0; 0) (trong đó a là độ dài đại số của đoạn AB)

Tương tự ta suy ra các đỉnh D(0; b; 0), A′(0; 0; c)

Điểm C thuộc mp (Axy) nên tọa độ C có dạng (x; y; 0) trong đó x là độ dài đại số của AB, y là độ dài đại số của AD.

Suy ra C (a; b; 0)

Tương tự ta suy ra D′(0; b; c), B′(a; 0; c), C′(a; b; c), M (a/2; b; c).

Từ đó, suy ra tọa độ các vectơ là:

Câu hỏi 3 trang 66 SGK

Với hệ tọa độ Oxyz trong không gian, cho

Hãy tính

Lời giải:

Câu hỏi 4 trang 67 SGK

Viết phương trình mặt cầu tâm I (1; -2; 3) có bán kính r = 5.

Lời giải:

Phương trình mặt cầu là: (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 5²

Bài 1 trang 68 SGK

Cho ba vectơ:

a) Tính tọa độ của vectơ 

b) Tính tọa độ của vectơ 

Lời giải:

Kiến thức áp dụng

Trong hệ trục tọa độ không gian Oxyz:

Bài 2 trang 68 SGK

Cho ba điểm A(1; -1; 1), B(0; 1; 2), C(1; 0; 1). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Lời giải:

Bài 3 trang 68 SGK

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A = (1; 0; 1), B = (2; 1; 2), D = (1; –1; 1), C' = (4; 5; –5). Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Lời giải:

Ta có:

Vì ABCD là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành:

⇒ C = (2; 0; 2)

⇒

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên:

Kiến thức áp dụng

Bài 4 trang 68 SGK

Tính

Lời giải:

Kiến thức áp dụng

Tích vô hướng của hai vec tơ và là:

Bài 5 trang 68 SGK

Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:

a) x² + y² + z² – 8x – 2y + 1 = 0

b) 3x² + 3y² + 3z² – 6x + 8y + 15z – 3 = 0

Lời giải:

Kiến thức áp dụng

Mặt cầu tâm I (a; b; c), bán kính R có phương trình:

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R²

⇔ x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + a² + b² + c² – R² = 0

Bài 6 trang 68 SGK

Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:

a) Có đường kính AB với A = (4; –3; 7), B = (2; 1; 3).

b) Đi qua điểm A = (5; –2; 1) và có tâm C = (3; –3; 1).

Lời giải:

a) Gọi I là tâm mặt cầu.

Suy ra, I là trung điểm AB (do AB là đường kính).

Bán kính

Vậy phương trình mặt cầu là:

(x – 3)² + (y + 1)² + (z – 5)² = 9.

b) Vì A nằm trên mặt cầu có tâm C nên bán kính

R = CA =

Phương trình mặt cầu là:

(x – 3)² + (y + 3)² + (z – 1)² = 5.