Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn | Toán 9 - Tập 1 | Chương V: Đường tròn - Lớp 9 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

(Trang 99)

Người ta gieo một đồng xu hình tròn bán kính 1 cm lên một tờ giấy trải phẳng. Trên tờ giấy đó có vẽ những đường thẳng song song cách đều, tức là những đường thẳng song song mà khoảng cách giữa hai đường thẳng bất kì nằm cạnh nhau luôn bằng nhau. Nếu khoảng cách ấy luôn bằng 2 cm thì có thể xảy ra những trường hợp nào sau đây, vì sao?

a) Đồng xu đè lên một đường thẳng (đồng xu che khuất một phần của đường thẳng).

b) Đồng xu không đè lên đường thẳng nào;

c) Đồng xu đè lên nhiều hơn một đường thẳng.

1 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

Số điểm chung của đường thẳng và đường tròn

HĐ1 Cho đường thẳng a và điểm O. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống a, và A là một điểm thuộc tia OH. Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy vẽ đường tròn (O; OA) và cho biết đường thẳng a và đường tròn (O; OA) có bao nhiêu điểm chung?

Hình 5.25

(Trang 100)

1) Đường thẳng a và đường tròn (O) gọi là cắt nhau nếu chúng có đúng hai điểm chung (H.5.26a).

2) Đường thẳng a và đường tròn (O) gọi là tiếp xúc với nhau nếu chúng có duy nhất một điểm chung H. Điểm chung ấy gọi là tiếp điểm. Khi đó, đường thẳng a còn gọi là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại H (H.5.26b).

3) Đường thẳng a và đường tròn (O) gọi là không giao nhau nếu chúng không có điểm chung (H.5.26c).

Nhận xét

1) Cho đường thẳng a và đường tròn (O; R). Gọi d là khoảng cách từ O đến a. Từ HĐ1, ta nhận thấy: Đường thẳng a và đường tròn (O; R) cắt nhau khi d < R (H.5.26a), tiếp xúc với nhau khi d = R (H.5.26b) và không giao nhau khi d > R (H.5.26c).

Hình 5.26

2) Nếu đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O) tại H thì OH ⊥ a.

Luyện tập 1

Cho đường thẳng a và điểm O cách a một khoảng bằng 4 cm. Không vẽ hình, hãy dự đoán xem mỗi đường tròn sau cắt, tiếp xúc hay không cắt đường thẳng a. Tại sao?

a) (O; 3 cm);             b) (O; 5 cm);                c) (O,4 cm).

2 DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc với nhau khi nào?

HĐ2 Cho đoạn thẳng OH và đường thẳng a vuông góc với OH tại H.

a) Xác định khoảng cách từ O đến đường thẳng a.

b) Nếu vẽ đường tròn (O, OH) thì đường tròn này và đường thẳng a có vị trí tương đối như thế nào?

Định lí 1 (Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến)

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm nằm trên một đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

(Trang 101)

Ví dụ 1

Cho AB là một dây không đi qua tâm của đường tròn (O). Đường thẳng qua O và vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở điểm C. Chứng minh rằng CB là một tiếp tuyến của (O).

Hình 5.27

Giải (H.5.27)

Gọi D là giao điểm của AB và OC.
Trong tam giác cân AOB (OA = OB), đường cao OD (do OC ⊥ AB) cũng là đường phân giác của góc O, suy ra .

Ta có △AOC = △BOC (c.g.c), vì OC là cạnh chung,   và OA = OB.

Từ đó = = 90° (do OA là tiếp tuyến), tức là CB vuông góc với bán kính OB tai B.

Do đó theo định lí 1, CB cũng là tiếp tuyến của (O).

Luyện tập 2

Cho một hình vuông có độ dài mỗi cạnh bằng 6 cm và hai đường chéo cắt nhau tại I. Chứng minh rằng đường tròn (l; 3 cm) tiếp xúc với cả bốn cạnh của hình vuông.

Thực hành

Cho đường thẳng a và điểm M không thuộc a. Hãy võ đường tròn tâm M tiếp xúc với a.

Vận dụng

Trở lại tình huống mở đầu. Ở đây, ta hiểu đồng xu nằm đè lên một đường thẳng khi đường tròn (hình ảnh của đồng xu) và đường thẳng ấy cắt nhau.

Bằng cách xét vị trí của tâm đồng xu trong một dải nằm giữa hai đường thẳng song song cạnh nhau (cách đều hoặc không cách đều hai đường thẳng đó), hãy chứng minh rằng chỉ xảy ra các trường hợp a và b, không thể xảy ra trường hợp c.

3 HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU CỦA MỘT ĐƯỜNG TRÒN

Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

HĐ3 Cho điểm P ở bên ngoài một đường tròn tâm O. Hãy dùng thước và compa thực hiện các bước vô hình như sau:

- Về đường tròn đường kính PO cắt đường tròn (O) tại A và B;

- Vũ và chứng tỏ các đường thẳng PA và PB là hai tiếp tuyến của (O).

PA và PB gọi là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O).

(Trang 102)

HĐ4 (Dựa vào hình vẽ có được sau HĐ3). Bằng cách xét hai tam giác OPA và OPB, chứng minh rằng:

a) PA = PB;

b) PO là tia phân giác của góc APB;

c) OP là tia phân giác của góc AOB.

Định lí 2

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại điểm P thì:

• Điểm P cách đều hai tiếp điểm;

• PO là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến;

• OP là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính qua hai tiếp điểm.

Hình 5.28

Ví dụ 2

Cho hai tiếp tuyến PA và PB của đường tròn (O; R) (A và B là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng OP ⊥ AB;

b) Tính PA và PE, biết R = 2 cm và PO = 4 cm.

Giải (H.5.29)

a) Do OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên theo Định lí 2, ta có OP là tia phân giác của góc AOB. Trong tam giác cân AOB (OA = OB), đường phân giác OP cũng là đường cao nên ta có OP ⊥ AB.

b) Tam giác OAP có = 90° (do PA tiếp xúc với đường tròn (O) tại A) và OA = R = 2 cm và OP = 4 cm (giả thiết).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông OAP ta có .

Từ đó suy ra:

.

Vậy (cm)

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta cũng có BP =

(Trang 103)

Thử thách nhỏ

Cho góc xPy và điểm A thuộc tia Px. Hãy vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với cả hai cạnh của góc xPy sao cho A là một trong hai tiếp điểm.

BÀI TẬP

5.20. Bạn Thanh cắt 4 hình tròn bằng giấy có bán kính lần lượt là 4 cm, 6 cm, 7 cm và 8 cm để dán trang trí trên một mảnh giấy, trên đó có vẽ trước hai đường thẳng a và b. Biết rằng a và b là hai đường thẳng song song với nhau và cách nhau một khoảng 6 cm (nghĩa là mọi điểm trên đường thẳng b đều cách a một khoảng 6 cm). Hỏi nếu bạn Thanh dán sao cho tâm của cả 4 hình tròn đều nằm trên đường thẳng b thì hình nào đè lên đường thẳng a, hình nào không đè lên đường thẳng a?

5.21. Cho đường tròn (O) đi qua ba đỉnh A, B và C của một tam giác cân tại A. Chúng minh rằng đường thẳng đi qua A và song song với BC là một tiếp tuyến của (O).

5.22. Cho góc xOy với đường phân giác Ot và điểm A trên cạnh Ox, điểm B trên cạnh Oy sao cho OA = OB. Đường thẳng qua A và vuông góc với Ox cắt Ot tại P. Chứng minh rằng OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (P; PA).

5.23. Cho SA và SB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm). Gọi M là một điểm tuỳ ý trên cung nhỏ AB. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt SA tại E và cắt SB tại F.

a) Chứng minh rằng chu vi của tam giác SEF bằng SA + SB.

b) Giả sử M là giao điểm của đoạn SO với đường tròn (O). Chứng minh rằng SE = SF.