Bài 2: Giải hệ hai phương trình bật nhất hai ẩn | Toán 9 - Tập 1 | Chương I: Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn - Lớp 9 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

(Trang 11)

Khái niệm, thuật ngữ

• Phương pháp thế
• Phương pháp cộng đại số

Kiến thức, kĩ năng

Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số hoặc sử dụng máy tính cầm tay.

Một mảnh vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Hãy tính số cây cải bắp được trồng trên mảnh vườn đó, biết rằng:

– Nếu tăng thêm 8 luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cải bắp của cả vườn sẽ ít đi 108 cây,

– Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số cải bắp cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây.

PHƯƠNG PHÁP THẾ

Làm quen với phương pháp thế

HĐ1 Cho hệ phương trình

. Giải hệ phương trình theo hướng dẫn sau:

1. Từ phương trình thứ nhất, biểu diễn y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình với một ẩn x.
2. Giải phương trình một ẩn đó để tìm giá trị của x. 2. Sử dụng giá trị tìm được của x để tìm giá trị của y rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.

Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: bằng phương pháp thế.

Giải 

Từ phương trình thứ hai của hệ ta có y = 2x-3. Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được x+2(2x-3)=4 hay 5x-6=4, suy ra x=2.

Từ đó y=2.2-3=1. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (2;1).

(Trang 12)

Luyện tập 1

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) ;            b)

Tùy theo hệ phương trình, ta có thể lựa chọn cách biểu diễn x theo y hoặc biển diễn y theo x.

Ví dụ 2: 

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Giải 

Từ phương trình thứ nhất ta có x=y-2. Thế vào phương trình thứ 2, ta được 2(y-2)-2y=8 hay 0y-4=8      (1)

Do không có giá trị nào của y thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Luyện tập 2: 

Giải hệ phương trình

bằng phương pháp thế.

Ví dụ 3: 

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Giải 

Từ phương trình thứ nhất ta có y = x -2     (2)

Thế vào phương trình thứ hai, ta được 3x - 3(x-2)=6 hau 0x=0    (3)

Ta thấy mọi giá trị của x đều thỏa mãn      (3)

Với giá trị tùy ý của x, giá trị tương ứng của y được tính bởi     (2).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; x-2) với x ∈ R tùy ý

Luyện tập 3

Giải hệ phương trình  bằng phương pháp thế.

Vận dụng 1

Xét bài toán trong tình huống mở đầu. Gọi x là số luống trong vườn, y là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống (x,y =N*).

a) Lập hệ phương trình đối với hai ẩn x, y.

b) Giải hệ phương trình nhận được ở câu a để tìm câu trả lời cho bài toán.

(Trang 13)

PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

Làm quen với phương pháp cộng đại số

HĐ2 Cho hệ phương trình (II) . Ta thấy hệ số của y trong hai phương trình là hai số đối nhau (tổng của chúng bằng 0). Từ đặc điểm đó, hãy giải hệ phương trình đã cho theo hướng dẫn sau:

1. Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn x. Giải phương trình này để tìm x.
2. Sử dụng giá trị x tìm được, thay vào một trong hai phương trình của hệ để tìm giá trị của y rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

Để giải một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Cộng hay trừ từng về của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.

Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ 4:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

Giải 

Cộng từ vế hai phương trình ta được 8y=16, suy ra y=2.

Thế y-2 vào phương trình thứ hai ta được 2x+3.2=4, hay 2x=-2, suy ra x=-1.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (-1;2).

Ví dụ 5: 

Giải hệ phương trình

bằng phương pháp cộng đại số:

Giải 

Trừ từng vế của hai phương trình, ta được (5x-5x)+(-7y+3y)=9-1 hay -4y=8, suy ra y=-2

Thế y=-2 vào phương trình thứ nhất, ta được 5x-7.(-2)=9 hay 5x + 14=9, suy ra x=-1. 

Vậy hệ hai phương trình đã cho có nghiệm là (-1;-2)

(Trang 14)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

(Trang 15)

SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÌM NGHIỆM

Cách tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng máy tính cầm tay

Muốn tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng máy tính cầm tay (MTCT), chúng ta cần sử dụng loại máy có chức năng này (thường có phím MODE).

Trước hết ta phải viết hệ phương trình cần tìm nghiệm dưới dạng:

Chú ý

1. Muốn xoá số vừa mới nhập thì nhấn phím ; muốn thay đổi số đã nhập ở một vị trí nào đó thì di chuyển con trỏ đến vị trí đó rồi nhập số mới.
2. Nhấn phím hay
   để chuyển đổi hiển thị các giá trị của x và y trong kết quả.
3. Nếu máy báo “Infinite Sol" thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm. Nếu máy báo “No–Solution” thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Vận dụng 2

Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau để tính số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 20% và số mililít dung dịch acid HCI nồng độ 5% cần dùng để pha chế 2 lít dung dịch acid HCI nồng độ 10%.

a) Gọi x là số mililít dung dịch acid HCI nồng độ 20%, y là số mililít dung dịch acid HCI nồng độ 5% cần lấy. Hãy biểu thị qua x và y.

– Thể tích của dung dịch acid HCl 10% nhận được sau khi trộn lẫn hai dung dịch acid ban đầu.

– Tổng số gam acid HCI nguyên chất có trong hai dung dịch acid này.

b) Sử dụng kết quả ở câu a, hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất với hai ẩn là x, y. Giải hệ phương trinh này để tính số mililit cần lấy của mỗi dung dịch acid HCl ở trên.

(Trang 17)

(Trang 18)

(Trang 19)

LUYỆN TẬP CHUNG

(Trang 20)