Nội Dung Chính
Trang 45
Vectơ trong mặt phẳng là một công cụ hữu hiệu để biểu diễn các đối tượng hình học và các đại lượng có hướng trong mặt phẳng. Với mục đích tương tự, người ta cũng đưa ra khái niệm vectơ trong không gian. Khái niệm này là cơ sở để xây dựng toạ độ trong không gian, từ đó cho phép đại số hoá các bài toán hình học không gian và giải quyết chúng bằng các biến đổi đại số.
Tờ tiền 200 Phờ-răng của Thụy Sĩ gợi lên hình ảnh về một hệ toạ độ trong không gian.
| THUẬT NGỮ Vectơ trong không gian | KIẾN THỨC, KĨ NĂNG • Nhận biết vectơ trong không gian. • Nhận biết và thực hiện các phép toán vectơ trong không gian. |
Ở lớp 10, ta đã biết về vectơ trong mặt phẳng và biết sử dụng vectơ để biểu thị các đại lượng có hướng và độ lớn trong mặt phẳng, ví dụ như vận tốc hay lực. Đối với các đại lượng có hướng trong không gian, ta có thể sử dụng vectơ để biểu diễn chúng hay không? Các phép toán vectơ trong trường hợp này giống và khác như thế nào với các phép toán vectơ trong mặt phẳng?
Hình 2.1. Các mũi tên chỉ đường gọi lên hình ảnh về vectơ trong không gian.
Trang 46
1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
HD1. Nhận biết vectơ trong không gian
Trong Hình 2.2, lực căng dây (được tạo ra bởi sức nặng của kiện hàng) được thể hiện bởi các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ.
a) Các đoạn thẳng này cho biết gì về hướng và độ lớn của các lực căng dây?
b) Các đoạn thẳng này có cùng nằm trong một mặt phẳng không?
Hình 2.2
| • Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. • Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. |
Hình 2.3 cho ta ví dụ về một số đại lượng có thể được biểu diễn bởi vectơ trong không gian. Hãy tìm thêm một số ví dụ tương tự.
Hình 2.3. Vận tốc gió và vận tốc của máy bay có thể được biểu diễn bởi vectơ trong không gian.
Chú ý. Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau:
- Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được kí hiệu là 
- Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là 
, 
, 
, 
,...
- Độ dài của vectơ
|, độ dài của vectơ được kí hiệu là ||. - Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó (H.2.4).
Hình 2.4. Đường thẳng d là giá của vectơ
Trang 47
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.5).
a) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tử diện?
b) Trong các vectơ tìm được ở câu a, những vectơ nào có giá nằm trong mặt phẳng (ABC)?
c) Tính độ dài của các vectơ tìm được ở câu a.
Hình 2.5
Giải
a) Có ba vectơ là 
, 
và 
.
b) Trong ba vectơ
và chỉ có hai vectơ và có giá nằm trong mặt phẳng (ABC). c) Vì tứ diện ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 1 nên |
| = |
| = 1. Luyện tập 1. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' (H.2.6). Trong các vectơ , , 
a) Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD)?
b) Hai vectơ nào có cùng độ dài?
Hình 2.6
HĐ2. Hình thành khái niệm hai vectơ cùng phương, cùng hướng/ngược hướng, hai vectơ bằng nhau trong không gian
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (H.2.7).
a) So sánh độ dài của hai vectơ và 
.
b) Nhận xét về giá của hai vectơ và
c) Hai vectơ và có cùng phương không? Có cùng hướng không?
Hình 2.7
Tương tự như trường hợp của vectơ trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau đối với vectơ trong không gian:
| • Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. • Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. • Hai vectơ  và  = , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. |
Nếu hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì hai vectơ đó có bằng nhau không?
Chú ý. Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian:
– Trong không gian, với mỗi điểm O và vectơ cho trước, có duy nhất điểm M sao cho 
Trang 48
– Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như 
, 
,... gọi là các vectơ-không.
– Ta quy ước vectơ-không có độ dài là 0, cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ. Do đó, các vectơ-không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là 
.
Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' (H.2.8).
a) Trong ba vectơ 
, 
, vectơ nào bằng vectơ 
? Giải thích vì sao. b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Xác định điểm M' sao cho 
= .
Hình 2.8
Giải
a) Hai đường thẳng AA' và BC chéo nhau nên hai vectơ và không cùng phương. Do đó, hai vectơ và không bằng nhau.
Tứ giác ACC'A′ là hình bình hành nên AA' // CC' và AA’= CC'. Hai vectơ
có cùng độ dài và cùng hướng nên hai vectơ đó bằng nhau. Tương tự, hai vectơ và 
có cùng độ dài và ngược hướng nên hai vectơ và
b) Gọi M' là trung điểm của cạnh B'C'. Vì tứ giác BCC'B' là hình bình hành nên MM' // BB' và MM' = BB'. Hình lăng trụ ABC.A'B'C' có AA' // BB' và AA' = BB', suy ra MM' // AA' và MM' = AA'. Hai vectơ và có cùng độ dài và cùng hướng nên = . Vậy trung điểm của cạnh B'C' là điểm M' cần tìm.
Luyện tập 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a) Trong ba vectơ 
và 
, vectơ nào bằng vectơ 
? b) Gọi M là một điểm thuộc cạnh AD. Xác định điểm N sao cho 
=
Vận dụng 1. Một toà nhà có chiều cao của các tầng là như nhau. Một chiếc thang máy di chuyển từ tầng 15 lên tầng 22 của toà nhà, sau đó di chuyển từ tầng 22 lên tầng 29. Các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó có bằng nhau không? Giải thích vì sao.
Hình 2.9
Trang 49
2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
a) Tổng của hai vectơ trong không gian
HĐ3. Hình thành khái niệm tổng của hai vectơ trong không gian
Trong không gian, cho hai vectơ và không cùng phương. Lấy điểm A và vẽ các vecto =
= . Lấy điểm A' khác A và vẽ các vectơ 
= , 
(H.2.10). a) Giải thích vì sao 
= 
và = 
b) Giải thích vì sao AA'C'C là hình bình hành, từ đó suy ra 
= 
.
Hình 2.10
Bốn điểm A, B, A', B' đồng phẳng và tứ giác ABB'A' là hình bình hành.
| Trong không gian, cho hai vectơ . Lấy một điểm A bất kì và các điểm B, C sao cho = , = được gọi là tổng của hai vectơ và , kí hiệu là đất + Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ. |
Hình 2.11
Nhận xét. Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng vẫn đúng trong không gian:
– Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì + = .
– Nếu ABCD là hình bình hành thì
= . Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.12). Tính độ dài của vectơ 
+ 
.
Hình 2.12
Giải
Tứ giác ABCD là hình vuông nên = .
Do đó + =
= 
. Tứ giác ADD'A' là hình vuông nên 
, suy ra | +
. Trang 50
Luyện tập 3. Trong Ví dụ 3, hãy tính độ dài của vectơ + 
.
Chú ý. Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tính chất sau:
- Tính chất giao hoán: Nếu và
+ = + . - Tính chất kết hợp: Nếu
+ ) + 
= + (). - Tính chất cộng với vectơ 
: Nếu là một vectơ bất kì thì +
+ = . Từ tính chất kết hợp của phép cộng vectơ trong không gian, ta có thể viết tổng của ba vectơ ,
là + + mà không cần sử dụng các dấu ngoặc. Tương tự đối với tổng của nhiều vectơ trong không gian. Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD (H.2.13). Chứng minh rằng
= + . 
Hình 2.13
Giải
Theo quy tắc ba điểm trong không gian, ta có
+ 
. Từ đó lần lượt áp dụng tính chất của phép cộng vectơ trong không gian, ta được: + = (
) + = + ( + = + ( + ) = +
Luyện tập 4. Cho tứ diện ABCD (H.2.13). Chứng minh rằng 
+ 
= + 
.
HĐ4. Thiết lập quy tắc hình hộp
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (H.2.14). a) Hai vectơ
và có bằng nhau hay không? 
Hình 2.14
Kết quả sau đây được gọi là quy tắc hình hộp.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khi đó, ta có +  = . |
Ta có thể áp dụng quy tắc hình bình hành trong không gian.
Trong Hình 2.14, hãy phát biểu quy tắc hình hộp với các vectơ có điểm đầu là B.
Ví dụ 5. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'(H.2.14). Chứng minh rằng
+ 
= 
. Giải
Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên =
= . Áp dụng quy tắc hình hộp suy ra + + + + = . Luyện tập 5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng 
+ 
= 
. Trang 51
b) Hiệu của hai vectơ trong không gian
HĐ5. Nhận biết vecto đối của một vectơ trong không gian
Hình 2.15
Hình 2.15 mô tả một lọ hoa được đặt trên bàn, trọng lượng của lọ hoa tạo nên một lực tác dụng lên mặt bàn và một phản lực từ mặt bàn lên lọ hoa. Có nhận xét gì về độ dài và hưởng của các vectơ biểu diễn hai lực đó ?
Theo Định luật III Newton, lực tác dụng và phản lực là hai lực cùng phương, ngược hướng và có độ lớn bằng nhau.
Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ 
được gọi là vectơ đối của vectơ , kí hiệu là –.
Chú ý.
- Hai vectơ là đối nhau nếu và chỉ nếu tổng của chúng bằng 
.
- Vectơ 
. - Vectơ được coi là vectơ đối của chính nó.
Tương tự như hiệu của hai vectơ trong mặt phẳng, ta có định nghĩa về hiệu của hai vectơ trong không gian:
Vectơ  được gọi là hiệu của hai vectơ và  – .Trong không gian, phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ. |
Nhận xét. Với ba điểm O, A, B bất kì trong không gian, ta có 
– 
=
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD (H.2.16). Chứng minh rằng:
a) 
và 
là hai vectơ đối nhau;
b) 
- - 
. 
Hình 2.16
Trang 52
Giải
a) Tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD, suy ra AM = CN và AM // CN.
Hai vectơ và có cùng độ dài và ngược hưởng nên chúng là hai vectơ đối nhau.
b) Từ câu a, ta có
. Suy ra – – =
- = 
– = 
= . Luyện tập 6. Trong Ví dụ 6, chứng minh rằng:
a) 
và 
là hai vectơ đối nhau;
b) 
- 
= . Vận dụng 2. Thang cuốn tại các trung tâm thương mại, siêu thị lớn hay nhà ga, sân bay thường có hai làn, trong đó có một lần lên và một làn xuống. Khi thang cuốn chuyển động, vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi làn có là hai vectơ đối nhau hay không? Giải thích vì sao.
Tốc độ di chuyển của thang cuốn thường từ 0,5 m/s đến 0,75 m/s. Khi sử dụng thang cuốn cần giữ tay vịn, tránh đề trang phục vướng vào thang và chú ý giám sát trẻ nhỏ đi cùng.
3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
HĐ6. Hình thành khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC (H.2.17).
Hình 2.17
a) Hai vecto 
và 
có cùng phương không? Có cùng hướng không?
b) Giải thích vì sao 
.
Trang 53
Tương tự như tích của một số với một vectơ trong mặt phẳng, ta có định nghĩa về tích của một số với một vectơ trong không gian:
Trong không gian, tích của một số thực k ≠ 0 với một vectơ   là một vectơ, kí hiệu là k, được xác định như sau:- Cùng hướng với vectơ nếu k > 0; ngược hướng với vectơ nếu k < 0;- Có độ dài bằng |k| · | Trong không gian, phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một số với một vectơ. |
Hai vectơ 
và có bằng nhau không? Hai vectơ 
và 
Chú ý
- Quy ước k = 0 nếu k = 0 hoặc = .
- Nếu k =
= . - Trong không gian, điều kiện cần và đủ để hai vectơ và 
(
) cùng phương là có một số thực k sao cho = k. Ví dụ 7. Trong HĐ6, gọi O là giao điểm của AB và A'B (H.2.18). Chứng minh rằng 
.
Hình 2.18
Giải
Vì O là trung điểm của AB' nên OM là đường trung bình của tam giác AB'B. Suy ra B'B // OM và B'B = 2OM. Tứ giác BCC'B' là hình bình hành nên B'B // C'C và B'B = C'C. Do đó C'C // OM và C'C = 2OM. Vì hai vecto 
và 
ngược hướng nên .
Luyện tập 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB sao cho 
; 
. Chú ý. Tương tự như phép nhân một số với một vectơ trong mặt phẳng, phép nhân một số với một vectơ trong không gian có các tính chất sau:
- Tính chất kết hợp: Nếu h, k là hai số thực và là một vectơ bất kì thì 
.
- Tính chất phân phối: Nếu h, k là hai số thực và , 
và 
. - Tính chất nhân với 1 và –1: Nếu là một vectơ bất kì thì 1 =
= -. Trang 54
Ví dụ 8. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD (H.2.19). Chứng minh rằng 
+ 
+ 
. 
Hình 2.19
Giải
Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên 
+ 
+ 
. Do đó ta có: + + =
+ + + + + ( + + ) = 3 = 3. Chú ý. Tương tự như trong mặt phẳng, nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với điểm O tuỳ ý, ta có
+ 
+ 
. Luyện tập 8. Trong Ví dụ 8, gọi I là điểm thuộc đoạn thẳng AG sao cho 
= 3
(H.2.19). Chứng minh rằng:
+ 
+ 
= . | Điểm I trong Luyện tập 8 được gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD. |
Vận dụng 3. Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học (H.2.20). Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900 km/h lên 920 km/h, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900 km/h và 920 km/h lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ 
, và 
= k, với k là một số thực dương nào đó. Tính giá trị của k (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). 
Lực nâng
Lực đẩy
Lực cản của không khí
Trọng lực
Hình 2.20
4.TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
a) Góc giữa hai vectơ trong không gian
HĐ7. Hình thành khái niệm góc giữa hai vectơ trong không gian
Trong không gian, cho hai vectơ , 
. Lấy điểm O và vẽ các vecto 
= , 
= 
= , 
= (H.2.21). a) Giải thích vì sao 
. b) Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác OAB và O'A'B' để giải thích vì sao 
= 
.
Trang 55
Hình 2.21
Áp dụng định lí côsin cho tam giác OAB, ta có: 
.
Trong không gian, cho hai vectơ  ,  khác  . Lấy một điểm O bất kì và gọi A, B là hai điểm sao cho  ,  = . Khi đó, góc  (0° < và , kí hiệu là (, ). |
Hình 2.22
Nếu góc giữa hai vectơ và là 90° thì ta nói hai vectơ và
⊥ . Chú ý
– Để xác định góc giữa hai vectơ 
và 
trong không gian ta có thể lấy điểm E sao cho 
, khi đó (, ) = 
(H.2.23). 
Hình 2.23
– Quy ước góc giữa một vectơ bất kì và có thể nhận một giá trị tuỳ ý từ 0° đến 180°.
Xác định góc giữa hai vectơ cùng hướng (và khác ), góc giữa hai vectơ ngược hướng trong không gian.
Trang 56
Ví dụ 9. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' (H.2.24). Tính góc giữa các cặp vectơ sau:
a) 
và 
;
b) 
. 
Hình 2.24
Giải
a) Hai vectơ và cùng hưởng nên (
)=0. b) Vì tứ giác ADD'A' là hình bình hành nên = . Do đó (,
, ) = 
. Tam giác ADC vuông cân tại D nên = 45°, vì vậy () = 45°. Luyện tập 9. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' (H.2.25). Tính các góc (
, 
) và (
, 
Hình 2.25
b) Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
HĐ8. Nhận biết khái niệm tích vô hưởng của hai vecto trong không gian
Hãy nhắc lại công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng.
Trong không gian, cho hai vectơ  ,  đều khác  . Tích vô hướng của hai vectơ là một số, kí hiệu là · , được xác định bởi công thức: . |
Chú ý
– Quy ước nếu
= 0 thì · = 0. – Cho hai vecto ,
⊥ ⇔ · = 0. – Với mọi vectơ
= 
. – Nếu , là hai vectơ khác 0 thì 
Ví dụ 10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a (H.2.26). Tính các tích vô hướng sau.
a) 
;
b) 
.
Hình 2.26
Giải
a) Tam giác SAD có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều, suy ra 
= 60°. Tứ giác ABCD là hình vuông nên 
= 
= = 60°. Do đó
. Trang 57
b) Tứ giác ABCD là hình vuông có độ dài mỗi cạnh là a nên độ dài đường chéo AC là 
nên tam giác SAC vuông cân tại S, suy ra 
= 45°. Do đó 
. Luyện tập 10. Trong Ví dụ 10, hãy tính các tích vô hướng 
và 
Nhận xét. Tích vô hưởng của hai vectơ trong không gian cũng có các tính chất giống như các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng. Cụ thể, nếu 
, 
, 
là các vectơ trong không gian và k là một số thực thì ta có:
• 
;
• 
• 
.
Ví dụ 11. Cho tứ diện ABCD có AC và BD cùng vuông góc với AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB, CD (H.2.27). Chứng minh rằng:
a) 
;
b) 
.
Hình 2.27
Giải
a) Ta có: 
.Do đó
. Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD nên 
.
Suy ra 
hay 
b) Từ giả thiết, ta có 
.
Vì vậy, 
.
Luyện tập 11. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng 
.
Vận dụng 4. Như đã biết, nếu có một lực 
tác động vào một vật tại điểm M và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường MN thì công A sinh ra được tính theo công thức 
có độ lớn tính bằng Newton, quãng đường MN tính bằng mét và công A tính bằng Jun (H.2.28). Do đó, nếu dùng một lực có độ lớn không đổi để làm một vật di chuyển một quãng đường không đổi thì công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động củng hưởng với chuyển động của vật. Hãy giải thích vì sao. Kết quả trên có thể được áp dụng như thế nào khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng?
Hình 2.28
Trang 58
BÀI TẬP
2.1. Trong không gian, cho ba vectơ 
, 
phân biệt và đều khác 
. Những mệnh đề nào sau đây là đúng? a) Nếu và đều cùng hướng với
và cũng hướng. b) Nếu và đều ngược hướng với
và cùng hướng. c) Nếu và đều cùng hưởng với
và ngược hướng. d) Nếu và đều ngược hưởng với
và ngược hướng. 2.2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 2, AD = 3 và AA'= 4. Tính độ dài của các vectơ 
, 
và 
2.3. Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như Hình 2.29. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ ) phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ , , 
, 
Hình 2.29
a) Hãy chỉ ra mối quan hệ về phương và hướng của các vectơ , , ,
. b) Giải thích vì sao các vectơ , , ,
2.4. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:
a) 
;
b) 
;
c) 
.
2.5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có 
= 
= và 
= . Hãy biểu diễn các vecto sau qua các vecto , . a) 
:
b) 
;
c) 
2.6. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu 
.
2.7. Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, lấy điểm M sao cho SM = 2AM. Trên cạnh BC, lấy điểm N sao cho CN = 2BN. Chứng minh rằng 
.
2.8. Trong Luyện tập 8, ta đã biết trọng tâm của tứ diện ABCD là một điểm I thoả mãn 
= 3
, ở đó G là trọng tâm của tam giác BCD. Áp dụng tính chất trên để tính khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó, biết rằng chiều cao của khối rubik là 8 cm (H.2.30).
Hình 2.30
Trang 59
2.9. Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hưởng khác nhau (H.2.31). Nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Hãy giải thích vì sao.
Hình 2.31
2.10. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:
a) 
và 
;
b) và 
c) 
và 
.
2.11. Trong không gian, cho hai vectơ 
và 
cùng có độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là 45°, hãy tính:
a) 
b) 
;
c) 
.
2.12. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:
a) 
;
b) 
.
Em có biết?
Việc phân tích (hay biểu diễn) một vectơ trong không gian qua các vectơ cho trước có thể giúp giải thích một số hiện tượng trong cuộc sống. Ví dụ, khi đi bộ, chân tạo một lực tác động 
. Lực 
có thể được phân tích thành 
, ở đó 
có giá song song với mặt đất và 
tạo nên chuyển động tiến về phía trước của người đi bộ. Có thể nhận thấy rằng nếu độ lớn của lực là không đổi (và khi đó độ lớn của lực là không đổi) thì độ lớn của lực càng lớn nếu giá của lực và mặt đất càng nhỏ. Nhận xét trên lí giải vì sao trong các cuộc thi điền kinh, khi chuẩn bị xuất phát, các vận động viên thường dùng bàn đạp (nếu được cho phép) để cẳng chân phát lực tạo với mặt đất góc nhỏ nhất, từ đó tạo được tốc độ xuất phát lớn nhất (H.2.33).
Hình 2.32
Hình 2.33
Các Bài Học Khác
Kết nối tri thức - NXB Giáo Dục Việt Nam Toán 12 tập 1 Chương II: Vectơ Và Hệ Trục Tọa Độ Trong Không Gian Bài 7: Hệ Trục Tọa Độ Trong Không Gian
Xem thêm ⟶
Kết nối tri thức - NXB Giáo Dục Việt Nam Toán 12 tập 1 Chương II: Vectơ Và Hệ Trục Tọa Độ Trong Không Gian Bài 8: Biểu Thức Tọa Độ Của Các Phép Toán Vectơ
Xem thêm ⟶
Bình Luận
Để Lại Bình Luận Của Bạn