Bài 7: Hệ Trục Tọa Độ Trong Không Gian | Toán 12 - Tập 1 | Chương II: Vectơ Và Hệ Trục Tọa Độ Trong Không Gian - Lớp 12 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Trang 60

THUẬT NGỮ

• Hệ trục toạ độ trong không gian
• Toạ độ của điểm trong không gian
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
• Nhận biết toạ độ của điểm, của vectơ đối với hệ trục
toạ độ.
• Toạ độ của vectơ trong không gian Vận dụng toạ độ của vectơ để giải một số bài toán có
liên quan đến thực tiễn.
Trong Hình 2.34, một chiếc bóng đèn được treo cách sàn nhà là 2 m, cách hai bức tưởng lần lượt là 1 m và 1,5 m. Kiến thức toán học nào giúp mô tả chính xác và ngắn gọn vị trí của chiếc bóng đèn trong không gian?
1 m
1,5 m
2 m
1. HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
) HĐ1. Hình thành khái niệm hệ trục toạ độ trong không gian Trong không gian, xét ba trục Ox, Oy, Oz có chung gốc O và
đôi một vuông góc với nhau. Gọi, kia các vector con và
trên các trục đó (H.2.35).
a) Gọi tên các mặt phẳng toạ độ có trong Hình 2.35.
CŨNG
b) Các mặt phẳng toạ độ trong Hình 2.35 có đôi một
vuông góc với nhau không?
Hình 2.34
Hình 2.35
Trong không gian, ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục.
Gọi i, j, k lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz.
Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz, hay đơn giản là hệ toạ độ Oxyz.
• Điểm O được gọi là gốc toạ độ.
Các mặt phẳng (Oxy). (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng toạ độ.
Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.

Trang 61

Góc căn phòng trong Hình 2.34 có gợi lên hình ảnh về hệ toạ độ Oxyz trong không gian hay không? Nếu có, hãy mô tả gốc toạ độ và các mặt phẳng toạ độ trong hình ảnh đó. J. Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.36). Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh B và các vectơ ỉ, j, k lần lượt là các vecto B'A', BC', B'B không? Giải thích vì sao.

Giải
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có các cạnh B'A', B'C' và B'B đôi một vuông góc với nhau.
Vi hình lập phương có độ dài mỗi cạnh bằng 1 nên các
vectơ BA, BC',B'B cùng có điểm đầu là B' và đều có độ dài bằng 1.

Hình 2.36

Từ các điều trên, suy ra có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có gốc ( trùng với đỉnh B và các vectơ i, j, k lần lượt là các vectơ BA, BC, BB.

Luyện tập 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh C và các vectơ i, j, k lần lượt cùng hưởng với các vectơ CB, CD, CC không? Giải thích vì sao.
2.TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM, TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
- HĐ2. Hình thành khái niệm toạ độ của điểm trong không gian
Trong không gian Oxyz, cho một điểm M không thuộc các mặt
phẳng toạ độ. Vẽ hình hộp chữ nhật OADB.CFME có ba đình
A, B, Clần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz
(+237). 100 tinh
a) Hai vecto OM và OA+OB+OC có bằng nhau hay không?
b) Giải thích vì sao có thể viết OM = xỉ + y + zk với x, y, z là các số thực.
Người ta chứng minh được rằng với điểm M tuỳ ý, bộ ba số (x; y, z) trong HĐ2 là duy nhất. Ngược lại nếu OM = xỉ + y + zk thì điểm M xác định duy nhất.
F
B
Hình 2.37
Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tuỳ ý. Bộ ba số (x; y, z) duy nhất sao cho OM = xì + y + zk được gọi là toạ độ của điểm M đối với hệ toạ độ Oxyz. Khi đó, ta viết M = (x; y; z) hoặc M(x; y; Z), trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của M.
Hãy tìm toạ độ của gốc O.

Trang 62

Ví dụ 2. Hình 2.38 minh hoạ một hệ toạ độ Oxyz trong không gian cùng với các hình vuông có cạnh bằng 1 đơn vị. Tìm toạ độ của điểm M.
Giai
Trong Hình 2.38, ABCM.FODE là hình hộp chữ nhật.
Áp dụng quy tắc hình hộp suy ra
OM=OF+OD + OB = 37+4j+3K.
Vì vậy, toạ độ của điểm M là (3; 4; 3).
) Luyện tập 2. Tìm toạ độ của điểm N trong Hình 2.39.
) Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A trùng với gốc O và các đỉnh D', B', A lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz (H.2.40). Giả sử đỉnh C có toạ độ là (2; 3; 5) đối với hệ toạ độ Oxyz, hãy tìm toạ độ của các đỉnh D', B', A đối với hệ toạ độ đó.

Giải

Vì đỉnh D’thuộc tia Ox nên hai vecto OD' và ở cùng phương, suy ra có số thực m sao cho OD' = mì. Tương tự, có các số thực nạp sao cho OB' = nj và OA = pk. Theo quy tắc hình hộp, suy ra OC =OD' +OB' + OA = mì + nj + pk và do đó điểm C có toạ độ là (m; n, p).
Mặt khác, đỉnh C có toạ độ là (2; 3; 5) nên m=2, n=3, p=5, tức là OD' = 2i, OB = 3j và OA = 5k.
Từ đây suy ra D(2; 0; 0), B'(0; 3; 0) và A(0;0; 5).

Luyện tập 3. Trong Ví dụ 3, hãy xác định toạ độ của các điểm B, D và C. Nhận xét. Nếu điểm M có toạ độ (x; y, 2) đối với hệ toạ độ Oxyz thì:
-
B
C
AK M
Hình 2.38
Hình 2.39
Hình 2.40
N.
B
Hình chiếu vuông góc của M trên các trục Ox, Oy và Oz có toạ độ lần lượt là (X; 0; 0),
(0; y; 0) và (0; 0; z).
- Hinh chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng (Oxy), (Oyz) và (Ozx) có toạ độ lần lượt
là (x; y; 0). (0; y, z) và (x; 0; 2).
) Vận dụng 1. Trong tình huống mở đầu, hãy chọn một hệ toạ độ phù hợp và xác định toạ độ
của chiếc bóng đèn đối với hệ toạ độ đó.
) HĐ3. Hình thành khái niệm toạ độ của vectơ trong
không gian
Trong không gian Oxyz, cho vectơ a tuỳ ý (H.2.41). Lấy điểm M sao cho OM = ã và giải thích vì sao có bộ
ba số (x; y, z) sao cho a = xì + y + zk.
a
M
Hình 2.41

Trang 63

Người ta chứng minh được rằng bộ ba số (x; y; z) trong HĐ3 là duy nhất.
Trong không gian Oxyz, cho vectơ ā tuỳ ý. Bộ ba số (x; y; 2) duy nhất sao cho
a = xỉ + y + zk được gọi là toạ độ của vectơ ả đối với hệ toạ độ Oxyz. Khi đó, ta viết
a =(x, y, z) hoặc a(x;y;z).
Nhận xét
- Toạ độ của vectơ a cũng là toạ độ của điểm M sao cho OM = a.
- Trong không gian, cho hai vectơ ả=(x; y;z) và b =(x' y';z'). Khi đó, ả = b nếu và
[x=x'
chi neu y = y'
Z=Z'.
) Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz, hãy tìm toạ độ của các vectơ ĩ, J và k.
Giải
Vii-1.7+0 +0 k nen i = (1; 0; 0). Vì j=0 i+1.j+0-k nên j =(0; 1; 0).
Vik=0 +0 }+1-k nên k =(0; 0; 1).
) Luyện tập 4. Trong không gian Oxyz, hãy xác định toạ độ của vectơ i +2] +5k.
HĐ4. Thiết lập toạ độ của vecto theo toạ độ hai đầu mút
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(x; y; z) và N(x; y, z).
a) Hãy biểu diễn hai vecto OM và ON qua các vectơ I, J và
b) Xác định toạ độ của vecto MN.
-
K.
2) và Nix
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(Xi Y Z và N(Xui ni z), khi đói
MN=(XN-XiYN-YMI ZN-ZM).
) Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam
giác ABC.A'B'C' có A(1; 0; 2), B(3; 2; 5), C(7; –3; 9) A(1;0; 2)
và A(5; 0; 1).
a) Tìm toạ độ của AA.
b) Tìm toạ độ của các điểm B', C'
Giải (H.2.42)
a) Ta có: AA' = ( X − Xa xa - Vai Z - Z)=(4; 0; – 1).
B(3; 2; 5)
C(7;-3; 9)
A'(5; 0; 1)
Hình 2.42
b) Gọi toạ độ của điểm B' là (x; y, z) thì BB =(x−3; y −2; z–5). Vì ABC.A'B'C' là hình
lăng trụ nên ABB'A'là hình bình hành, suy ra AA' = BB.

Trang 64

x-3=4
Do đó y−2=0 hay x =7, y = 2 và z=4 . Vậy B'(7; 2; 4).
z-5--1
Lập luận tương tự suy ra C(11; –3; 8).
) Luyện tập 5. Trong Ví dụ 5, xác định toạ độ của các điểm D và D' sao cho ABCD.A'B'C'D' là hình hộp.
) Vận dụng 2. Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ Oxyz có gốc O
trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (H.2.43). Sau khi cắt cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo kilômét.

BÀI TẬP
Hình 2.43
tan One, cho ba vectơ a, b, ở đâu khác

2.13. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ a, b, c đều khác Ỏ và có giá đôi một vuông góc. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có các trục toạ độ lần lượt song song với giá của các vecto a, b, c.

b) Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có các trục toạ độ lần lượt trùng với giá của các vectơ a, b, c.

c) Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có các vecto i, j, k lần lượt bằng các vectơ a, b, c.

d) Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có các vectơ i, j, k lần lượt cùng phương các vectơ a, b, c.

2.14. Hãy mô tả hệ toạ độ Oxyz trong căn phòng ở Hình 2.44 sao cho gốc O trùng với góc trên của căn phòng, khung tranh nằm trong mặt phẳng (Oxy) và mặt trần nhà trùng với mặt phẳng (Oxz).
Hình 2.44

Trang 65

2.15. Trong không gian Oxyz, xác định toạ độ của vectơ

a) A(0; 0; 0) và B(4; 2, 5);

b) A(1; –3; 7) và B(1; –3; 7);

c) A(5; 4; 9) và B(–5; 7; 2).

2.16. Trong không gian Oxyz, xác định toạ độ của điểm A trong mỗi trường hợp sau:

a) A trùng với gốc toạ độ;

b) A nằm trên tia Ox và OA = 2;

c) A nằm trên tia đối của tia Oy và OA = 3.

2.17. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A trùng với gốc O và các đỉnh D, B, A' có toạ độ lần lượt là (2; 0; 0), (0; 4; 0), (0; 0; 3) (H.2.45). Xác định toạ độ của các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.

Hình 2.45

2.18. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O'A'B'C' có A(1; 1; -1), B(0; 3; 0), C(2; -3; 6).

a) Xác định toạ độ của điểm C.

b) Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

2.19. Trong Vận dụng 2, hãy giải thích vì sao tại mỗi thời điểm chiếc máy bay di chuyển trên đường băng thì toạ độ của nó luôn có dạng (x; y; 0) với x, y là hai số thực nào đó.

Em có biết?

René Descartes (1596 – 1650), nhà triết học, toán học người Pháp.

Tên gọi "toạ độ Descartes" được lấy theo tên của nhà toán học người Pháp, René Descartes, nhằm ghi nhớ những đóng góp của ông trong Hình học Giải tích. Như đã biết, toạ độ Descartes xác định duy nhất vị trí của một điểm trong không gian.

Bên cạnh toạ độ Descartes, toạ độ cầu với vai trò tương tự cũng thường được sử dụng và được định nghĩa như sau:

Với mỗi điểm M trong không gian Oxyz, gọi M' là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Oxy). Gọi r là khoảng cách từ O đến M, gọi θ (0 ≤ θ ≤ 2π) là số đo của góc lượng giác (trong mặt phẳng (Oxy)) có tia đầu là Ox, tia cuối là OM' và gọi Φ (0 ≤ Φ ≤ x) là số đo của góc tạo bởi hai tia OM và Oz (H.2.46). Bộ ba (r; θ; Φ) được gọi là toạ độ cầu của điểm M, trong đó r là bán kính, θ là góc phương vị hay góc kinh độ và Φ là góc cực của M.

Trang 66

Toạ độ cầu (r; θ; Φ) và toạ độ Descartes (x; y; z) của M liên hệ với nhau qua các công thức:

và

Hình 2.46

Trong một số trường hợp, người ta thay góc cực Φ bởi góc nâng (hay góc vĩ độ)     . Khi đó toạ độ cầu (r; θ; Φ) và toạ độ Descartes (x; y; z) cũng được liên hệ với nhau bởi các công thức tương tự như trên.

Toạ độ cầu thuận tiện cho việc tính toán trên mặt cầu và trên một số đối tượng có tính đối xứng, do đó, được sử dụng phổ biến trong toán học, vật lí, địa lí và thiên văn. Cơ quan Hàng không và Vũ trụ Hoa Kỳ NASA (National Aeronautics and Space Administration) sử dụng toạ độ địa hình (Topodetic coordinates), một dạng tương tự của toạ độ cầu, trong việc xác định vị trí của vật thể trong không gian.