Bài 14: Phương trình mặt phẳng | Toán 12 - Tâp 2 | Chương V: Phương pháp tọa độ trong không gian - Lớp 12 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

(Trang 29)

Nối tiếp ý tưởng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng ở lớp 10, trong chương này, thông qua hệ trục toạ độ, ta sẽ thể hiện mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu theo ngôn ngữ của đại số.

Một vật thể chuyển động trong không gian Oxyz. Tại mỗi thời điểm t, vật thể ở vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost). Hỏi vật thể có chuyển động trong một mặt phẳng cố định hay không?

1. VECTƠ PHÁP TUYẾN VÀ CẶP VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA MẶT PHẲNG

HĐ1. Hình thành khái niệm vectơ pháp tuyến

Trên mặt bàn phẳng, đặt một vật. Khi đó, mặt bàn tác động lên vật phản lực pháp tuyến , giá của vectơ vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì có phương gì? (H.5.1)

Hình 5.1

(Trang 30)

Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu giá của vuông góc với (α).

Giải

Vì các đường thẳng AA', BB' vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên

Đường thẳng BD vuông góc với hai đường thẳng AC và AA′ nên vuông góc với mặt phẳng (ACC'A'). Vậy là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ACC'A').

Đường thẳng A′C′ không vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên vectơ không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

Vậy các khẳng định a và b là đúng, khẳng định c là sai.

Luyện tập 1. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; −2; 3), B(−3; 0; 1). Gọi (α) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của (α).

HĐ2. Tìm một vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ và

a) Vectơ có vuông góc với cả hai vectơ và  hay không?

b) khi và chỉ khi

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ và . Khi đó vecto vuông góc với cả hai vecto và , được gọi là tích có hướng của và , kí hiệu là [, ].

Hình 5.4

Chú ý

• khi và chỉ khi , cùng phương.

• Với bốn số x, y, x', y', ta kí hiệu

(Trang 31)

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho và

Giải

Ta có

Luyện tập 2. Trong không gian Oxyz, cho  và . Tính

HĐ3. Hình thành khái niệm cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P).

a) Vectơ có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của hay không?

b) Mặt phẳng (P) có nhận làm một vectơ pháp tuyến hay không?

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho các vectơ

Giải

Ta có

Do đó là cặp vectơ chỉ phương và là một vectơ pháp tuyến của (α).

Luyện tập 3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A(1; −2;1), B(−2; 1; 0), C(–2; 3; 2). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Vận dụng 1. Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P một lực để vặn con ốc ở vị trí O (H.5.6) thì moment lực được tính bởi công thức . a) Cho . Tính . b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P' sao cho thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?

Hình 5.6

(Trang 32)

2. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

HĐ4. Hình thành khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α). Gọi là một vectơ pháp tuyến của (α) và ) là một điểm thuộc (α).

a) Một điểm M(x; y, z) thuộc (α) khi và chỉ khi hai vectơ

b) Điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn hệ thức nào?

Chú ý. Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình Ax + By +Cz + D = 0 (các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0) xác định một mặt phẳng nhận làm một vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?

Giải

Trong các phương trình trên, chỉ có phương trình y+1=0 có dạng Ax + By + Cz + D = 0 và thoả mãn A, B, C không đồng thời bằng 0 (A = 0, B = 1, C =0). Vì vậy, trong các phương trình trên, chỉ có phương trình y+1=0 là phương trình mặt phẳng.

Luyện tập 4. Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?

Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : x +2y−z+1=0.

a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của (α).

b) Vecto có là vectơ pháp tuyến của (α) hay không?

c) Trong hai điểm A(1; 3; 2), B(1; 1; 4), điểm nào thuộc mặt phẳng (α)?

Giải

a) Mặt phẳng (α) nhận

b) Do mà là vectơ pháp tuyến của (α) nên cũng là vectơ pháp tuyến của (α).

c) Ta cần kiểm tra xem trong hai điểm A(1; 3; 2), B(1; 1; 4), điểm nào có toạ độ thoả mãn phương trình mặt phẳng (α). Vậy điểm B thuộc mặt phẳng (α), điểm A không thuộc mặt phẳng (α).

(Trang 33)

Luyện tập 5. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α): x+2=0.

a) Điểm A(-2; 1,0) có thuộc (α) hay không?

b) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của (α).

3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

HĐ5. Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến

Dựa vào HĐ4, hãy nêu phương trình của (α).

Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(2;−1;0) và có vectơ pháp tuyến

Giải

Mặt phẳng (α) có phương trình là:

Luyện tập 6. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; 2; – 4) và vuông góc với trục Oz.

HĐ6. Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm và biết cặp vectơ chỉ phương , .

a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

b) Viết phương trình mặt phẳng (α).

Ví dụ 7. Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' với A(1; 2; 3), B(4; 3; 5), C(2; 3; 2), A(1; 1; 1). Viết phương trình mặt phẳng (A'B'C).

(Trang 34)

Luyện tập 7. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; –2; −1), B(4; 1; 2), C(2; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; –2; −1) đồng thời song song với trục Oy và đường thẳng BC.

HĐ7. Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng:

A(1; 2; 3), B(–1; 3; 4), C(2; –1; 2).

a) Hãy chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC).

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Ví dụ 8. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 1; −1), B(3; 2; 1), C(3; 1, 4) .

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Giải

a) Hai vecto ) không cùng phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến

Mặt phẳng (ABC) đi qua A(2; 1; −1) và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

(Trang 35)

Luyện tập 8. (H.5.8) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) không đi qua gốc toạ độ và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tương ứng tại các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a, b, c ≠ 0).

Hình 5.8

A(a; 0; 0)

B(0; b; 0)

C(0; 0; c)

Chứng minh rằng mặt phẳng (α) có phương trình:

(Phương trình trên được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn).

Vận dụng 2. Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.

a) Xác định toạ độ của vị trí của vật tương ứng với các thời điểm

b) Chứng minh rằng

c) Vị trí M(cost – sint; cost +sint; cost) có luôn thuộc mặt phẳng hay không?

4. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU

(Trang 36)

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: (α): (β): với hai vectơ pháp tuyến tương ứng. Khi đó: (α) ⊥ (β) ⇔ ⊥ ⇔ AA' + BB' + CC' = 0.

Hình 5.9

Chú ý. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng kia.

Ví dụ 9. Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai mặt phẳng sau vuông góc với nhau: (α): x – 3y + 2z + 1 = 0, (β): 5x + y – z + 2 = 0.

Giải

Hai mặt phẳng (α), (β) có vectơ pháp tuyến tương ứng là

Ta có nên ⊥ . Do đó (α) vuông góc với (β).

Luyện tập 9. Trong không gian Oxyz, hai mặt phẳng sau đây có vuông góc với nhau hay không?

Ví dụ 10. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1; 2; −2), B(2; 4; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+3y+z−1=0.

Giải

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến

Mặt phẳng (P) đi qua A(1; 2; –2) và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

(Trang 37)

5. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI NHAU

HĐ9. Tìm điều kiện để hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau

Chú ý

• Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng kia.

• Hai mặt phẳng (α) và (β) trùng nhau khi và chỉ khi tồn tại số k khác 0 sao cho

Ví dụ 11. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:

và

Hỏi  (α) và (β)  có song song với nhau hay không?

Giải

Các mặt phẳng trên có vectơ pháp tuyến tương ứng là

Luyện tập 10. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:

và

a) Hỏi (α) và (β)  có song song với nhau hay không?

b) Chứng minh rằng điểm M(1; –3; 5) không thuộc mặt phẳng (α) nhưng thuộc mặt phẳng (β).

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1; –3; 5) và song song với (α).

Vận dụng 4. Trong một kì thi tuyển sinh có ba môn thi Toán, Văn, Tiếng Anh. Trong không gian Oxyz, người ta biểu diễn kết quả thi của mỗi thí sinh bởi điểm có hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng là điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của thí sinh đó.

(Trang 38)

a) Chứng minh rằng các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng 27 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình

b) Chứng minh rằng tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với hai thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.

Hình 5.12

6. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

HĐ10. Thiết lập công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho điểm và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến . Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) (H.5.13). a) Giải thích vì sao tồn tại số k để . Tính toạ độ của N theo k, toạ độ của M và các hệ số A, B, C, D.

Hình 5.13

b) Thay toạ độ của N vào phương trình mặt phẳng (P) để từ đó tính k theo toạ độ của M và các hệ số A, B, C, D.

c) Từ

Ví dụ 12. Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; −1) đến mặt phẳng

Giải

Khoảng cách từ điểm M(1; 2; −1) đến mặt phẳng

(Trang 39)

Luyện tập 11. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

và

a) Chứng minh rằng (P) và (Q) song song với nhau.

b) Lấy một điểm thuộc (P), tính khoảng cách từ điểm đó đến (Q). Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

BÀI TẬP

5.1. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; −1) và vuông góc với trục Ox.

5.2. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', với A(1;−1; 3), B(0; 2; 4), D(2; −1; 1), A'(0; 1; 2).

a) Tính toạ độ các điểm C, B', D'.

b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D).

5.3. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; −1; 5) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 3x + 2y − z = 0, (R) :x + y − z = 0.

5.4. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 3; −1), song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q): x + 2y – 3z + 1 = 0.

5.5. Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng (P): 2x + 2y − z + 1 = 0.

5.6. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0, (Q): x + y + z + 6 = 0. Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

5.7. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 3y − z = 0, (Q): x − y − 2z + 1 = 0.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

b) Tìm điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).

5.9. Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng Oxy, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng z − 1 = 0, mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng x + y + 50z – 100 = 0. Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần tầng 1, mái tầng 2, hai mặt phẳng nào song song với nhau?

(Trang 40)

5.10. Xét một cối xay lúa trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét. Nếu tác động vào tai cối xay lúa (ở vị trí P) một lực thì moment lực được tính bởi công thức (H.5.16). Trong quá trình xay, các thanh gỗ AB và PQ luôn có phương nằm ngang. Vectơ lực có giá song song với AB. Giải thích vì sao giá của vecto moment lực có phương thẳng đứng?

Hình 5.16