Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian | Toán 12 - Tập Hai | Chương V: Phương pháp tọa độ trong không gian - Lớp 12 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

(Trang 41)

Trong không gian Oxyz, mắt một người quan sát đặt ở điểm M(2; 3; −4) và vật cần quan sát đặt tại điểm N(−1; 0; 8). Một tấm bìa chắn đường truyền của ánh sáng có dạng hình tròn với tâm O(0; 0; 0), bán kính bằng 3 và đặt trong mặt phẳng Oxy. Hỏi tấm bìa có che khuất tầm nhìn của người quan sát đối với vật đặt ở điểm N hay không?

1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng

HĐ1. Hình thành khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng

Trong không gian, cho điểm M và vectơ

a) Có duy nhất đường thẳng đi qua M và vuông góc với giá của .

b) Có duy nhất đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với giá của .

Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ nếu giá của song song hoặc trùng với Δ.

Hình 5.23

Chú ý

• Đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm mà nó đi qua và một vectơ chỉ phương.

• Nếu là một vectơ chỉ phương của Δ thì (với k là một số khác 0) cũng là một vectơ chỉ phương của Δ .

(Trang 42)

Luyện tập 1. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' (H.5.25). Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối đều là đỉnh của hình lăng trụ, những vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB? b) Phương trình tham số của đường thẳng HĐ2. Hình thành khái niệm phương trình tham số của đường thẳng Trong không gian Oxyz, một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc không đổi và xuất phát từ điểm (H.5.26). a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm mà nó đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)? b) Giả sử tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi xuất phát, vật thể ở vị trí M(x; y; z). Tính x, y, z theo và t.

Hình 5.25 Hình 5.26

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . Hệ phương trình: được gọi là phương trình tham số của đường thẳng Δ (t là tham số, t ∈ R).

Chú ý

• Với các số a, b, c không đồng thời bằng 0, hệ phương trình

(t ∈ R) xác định một đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương

• Từ phương trình tham số của đường thẳng, mỗi giá trị của tham số tương ứng với một điểm thuộc đường thẳng đó và ngược lại.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ:

a) Hãy chỉ ra một điểm thuộc Δ và một vectơ chỉ phương của Δ.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ' đi qua A(2; 1; 0) và có vectơ chỉ phương .

Giải

a) Do Δ có phương trình nên điểm M(-1; 1; 0) thuộc Δ và là một vectơ chỉ phương của Δ.

b) Đường thẳng Δ' có phương trình tham số là

(Trang 43)

Luyện tập 2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ : .

a) Hãy chỉ ra hai điểm thuộc Δ và một vectơ chỉ phương của Δ.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc toạ độ O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương .

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng

HĐ3. Hình thành khái niệm phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ đi qua điểm và có vectơ chỉ phương (a, b, c là các số khác 0).

a) Điểm M(x; y, z) thuộc Δ khi và chỉ khi hai vectơ

b) Điểm M(x; y; z) thuộc Δ khi và chỉ khi các phân số , có mối quan hệ gì?

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ:

Hãy chỉ ra một điểm thuộc Δ và một vectơ chỉ phương của Δ.

Giải

Đường thẳng Δ có phương trình nên điểm A(1; 0; –2) thuộc Δ và là một vectơ chỉ phương của Δ.

Luyện tập 3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ:

. Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của Δ và hai điểm thuộc Δ.

Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua điểm M(1; –2; 4) và có vectơ chỉ phương

Giải

Đường thẳng Δ có phương trình tham số là:có phương trình chính tắc là: .

(Trang 44)

Luyện tập 4. Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua điểm A(2; −1; 0) và có vectơ chỉ phương

Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M(−1; 4; 5) và vuông góc với mặt phẳng (α): 3x + 2y = 0.

Giải

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến . Giá của

Vậy Δ có phương trình tham số là: .

Nhận xét. Đường thẳng Δ trong Ví dụ 5 không có phương trình chính tắc.

Luyện tập 5. Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M(2; −1; 3) và vuông góc với mặt phẳng Oyz.

d) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

HĐ4. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt , .

a) Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng

b) Viết phương trình đường thẳng

Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2; –1) và B(2; 4; 0).

Giải

Đường thẳng AB đi qua A(1; 2; −1) và có vectơ chỉ phương . Do đó AB có phương trình chính tắc là và có phương trình tham số là

Luyện tập 6. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; 1; 3) và B(2; 4; 6).

(Trang 45)

2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

HĐ5. Tìm điều kiện để hai đường thẳng vuông góc với nhau Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng tương ứng có vectơ chỉ phương   a) Hai đường thẳng và vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai giá của có mối quan hệ gì? b) Tìm điều kiện đối với để và  vuông góc với nhau.

Hình 5.28

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng tương ứng có vectơ chỉ phương Khi đó:

Ví dụ 7. Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau:

.

Giải

Các đường thẳng tương ứng có vectơ chỉ phương .

Do đó 

Luyện tập 7. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng . Hỏi đường thẳng có vuông góc với trục Oz hay không?

Vận dụng 2. Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó tương ứng thuộc hai đường thẳng:

.

Hỏi hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

(Trang 46)

3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

HĐ6. Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng lần lượt đi qua các điểm , và tương ứng có vectơ chỉ phương  (H.5.29). a) Tìm điều kiện đối với và để  và  song song hoặc trùng nhau. b) Giả sử   và thì và có cắt nhau hay không? c) Giả sử thì và có chéo nhau hay không?

Hình 5.29

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng , lần lượt đi qua các điểm , và tương ứng có vectơ chỉ phương . Khi đó: • cùng phương với và • cùng phương với và • và cắt nhau • và chéo nhau

Ví dụ 8. Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau và chéo nhau.

và .

Giải

Đường thẳng đi qua điểm

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương  

Vì

Ta có

Do  nên và chéo nhau.

Luyện tập 8. Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song với nhau:

(Trang 47)

Ví dụ 9. Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau cắt nhau:

và .

Giải

Đường thẳng đi qua

Ta có

Do và nên hai đường thẳng và

Luyện tập 9. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: và . Chứng minh rằng:

a) Hai đường thẳng và song song với nhau;

b) Đường thẳng

c) Đường thẳng trùng với đường thẳng

d) Đường thẳng cắt trục Oz.

Chú ý. Để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, ta cũng có thể dựa vào các vectơ chỉ phương và phương trình của hai đường thẳng đó theo tiêu chuẩn sau đây.

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ,

.

Xét hệ phương trình hai ẩn t, s:

Khi đó:

•

• Hệ (*) có vô số nghiệm.

• cắt Hệ (*) có nghiệm duy nhất.

•

(Trang 48)

Luyện tập 10. Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

và

Vận dụng 3. (H.5.30) Trong không gian Oxyz, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ A(1; 2; 0) và B(3; 5; 0) với vận tốc không đổi tương ứng là . Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau hay không?

Hình 5.30

BÀI TẬP

5.11. Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua A(1; 1; 2) và song song với đường thẳng d: .

5.12. Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng

5.13. Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(2; 3; −1) và B(1; −2; 4).

5.14. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

và .

a) Chứng minh rằng và

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa và .

5.15. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

và .

a) Chứng minh rằng

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa  và .

5.16. Trong không gian Oxyz, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

và

(Trang 49)

5.18. Trong không gian Oxyz, một viên đạn được bắn ra từ điểm A(1; 3; 4) và trong 3 giây, đầu đạn đi với vận tốc không đổi; vectơ vận tốc (trên giây) là . Hỏi viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu trong mỗi tình huống sau hay không?

a) Mục tiêu đặt tại điểm

b) Mục tiêu đặt tại điểm N(–3; 1; –8).