Bài 27: Góc nội tiếp | Toán 9 - Tập 2 | Chương IX: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp - Lớp 9 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

(Trang 67)

Chương IX ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP VÀ ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP

Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu về những đường tròn đi qua các đỉnh của tam giác, tứ giác hay lục giác và những đường tròn lớn nhất có thể vẽ được nằm bên trong hình đó. Những đường tròn đó lần lượt được gọi là các đường tròn ngoại tiếp và các đường tròn nội tiếp.

Bài 27 GÓC NỘI TIẾP

Chúng ta đã biết số đo góc ở tâm BOC của đường tròn (O) trong Hình 9.1 bằng số đo của cung bị chắn

Hình 9.1

(Trang 68)

Các góc ACB và ADB ở Hình 9.2 được gọi là các góc nội tiếp của đường tròn (O) và
là cung bị chắn.

Tổng quát, chúng ta có định nghĩa về góc nội tiếp như sau:

Định nghĩa

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

Ví dụ 1

Trong các góc A, B, C, D ở Hình 9.3, góc nào là góc nội tiếp, góc nào không phải góc nội tiếp? Vì sao?

Hình 9.3

Giải

Các góc A và C không phải góc nội tiếp của đường tròn vì đỉnh không nằm trên đường tròn. Góc D có một cạnh không chứa dây cung của đường tròn nên cũng không là góc nội tiếp của đường tròn. Góc B có đỉnh B nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn nên là góc nội tiếp của đường tròn.

(Trang 69)

Định lí sau cho biết mối liên hệ giữa góc nội tiếp với cung bị chắn:

Định lí

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

GT	A, B, C ∈ (O).
KL	(cung AB không chứa C).

Chứng minh. Ta xét ba trường hợp sau (H.9.3).

Hình 9.4

Trường hợp 1: Tâm O nằm trên một cạnh của góc ACB. Giả sử O ∈ CB. Do tam giác OAC cân tại O và có tổng các góc bằng 180° nên:

Do

Trường hợp 2: Tâm O nằm bên trong góc ACB. Vẽ đường kính CD. Áp dụng Trường hợp 1 cho các góc nội tiếp ACD và DCB với cạnh CD đi qua O, ta được:

và

Suy ra .

Nhận xét. Từ định lí trên ta có các khẳng định sau:

• Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

• Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

• Các góc nội tiếp chắn cung nhỏ thì có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng một cung.

• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

(Trang 70)

Hãy cho biết số đo góc nội tiếp tìm được trong Hình 9.3 ở Ví dụ 1, biết rằng số đo của các cung màu xanh trong hình đều bằng 120°.

Hình 9.3

Ví dụ 2

Cho đường tròn (O) và các điểm A, B, C, D trên (O) như Hình 9.5. Biết rằng = 60°, hãy tính số đo của các góc BOC và BDC.

Giải (H.9.5). Xét đường tròn (O), ta có:

• Do hai góc nội tiếp và

= = 60°;

• Vì góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung nhỏ BC nên

Luyện tập

Cho đường tròn tâm O và hai dây cung AB, CD cắt nhau tại điểm X nằm trong đường tròn (H.9.6). Chứng minh rằng △AXC △DXB.

Hình 9.6

Vận dụng

Trở lại tình huống mở đầu, hãy tính số đo của góc BAC nếu biết đường tròn có bán kính 2 cm và dây cung cm.

Tam giác BOC có phải tam giác vuông không?

BÀI TẬP

9.1. Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn cùng một cung.

b) Góc nội tiếp nhỏ hơn 90° có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng một cung.

c) Góc nội tiếp chắn cung nhỏ có số đo bằng số đo của góc ở tâm chắn cùng một cung.

d) Hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn hai cung bằng nhau.

(Trang 71)

9.2. Cho các điểm như Hình 9.7. Tính số đo các góc của tam giác ABC, biết rằng = 120°, = 80°.

Hình 9.7

9.3. Cho đường tròn (O) và hai dây cung AC, BD cắt nhau tại X (H.9.8). Tính số đo góc AXB biết rằng = 30° và

Hình 9.8

9.4. Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, CD cắt nhau tại điểm I nằm trong (O) (H.9.9).

Hình 9.9

a) Biết rằng = 60°, =80°. Tính số đo của góc AID.

b) Chứng minh rằng IA.IB = IC .ID.

9.5. Cho đường tròn (O), đường kính AB và điểm S nằm ngoài (O). Cho hai đường thẳng SA, SB lần lượt cắt (O) tại M (khác A) và N (khác B). Gọi P là giao điểm của BM và AN (H.9.10). Chứng minh rằng SP vuông góc või AB.

Hình 9.10

9.6. Trên sân bóng, khi trái bóng được đặt tại điểm phạt đền thì có góc sút bằng 36° và trái bóng cách mỗi cọc gôn 11,6 m (H.9.11). Hỏi khi trái bóng đặt ở vị trí cách điểm phạt đến 11,6 m thì góc sút bằng bao nhiêu?

Hình 9.11