Bài 30: Đa giác đều | Toán 9 - Tập 2 | Chương IX: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp - Lớp 9 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

(Trang 84)

Chúng ta đã biết tam giác đều được tạo bởi ba cạnh bằng nhau, hình vuông được tạo bởi bốn cạnh bằng nhau. Hơn nữa, các góc trong mỗi hình đó bằng nhau. Trong bài này các em sẽ được học về những hình tương tự như vậy nhưng số cạnh có thể nhiều hơn, chúng được gọi chung là các đa giác đều.

1 ĐA GIÁC ĐỀU

Đa giác

– Những hình như Hình 9.38 được gọi chung là các đa giác.

Hình 9.38

– Các đa giác ABCDE (H.9.38a) là những hình gồm năm đoạn thẳng AB, BC, CD, DE, EA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào có một điểm chung cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. Đa giác ABCDE có năm đỉnh là các điểm A, B, C, D, E, năm cạnh là các đoạn thẳng AB, BC, CD, DE, EA và năm góc là các góc EAB, ABC, BCD, CDE, DEA.

– Nếu với một cạnh bất kì, các đỉnh không thuộc cạnh đó đều nằm về một phía đối với đường thẳng chứa cạnh đó thì đa giác được gọi là đa giác lồi. Các đa giác trong Hình 9.38 a, b, d là các đa giác lồi. Đa giác trong Hình 9.38c không phải đa giác lồi.

Đa giác đều

HĐ1 Ta đã biết các tam giác đều và hình vuông có các đỉnh nằm trên một đường tròn. Ta dựng một đa giác lồi 5 cạnh có các đỉnh nằm trên một đường tròn như sau:

– Vẽ đường tròn tâm O bán kính R.

(Trang 85)

– Lần lượt lấy các điểm A, B, C, D, E trên đường tròn theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ (hoặc theo chiều kim đồng hồ) sao cho:

Em hãy giải thích vì sao các cạnh và các góc của đa giác ABCDE bằng nhau (H.9.39).

Hình 9.39

Đa giác ABCDE như Hình 9.39 được gọi là một đa giác đều. Tổng quát, ta có định nghĩa:

Đa giác đều là một đa giác lồi có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.

Người ta chứng minh được rằng các đỉnh của mỗi đa giác đều luôn cùng nằm trên một đường tròn, được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác, tâm đường tròn được gọi là tâm của đa giác và đa giác được gọi là nội tiếp đường tròn đó.

Nếu một lục giác đều (đa giác đều 6 cạnh) nội tiếp đường tròn bán kính 2 cm (H.9.40) thì độ dài các cạnh của lục giác đều bằng bao nhiêu centimét? Số đo các góc của lục giác đều bằng bao nhiêu độ?

Hình 9.40

Ví dụ 1 a) Dưới đây là hình các đa giác đều thường gặp trong hình học (H.9.41). 

Hình 9.41

b) Trong nghệ thuật, kiến trúc, công nghệ chế tạo và thế giới tự nhiên có nhiều hình phẳng có dạng đa giác đều. Những hình phẳng này không chỉ đẹp vì sự cân đối hài hoà mà còn tối ưu trong việc sắp xếp và sử dụng (H.9.42).

Hình 9.42

(Trang 86)

Ví dụ 2. Trong các hình phẳng dưới đây, hình phẳng nào có dạng là một đa giác đều?

Giải. Ta thấy đa giác trong hình a không phải đa giác lồi, đa giác trong hình b là hình thoi có các góc không bằng nhau, đa giác trong hình c là bát giác có các cạnh không bằng nhau, đa giác trong hình d là hình vuông. Do vậy chỉ có hình phẳng trong hình ở có dạng đa giác đều.

Ví dụ 3 Cho tam giác đều ABC có cạnh 6 cm. Trên cạnh AB lấy các điểm M, N; trên cạnh BC lấy các điểm P, Q; trên cạnh CA lấy các điểm E, F, sao cho các đoạn thẳng AM, MN, NB, BP, PQ, QC, CE, EF, FA đều bằng 2 cm như Hình 9.43. Hỏi MNPQEF có là một lục giác đều hay không?

Hình 9.43

Giải (H.9.43).

Theo Hình 9.43, ta thấy MNPQEF là một đa giác lồi.

Ta có

Suy ra Do đó cm. Tương tự, NP=QE=2cm.

Vậy lục giác MNPQEF có tất cả các cạnh bằng nhau.

Mặt khác, tam giác AMF là tam giác đều vì AM = MF = FA = 2 cm nên

= 60° và = 180° –

Tương tự các góc tại các đỉnh N, P, Q, E, F của lục giác MNPQEF đều bằng nhau và bằng 120°. Vậy lục giác MNPQEF có các cạnh và các góc bằng nhau. Do đó MNPQEF là lục giác đều.

Luyện tập 1

Cho M, N, P, Q, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE và EA của ngũ giác đều ABCDE (H.9.44). Hỏi MNPQK có phải là ngũ giác đều hay không?

Hình 9.44

(Trang 87)

2 PHÉP QUAY

Phép quay

HĐ2 Để bày bàn ăn cho nhiều người, các nhà hàng thường sử dụng bàn xoay có hình tròn và quay được quanh tâm của hình tròn. Đặt một chiếc cốc nhỏ ở vị trí điểm A trên bàn xoay hình tròn với tâm O sao cho điểm A khác điểm O. Khi quay bàn xoay thuận chiều kim đồng hồ (H.9.46) thì chiếc cốc di chuyển đến một vị trí mới là điểm B.

Hình 9.46

Em hãy so sánh khoảng cách từ hai điểm A và B đến điểm O. Hai điểm A, B có cùng nằm trên một đường tròn tâm O hay không?

HĐ3 Trên bàn xoay tâm O, vẽ tam giác đều ABC nội tiếp một đường tròn (O) và hai tia OA, OB (H.9.47). Khi quay bàn xoay thuận chiều kim đồng hồ để tia OA di chuyển trùng với tia OB (ở vị trí ban đầu), điểm A có di chuyển đến vị trí của điểm B không và sẽ di chuyển trên cung tròn nào của đường tròn (O)? Khi đó, điểm C sẽ di chuyển đến vị trí của điểm nào?

Hình 9.47

Trong HĐ2 và HĐ3, ta đã thực hiện một phép quay tâm O để quay tia OA theo chiều kim đồng hồ đến tia OB và điểm A khi di chuyển tạo thành cung AB của đường tròn (O; OA). Ta nói phép quay này biến điểm A thành điểm B. Cụ thể ta có khái niệm phép quay như sau:

Phép quay thuận chiều α° (0° < α < 360°) tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm A khác điểm O thành điểm B thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OB thì điểm A tạo nên cung AB có số đo α (H.9.48a). Định nghĩa tương tự cho phép quay ngược chiều α° tâm O (H.9.48b). Phép quay 0° và phép quay 360° giữ nguyên mọi điểm.

Hình 9.48

(Trang 88)

a) Phép quay ngược chiều 180° tâm O biến điểm A thành điểm A'. Hỏi điểm A' có đối xứng với điểm A qua O hay không?

b) Nếu phép quay thuận chiều α° tâm O biến điểm A thành điểm B thì phép quay ngược chiều ở tâm O có biến điểm B thành điểm A hay không?

Ví dụ 4 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.49. Hãy cho biết các phép quay ngược chiều lần lượt 120°, 240°, 360° với tâm O sẽ biến các đỉnh A, B, C thành những điểm nào?

Hình 9.49

Giải. Các phép quay ngược chiều lần lượt 120°, 240°, 360° với tâm O biến các điểm A, B, C thành những điểm tương ứng được cho bởi bảng sau:

Người ta nói ba phép quay trên biến tam giác đều ABC thành chính nó, hay các phép quay này giữ nguyên tam giác đều ABC. Tổng quát, ta có khái niệm và kết quả sau:

Một phép quay được gọi là giữ nguyên một đa giác đều nếu phép quay đó biến mỗi điểm của thành một điểm của .

Người ta chỉ ra rằng nếu một phép quay biến các đỉnh của đa giác đều

Luyện tập 2

Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.50.

Hình 9.50

a) Phép quay thuận chiều 90° tâm O biến các điểm A, B, C, D thành những điểm nào? Phép quay này có giữ nguyên hình vuông ABCD không?

b) Hãy liệt kê thêm ba phép quay khác với tâm O theo chiều kim đồng hồ giữ nguyên hình vuông ABCD.

Thực hành. Cho điểm O và điểm A khác điểm O (H.9.51). Phép quay ngược chiều 60° tâm O biến điểm A thành điểm A'. Xác định điểm A' theo hướng dẫn sau: Vẽ đường tròn (O; OA) và tia Ox sao cho = 60°, tia Ox cắt đường tròn (O; OA) tại điểm A'(H.9.51).

Hình 9.51

(Trang 89)

Thử thách nhỏ 2

Hãy liệt kê 6 phép quay giữ nguyên một lục giác đều nội tiếp một đường tròn (O).

BÀI TẬP

9.24. Trong các hình phẳng sau (H.9.52), hình nào là hình phẳng có dạng đa giác đều?

Hình 9.52

9.25. Trong các hình dưới đây (H.9.53), hình nào vẽ hai điểm M và N thoả mãn phép quay thuận chiều 60° tâm O biến điểm M thành điểm N?

Hình 9.53

9.26. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) bán kính 2 cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

9.27. Cho hình thoi ABCD có Â=60°. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng MBNPDQ là lục giác đều.

9.28. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.54. Phép quay ngược chiều 60° tâm O biến các điểm A, B, C lần lượt thành các điểm D, E, F. Chứng minh rằng ADBECF là một lục giác đều.

Hình 9.54

9.29. Liệt kê năm phép quay giữ nguyên một ngũ giác đều nội tiếp một đường tròn tâm O.

9.30. Cho vòng quay mặt trời gồm tám cabin như Hình 9.55. Hỏi để cabin A di chuyển đến vị trí cao nhất thì vòng quay phải quay thuận chiều kim đồng hồ quanh tầm bao nhiêu độ?

Vị trí cao nhất

Hình 9.54