Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng | Toán 9 - Tập 2 | Chương VI. Hàm số y=ax^2 (a≠0). Phương trình bậc hai một ẩn - Lớp 9 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

(Trang 21)

Bác An có 40 m hàng rào lưới thép. Bác muốn dùng nó để rào xung quanh một mảnh đất trống (đủ rộng) thành một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 96

1 ĐỊNH LÍ VIÈTE

Khám phá định lí Viète 

Xét phương trình bậc hai a + bx + c = 0 (a ≠ 0). Giả sử △ = – 4ac ≥ 0.

HĐ1 Nhắc lại công thức tính hai nghiệm của phương trình trên.

HĐ2 Từ kết quả HĐ1, hãy tính và

Từ kết quả HĐ2, ta có định lí Viète như sau:

Nếu là hai nghiệm của phương trình a + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

Ví dụ 1 Không giải phương trình, hãy tính biệt thức △ (hoặc △') để kiểm tra điều kiện có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình bậc hai sau:

a) 2 + 11x+7= 0;                           b) 4

Giải

a) Ta có: △ = – 4 . 2 . 7 = 65 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète, ta có:

 ;  

(Trang 22)

b) Ta có: △' =

;

Luyện tập 1

Không giải phương trình, hãy tính biệt thức △ (hoặc △’) để kiểm tra điều kiện có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình bậc hai sau:

a) 2 -7x+3=0;

b) 25

c)

Tranh luận

Ý kiến của em thế nào?

2 ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ VIÈTE ĐỂ TÍNH NHẨM NGHIỆM

Giải phương trình bậc hai khi biết một nghiệm của nó

HĐ3 Cho phương trình 2 −7x+5 = 0.

a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a +b+c

b) Chứng tỏ rằng  

c) Dùng định lí Viète để tìm nghiệm còn lại  của phương trình.

HĐ4. Cho phương trình 3 +5x+2=0.

a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a-b+0.

b) Chứng tỏ rằng  = -1 là một nghiệm của phương trình.

c) Dùng định lí Viète để tìm nghiệm còn lại  của phương trình.

Xét phương trình a

• Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là = 1, còn nghiệm kia là .

• Nếu a-b+c = 0 thì phương trình có một nghiệm là = −1, còn nghiệm kia là

(Trang 23)

Ví dụ 2. Bằng cách nhẩm nghiệm, hãy giải các phương trình sau:

a)

Giải

a) Ta có: a+b+c=1+(-6)+5= 0 nên phương trình có hai nghiệm: = 1,  = 5.

b) Ta có: a – b+c = 5 – 14 +9 =0 nên phương trình có hai nghiệm: = -1,

Ví dụ 3 Giải phương trình – 7x +12=0, biết phương trình có một nghiệm là = 3,

Giải

Gọi là nghiệm còn lại của phương trình. Theo định lí Viète, ta có:  = 12.

Do đó,

Vậy phương trình có hai nghiệm: = 3, = 4,

Luyện tập 2  Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) 3-11x+8=0;

b) 4 + 15x+11= 0;

c)

Thử thách nhỏ

	Hãy tìm một phương trình bậc hai mà tổng và tích các nghiệm của phương trình hai số đối nhau.	Tớ tìm ra rồi! Đó là phương trình

Em có đồng ý với ý kiến của Tròn không? Vì sao?

3 TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Thiết lập phương trình bậc hai để tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

HĐ5 Giả sử hai số có tổng S = 5 và tích P = 6. Thực hiện các bước sau để lập phương trình bậc hai nhận hai số đó làm nghiệm.

a) Gọi một số là x. Tính số kia theo x.

b) Sử dụng kết quả câu a và giả thiết, hãy lập phương trình để tìm x.

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai:

Điều kiện để có hai số đó là – 4P ≥ 0.

(Trang 24)

Ví dụ 4

Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 9, tích của chúng bằng 20.

Giải

Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình – 9x + 20 = 0.

Ta có: △= – 4 . 1 . 20 = 1; .

Suy ra phương trình có hai nghiệm:

Vậy hai số cần tìm là 4 và 5.

Luyện tập 3

Tìm hai số biết tổng của chúng bằng −11, tích của chúng bằng 28.

Vận dụng

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

BÀI TẬP

6.23. Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau:

a) -12x+8=0;                        b) 2+11x-5=0;

c) 3-10=0;                            d) -x+3=0.

6.24. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) 2

c) 7 – 15x + 2 = 0, biết phương trình có một nghiệm .

6.25. Tìm hai số u và v, biết:

a) u+v=20, uv = 99;               b) u+v=2, uv = 15.

6.26. Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai a + bx + c = 0 có hai nghiệm là

a + bx + c = a(x-x1)(x-x2).

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) + 11x + 18;                 b) 3

6.27. Một bể bơi hình chữ nhật có diện tích 500  và chu vi là 150 m. Tính các kích thước của bể bơi này.