Bài 1: Hệ Phương Trình Bậc Nhất Ba Ẩn | Chuyên đề học tập Toán 10 | Chuyên Đề 1: Hệ Phương Trình Bậc Nhất Ba Ẩn - Lớp 10 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

(Trang 5)

Ở lớp 9, các em đã biết cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và làm quen với một vài ứng dụng của chúng. Trong chuyên đề này, các em sẽ được giới thiệu cách giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss và bằng máy tính cầm tay, cũng như những ứng dụng phong phú của chúng trong Vật lí, Hoá học, Sinh học và trong thực tế cuộc sống.

Ông An đầu tư 240 triệu đồng vào ba quỹ khác nhau: một phần trong quỹ thị trường tiền tệ (là một loại quỹ đầu tư thị trường, tập trung vào các sản phẩm tài chính ngắn hạn như tín phiếu kho bạc, trái phiếu ngắn hạn, chứng chỉ tiền gửi,...) với tiền lãi nhận được là 3% một năm, một phần trong trái phiếu chính phủ với tiền lãi nhận được là 4% một năm và phần còn lại trong một ngân hàng với tiền lãi nhận được là 7% một năm. Số tiền ông An đầu tư vào ngân hàng nhiều hơn vào trái phiếu chính phủ là 80 triệu đồng và tổng số tiền lãi thu được sau năm đầu tiên ở cả ba quỹ là 13,4 triệu đồng. Hỏi ông An đã đầu tư bao nhiêu tiền vào mỗi loại quỹ?

(Trang 6)

1. KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

HĐ1. Khái niệm hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Xét hệ phương trình với các ẫn là x, y, z sau:

x+y+z = 2

x+2y+3z = 1

2x+y+3z=-1.

Đây là ba phương trình bậc nhất ba ẩn.

a) Mỗi phương trình của hệ trên có bậc mấy đối với các ần x, y, z?

b) Thử lại rằng bộ ba số (x; y, z) = (1; 3; -2) thoả mãn cả ba phương trình của hệ.

c) Bằng cách thay trực tiếp vào hệ, hãy kiểm tra xem bộ ba số (1; 1; 2) có thoả mãn hệ phương trình đã cho không.

Bộ ba số (1; 3; -2) gọi là một nghiệm của hệ.

• Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

ax + by + cz = d

, trong đó x, y, z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0.

Mỗi bộ ba số (x; yo; zo) thoả mãn ax + by + cz = d gọi là một nghiệm của phương trình bậc nhất ba ần đã cho.

• Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là hệ gồm một số phương trình bậc nhất ba ẩn. Mỗi nghiệm chung của các phương trình đó được gọi là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Nói riêng, hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là 

ax + by + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + C2Z = d₂

a₃x + by + c3z = d₃ 

trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số. Ở đây, trong mỗi phương trình, ít nhất một trong các hệ số ai, bi, ci, (i = 1, 2, 3) phải khác 0.

Chú ý. Trong sách này ta chỉ xét các hệ phương trình có số phương trình bằng đúng số ần, nên từ nay về sau ta sẽ gọi tắt là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn (hay hệ bậc nhất ba ẩn) thay cho hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn.

>> Ví dụ 1. Hệ phương trình nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ần? Kiểm tra xem bộ ba số (1; 2; -3) có phải là một nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ần đó không.

2x+3y-5z = 13

4x-2y-3z = 3

-x+2y+4z² = -1;

-2x + y + z=-3

5x + y- 3z = 16

x + 2y = 5.

(Trang 7)

Giải

Hệ phương trình ở câu a) không phải là hệ phương trình bậc nhất vì phương trình thứ ba chứa z².

Hệ phương trình ở câu b) là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. Thay x = 1; y = 2; z = −3 vào các phương trình trong hệ ta được

-3=-3

16=16

5=5.

Bộ ba số (1; 2; -3) nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ.

Do đó (1; 2; -3) là một nghiệm của hệ.

>> Luyện tập 1. Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số (-3; 2; -1) có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không.

x+2y-3z = 1

2x-3y+7z=15

3x²-4y + z = -3;

-x+y+z = 4

2x+y-3z = -1

3x -2z = -7.

2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN BẰNG PHƯƠNG PHÁP GAUSS

HĐ2. Hệ bậc nhất ba ẩn có dạng tam giác

Cho hệ phương trình

x+y-2z = 3

y+z=7

2z = 4.

Từ phương trình cuối hãy tính z, sau đó thay vào phương trình thứ hai đề tìm y, cuối cùng thay y v phương trình đầu để tìm x. uối cùng thay y và 2 tim đượ z vào

Để giải hệ phương trình dạng tam giác, trước hết ta giải từ phương trình chứa một ẩn, sau đó thay giá trị tìm được của ẩn này vào phương trình chứa hai ẩn để tìm giá trị của ần thứ hai, cuối cùng thay các giá trị tìm được vào phương trình còn lại để tìm giá trị của ần thứ ba.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình

x+y-2z = 4

3y + z = 2

-z=1.

Giải

Từ phương trình thứ ba ta có z = -1. Thay z = – 1 vào phương trình thứ hai ta có 3y -1 = 2 hay y = 1. Với y, z tìm được, thay vào phương trình thứ nhất ta được x + 1 + 2 = 4 hay x = 1.

Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y, z) = (1; 1; -1).

(Trang 8)

> Luyện tập 2. Giải hệ phương trình

2x = 3

x + y = 2

2x-2y+z=-1.

> HĐ3. Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss

Cho hệ phương trình

x+y-2z-3

-x+y+6z=13

2x+y-9z=-5.

a) Khử ẩn x của phương trình thứ hai bằng cách cộng phương trình này với phương trình thứ nhất theo từng về tương ứng. Viết phương trình nhận được (phương trình này không còn chứa ân x và là phương trình thứ hai của hệ mới, tương đương với hệ ban đầu).

b) Khử ẩn x của phương trình thứ ba bằng cách nhân phương trình thứ nhất với –2 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng về tương ứng. Viết phương trình thứ ba mới nhận được. Từ đó viết hệ mới nhận được sau hai bước trên (đã khử x ở hai phương trình cuối).

c) Làm tương tự đối với hệ mới nhận được ở câu b), từ phương trình thứ hai và thứ ba khử ẩn y ở phương trinh thứ ba. Viết hệ dạng tam giác nhận được.

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), nhà toán học và vật lí người Đức, là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất trong lịch sử.

d) Giải hệ dạng tam giác nhận được ở câu c). Từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho. NỔI TRỊ THỨC

Để giải một hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, ta đưa hệ đó về một hệ đơn giản hơn (thường có dạng tam giác), bằng cách sử dụng các phép biến đồi sau đây:

- Nhân hai về của một phương trình của hệ với một số khác 0

- Đổi vị trí hai phương trình của hệ:

- Cộng mỗi về của một phương trình (sau khi đã nhân với một số khác 0) với về tương ứng của phương trình khác đề được phương trình mới có số ần ít hơn.

Từ đó có thể giải hệ đã cho. Phương pháp này được gọi là phương pháp Gauss.

> Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

x+y+z=2

7x+3y+z=4

-5x+7y-2z=5.

Giải

Nhân hai về của phương trình thứ nhất của hệ với (-7) rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng về tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử ẩn x ở phương trình thứ hai)

(Trang 9)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ này với 5 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử ẩn x ở phương trình cuối)

​
Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ này với 3 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình tương đương dạng tam giác

Từ phương trình thứ ba ta có . Thế vào phương trình thứ hai ta được

>Ví dụ 4. Giải hệ phương trình  

Đổi chỗ phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai ta được hệ phương trình

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với (-2) rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử ẩn x ở phương trình thứ hai)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với (-5) rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử ẩn x ở phương trình cuối)

(Trang 10)

Từ hai phương trình cuối, suy ra -1 = –5, điều này vô lí. Vậy hệ ban đầu vô nghiệm.

>Ví dụ 5. Giải hệ phương trình sau

Giải

Trước hết ta đổi chỗ phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai:

Nhân hai về của phương trình thứ nhất của hệ với (–5) rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng về tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử ẩn x ở phương trình thứ hai)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với (–3) rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng về tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử ần x ở phương trình cuối)

Nhận thấy phương trình thứ hai và thứ ba của hệ giống nhau. Như vậy, ta được hệ tương đương dạng hình thang

Rút z theo y từ phương trình thứ hai của hệ ta được

Nhận xét. Hệ phương trình bậc nhất ba ằn có thề có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm.

(Trang 11)

>Luyện tập 3. Giải các hệ phương trình sau:

a)               b)               c)

>Ví dụ 6. Giải tình huống mở đầu. Gọi x, y, z (triệu đồng) lần lượt là số tiền đầu tư của ông An vào ba quỹ: thị trường tiền tệ, trái phiếu chính phủ và một ngân hàng. Khi đó

Vi số tiền đầu tư vào quỹ trong ngân hàng nhiều hơn quỹ trái phiếu chính phủ là 80 triệu đồng nên ta có

Do tổng số tiền lãi trong một năm là 13,4 triệu đồng nên ta có

Từ đó, ta được hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Ta giải hệ bằng phương pháp Gauss.

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với (–0,03) rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng về tương ứng, ta được hệ phương trình 

Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ với 0,01 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng về tương ứng, ta được hệ phương trình dạng tam giác 

Từ phương trình thứ ba ta có . Thế vào phương trình thứ hai ta được . Cuối cùng ta có .

Vậy số tiền ông An đầu tư vào ba quỹ: thị trường tiền tệ, trái phiếu chính phủ và một ngân hàng lần lượt là 40 triệu đồng, 60 triệu đồng, 140 triệu đồng. 

>Vận dụng 1. Hà mua văn phòng phầm cho nhóm bạn cùng lớp gồm Hà, Lan và Minh hết tổng cộng 820 nghìn đồng. Hà quên không lưu hoá đơn của mỗi bạn, nhưng nhớ được rằng số tiền trả cho Lan ít hơn một nửa số tiền trả cho Hà là 5 nghìn đồng, số tiền trả cho Minh nhiều hơn số tiền trả cho Lan là 210 nghìn đồng. Hỏi mỗi bạn Lan và Minh phải trà cho Hà bao nhiêu tiền? 

(Trang 12)

3. TÌM NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN BẰNG MÁY TÍNH CẨM TAY 

>HĐ4. Dùng máy tính cầm tay để tim nghiệm của hệ:

Ta có thể dùng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ. Sau khi mở máy, ta ấn liên tiếp các phím sau đây.

Màn hình hiển thị như sau:

Tức là ta có .

Ấn tiếp phím

Tức là ta có

Ấn tiếp phím ta thấy màn hình hiện như sau:

Tức là ta có 

Vậy nghiệm của hệ phương trình là .

(Trang 13)

>Ví dụ 7. Dùng máy tính cầm tay tìm nghiệm của các hệ sau:

a)                b)

Giải

a) Ta ấn liên tiếp dãy các phím

Thấy hiện ra trên màn hình dòng chữ "No-Solution" như sau:

Tức là hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Ta ấn liên tiếp dãy các phím

Thấy hiện ra trên màn hình dòng chữ "Infinite Sol" như sau:

Tức là hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

>Luyện tập 4. Sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm của các hệ phương trình trong Ví dụ 3, Ví dụ 4, Ví dụ 5 và Luyện tập 3.

>Vận dụng 2. Tại một quốc gia, khoảng 400 loài động vật nằm trong danh sách các loài có nguy cơ tuyệt chủng. Các nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm 55% các loài có nguy cơ tuyệt chủng. Nhóm chim chiếm nhiều hơn 0,7% so với nhóm cá, nhóm cá chiếm nhiều hơn 1,5% so với động vật có vú. Hỏi mỗi nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm bao nhiêu phần trăm trong các loài có nguy cơ tuyệt chủng?

(Trang 14)

BÀI TẬP

1.1. Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số (2; 0; -1) có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không. 

a)                 b)

1.2. Giải các hệ phương trình sau:

a)                 b)

1.3. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:

a)                    b)                      c)

d)                 e)

Kiềm tra lại kết quả tìm được bằng cách sử dụng máy tính cầm tay. 

1.4. Ba người cùng làm việc cho một công ty với vị trí lần lượt là quản lí kho, quản lí văn phòng và tài xế xe tải. Tổng tiền lương hằng năm của người quản lí kho và người quản lí văn phòng là 164 triệu đồng, còn của người quản lí kho và tài xể xe tài là 156 triệu đồng. Mỗi năm, người quản lí kho lĩnh lương nhiều hơn tài xế xe tải 8 triệu đồng. Hỏi lương hằng năm của mỗi người là bao nhiêu?

1.5. Năm ngoái, người ta có thể mua ba mẫu xe ô tô của ba hãng X, Y, Z với tổng số tiền là 2,8 tỉ đồng. Năm nay, do lạm phát, để mua ba chiếc xe đó cần 3,018 tỉ đồng. Gia xe ô tô của hãng X tăng 8%, của hãng Y tăng 5% và của hãng Z tăng 12%. Nếu trong năm ngoái giá chiếc xe của hãng Y thấp hơn 200 triệu đồng so với giá chiếc xe của hãng X thì giá của mỗi chiếc xe trong năm ngoái là bao nhiêu?

1.6. Cho hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn sau

a) Giả sử (x₀;y₀;z₀) và (x₁; y₁; z₁) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình trên.

Chứng minh rằng cũng là một nghiệm của hệ.

b) Sử dụng kết quả của câu a) chứng minh rằng, nếu hệ phương trình bậc nhất ba ần có hai nghiệm phân biệt thì nó sẽ có vô số nghiệm.