Bài 4: Nhị Thức Newton | Chuyên đề học tập Toán 10 | Chuyên Đề 2: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học. Nhị Thức Newton - Lớp 10 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Chuyên đề học tập Toán 10 - Bài 4: Nhị Thức Newton - Nắm vững công thức, tính chất và ứng dụng để khai triển biểu thức, giải các bài toán tổ hợp phức tạp một cách hiệu quả.


(Trang 32)

Thuật ngữ

• Tam giác Pascal

• Hệ số

• Nhị thức Newton

Kiến thức, kĩ năng

• Xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton thông qua tam giác Pascal.

• Khai triển nhị thức Newton (a+ b)n bằng cách sử dụng tam giác Pascal hoặc sử dụng công thức tổ hợp.

• Xác định hệ số của x trong khai triền (ax+ b)n thành đa thức.

Quan sát các khai triển nhị thức Newton sau:

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-0

(a+b)0 =1

(a+b)1=1a +1b

(a+b)2 =1a² +2ab + 1b²

(a+b)3 =1a³ +3a²b+3ab² +1b3

(a+b)4 =1a4 +4a³b + 6a²b² + 4ab³ +1b4

(a+b)5 =1a5 + 5a4b +10a3b² +10a²b³ +5ab4 +1b5

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

Các hệ số trong khai triền của (a + b)n tạo thành tam giác như ở hình trên. Có thể xác định được một hàng bất kì của tam giác này và do đó tính được các hệ số hay không?

1. TAM GIÁC PASCAL 

>HĐ1. Khai triển (a + b)n, n ∈ {1; 2; 3; 4; 5}

Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:

(a+b)1=a +b

(a+b)2 =a² +2ab + b²

(a+b)3 =a³ +3a²b+3ab² +b3

(a+b)4 =a4 +4a³b + 6a²b² + 4ab³ +b4

(a+b)5 =a5 + 5a4b +10a3b² +10a²b³ +5ab4 +b5

Với n ∈ {1; 2; 3; 4; 5}, trong khai triển của mỗi nhị thức (a + b)n:

a) Có bao nhiêu số hạng?

b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng bao nhiêu?

c) Số mũ của a và b thay đổi thế nào khi chuyền từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải? 

(Trang 33)

Trong khai triển của (a + b)n (với n = 1, 2, 3, 4, 5):

  1. Có n + 1 số hạng, số hạng đầu tiên là an và số hạng cuối cùng là bn.
  2. Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng đều bằng n. 
  3.  Số mũ của a giảm 1 đơn vị và số mũ của b tăng 1 đơn vị khi chuyền từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải.

Từ những quan sát này ta có thể dự đoán, chẳng hạn:

(a+b)6 = a6 +?a5b+?a4b2 +?a3b3 +? a2b4 + ?ab5 +b6.

Ở đây dấu “?" để chỉ các hệ số chưa biết. Để hoàn thành khai triển, ta cần xác định các hệ số này.

>HĐ2. Tam giác Pascal

Viết các hệ số của khai triền (a + b)n với một số giá trị đầu tiên của n, trong bằng tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-1

(a+b)0

(a+b)1

(a+b)2 

(a+b)3 

(a+b)4 

(a+b)5 

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

→1+1= 2

→1+2=3

→1+3=4,3+3=6

Hàng đầu quy ước gọi là hàng 0. Hàng n ứng với các hệ số trong khai triền nhị thức (a + b)n.

Trong tam giác Pascal:

Mọi số (khác 1) đều là tổng của hai số ở ngay phía trên nó.

Từ tính chất này ta có thể tìm bất kì hàng nào của tam giác Pascal từ hàng ở ngay phía trên nó. Chằng hạn ta có thể tìm hàng 6 từ hàng 5 như sau: 
 hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-2

(a+b)5 

(a+b)6

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

→1+5= 6,5+ 10= 15, 10+ 10 = 20

? Tìm các hàng 7 và 8 của tam giác Pascal.

>Ví dụ 1. Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (a+b)6.

Giải

Khai triển của (a+b)6 có dạng

(a+b)6 = a6 + ?a5b +?a4b2 + ?a3b3 + ?a2b4 + ?ab5 + b6

Các hệ số trong khai triễn này là các hệ số ở hàng 6 của tam giác Pascal. Do đó ta có ngay

(a+b)6 = a6 + 6a5b +15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6

(Trang 34)

>Ví dụ 2. Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (3 - 2x)5.

Giải

Ta viết khai triển của (a+b)5 rồi sau đó thay a = 3, b = -2x vào khai triển nhận được.

Dựa vào hàng 5 của tam giác Pascal, ta có

(a+b)5 =a5 + 5a4b +10a3b² +10a²b³ +5ab4 +b5

Với a = 3, b = -2x, ta được

(3 - 2x)5 = 35 + 5·34(-2x) + 10·33(-2x)2 + 10·32(-2x)3 +5·3(-2x)4 + (-2x)5
=243 - 810x + 1080x2 - 720x3 + 240x4 - 32x5.

>Luyện tập 1.

a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (a+ b)7.

b) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triền của (2х - 1)4.

Dưới đây ta sẽ xây dựng công thức cho phép xác định trực tiếp hệ số bất kì trong khai triển (a + b)n

>HĐ3. Tính chất của các số hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-3

a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-4

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-5

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-6

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-7

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-8

Nhận xét rằng các hệ số khai triền của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn, hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-9hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-10

,  hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-11hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-12. Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-13hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-14 (0 ≤k≤n).

b) Dựa vào kết quả của HĐ3a, ta có thể viết những hàng đầu của tam giác Pascal dưới dạng: 

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-15

(a+b)0

(a+b)1

(a+b)2 

(a+b)3 

(a+b)4 

(a+b)5 

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-16

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-17 hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-18

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-19  

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-20

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-21 

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-22

Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-23 + hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-24hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-25

, hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-26 + hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-27hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-28,... Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-29.

(Trang 35)

Tính chất của các số hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-30

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-31 = hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-32  (0 ≤k ≤ n) (Tính chất đối xứng).

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-33 + hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-34 = hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-35

(1≤k≤n) (Hệ thức Pascal). 

? Hãy chứng minh các công thức trên bằng cách sử dụng công thức tính số các tổ hợp.

2. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON

>HĐ4. Quan sát khai triền nhị thức của (a + b)n n ∈ {1; 2; 3; 4; 5} ở HĐ3, hãy dự đoán công thức khai triền trong trường hợp tổng quát.

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-36

Chứng minh 

Ta chứng minh (1) bằng quy nạp theo n.

• Khi n = 1, ta có

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-37

Vậy công thức (1) đúng khi n = 1.

• Giả sử (1) là đúng với n = m, tức là ta có

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-38

Ta sẽ chứng minh rằng (1) cũng đúng khi n = m + 1, tức là

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-39

Thật vậy, ta có

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-40

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-41

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-42

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-43

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-44

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-45

, nên ta có (2). 

Vậy công thức nhị thức Newton là đúng với mọi số nguyên dương n.

Chú ý. Số hạng thứ (k + 1) trong khai triền của(a + b)n thành dạng (1) là hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-46

>Ví dụ 3. Viết khai triển nhị thức Newton (a+ b)6.

Giải

Ta có

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-47

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-48

Như vậy, ta tìm lại được kết quả của Ví dụ 1, nhưng bằng phương pháp khác.

(Trang 36)

Chú ý. Vì hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-49  (0≤ k ≤ 6) nên ta chỉ cần tính hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-50

, hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-51, hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-52, hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-53 và dùng tính chất này để suy ra hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-54

>Ví dụ 4. Khai triển biểu thức (3x – 2)4.

Giải

Theo công thức nhị thức Newton, ta có

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-55

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-56

>Luyện tập 2. Khai triển (x-2y)6.

Số hạng chứa xk trong khai triền của (ax + b)nhinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-57 hay hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-58 . Do đó, hệ số của xk trong khai triển của (ax + b)n là hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-59.

>Ví dụ 5. Tìm hệ số của x⁴ trong khai triền của (x + 2)10.

Giải. Số hạng chứa xk trong khai triền của (x + 2)10hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-60

.

Số hạng chứa x⁴ ứng với k = 4, tức là số hạng hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-61hay 13 440x⁴.

Vậy hệ số của x⁴ trong khai triền của (x + 2)10 là 13 440.

>Luyện tập 3. Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của (2 - 3x)10.

>Ví dụ 6. Tìm số nguyên dương n thoả mãn

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-62

Giải. Nhận thấy về trái của đằng thức trên có chứa các luỹ thừa của 3 nên áp dụng khai triển nhị thức Newton cho (x + 3)n ta được 

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-63

Cho x = 1 ta được

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-64

Vậy số nguyên dương cần tìm là n = 3.

>Vận dụng (Số các tập con của tập hợp có n phần từ)

a) Viết khai triền nhị thức Newton của (1 + x)n.

b) Cho x = 1 trong khai triền ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đằng thức này với lưu ý rằng hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-65

(0≤k ≤n) chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử.

c) Tương tự, cho x = -1 trong khai triển ở câu a), viết đằng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đằng thức này.

(Trang 37)

BÀI TẬP

2.9. Sử dụng tam giác Pascal, viết khai triển:

a) (x- 1)5;     b) (2x-3y)4.

2.10. Viết khai triển theo nhị thức Newton:

a) (x+y)6;       b) (1-2x)5.

2.11. Tìm hệ số của x8 trong khai triền của (2x + 3)10.

2.12. Biết hệ số của x² trong khai triển của (1 - 3x)n là 90. Tìm n.

2.13. Từ khai triền biểu thức (3x – 5)4 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.

2.14. Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của biều thức

x(1-2x)5 + x2 (1+3x)10.

2.15. Tính tổng sau đây: 

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-66

2.16. Tìm số tự nhiên n thoả mãn 

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-67

2.17. Tim số nguyên dương n sao cho

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-68

2.18. Biết rằng (2+x)100 = a0 +a1x+a₂x² +..+ a100x100. Với giá trị nào của k (0 ≤ k ≤ 100) thì ak lớn nhất? 

Em có biết?
  • Tam giác Pascal được đặt tên theo nhà toán học người Pháp Blaise Pascal. Ông là người có công lớn trong việc mở ra hai lĩnh vực mới  trong toán học là Hình học xạ ảnh và Lí thuyết xác suất. Thật ra tam giác Pascal đã được nghiên cứu từ nhiều thế kỉ trước đó bởi các nhà toán học Ấn Độ, Ba Tư, Trung Hoa, Đức, Ý.

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-69

Blaise Pascal (1623-1662)

  • Nhị thức Newton được đặt tên theo nhà bác học người Anh Isaac Newton. Ong được biết đến như một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của mọi thời đại, đồng thời là một trong những nhà khoa học có ảnh hưởng nhất trong lịch sử khoa học. Thật ra công thức nói tới được biết đến từ trước. Newton là người có công mở rộng công thức cho trường hợp n là số thực! 

hinh-anh-bai-4-nhi-thuc-newton-13187-70

Isaac Newton (1643-1727)

Tin tức mới


Đánh giá

Bài 4: Nhị Thức Newton | Chuyên đề học tập Toán 10 | Chuyên Đề 2: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học. Nhị Thức Newton - Lớp 10 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Tổng số sao của bài viết là: 5 trong 1 đánh giá
Xếp hạng: 5 / 5 sao

Bình Luận

Để Lại Bình Luận Của Bạn

Tin tức mới

Môn Học Lớp 10 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Chuyên đề học tập Toán 10

Chuyên đề học tập Vật lí 10

Chuyên đề học tập Ngữ văn 10

Chuyên đề học tập Hóa học 10

Chuyên đề học tập Sinh học 10

Chuyên đề học tập Lịch sử 10

Chuyên đề học tập Địa lí 10

Chuyên đề học tập Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 10

Chuyên đề học tập Âm nhạc 10

Chuyên đề học tập Công nghệ 10 (Công nghệ trồng trọt)

Chuyên đề học tập Mĩ thuật 10

Chuyên đề học tập Công nghệ 10 (Thiết kế và Công nghệ)

Chuyên đề học tập Tin học 10 (Định hướng khoa học máy tính)

Chuyên đề học tập Tin học 10 (Định hướng tin học ứng dụng)

Công nghệ trồng trọt 10

Vật Lí 10

Hóa học 10

Sinh học 10

Âm nhạc 10

Giáo Dục Quốc Phòng Và An Ninh 10

Ngữ văn 10 - Tập 1

Ngữ văn 10 - Tập 2

Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật 10

Giáo dục thể chất cầu lông

Giáo dục thể chất bóng đá

Giáo dục thể chất bóng chuyền

Giáo dục thể chất bóng rổ

Hoạt Động Trải Nghiệm, Hướng Nghiệp 10

Công Nghệ 10

Địa Lí 10

Toán 10 - Tập 1

Toán 10 - Tập 2

Lịch Sử 10

Mĩ thuật_Thiết kế thời trang 10

Mĩ thuật_Thiết kế mĩ thuật sân khấu, điện ảnh 10

Mĩ thuật_Thiết kế công nghiệp 10

Mĩ thuật_Thiết kế đồ hoạ 10

Mĩ thuật_Thiết kế mĩ thuật đa phương tiện 10

Mĩ thuật_Lí luận và lịch sử mĩ thuật 10

Mĩ thuật _Điêu khắc 10

Mĩ thuật_Đồ hoạ (tranh in) 10

Mĩ thuật_Hội hoạ 10

Mĩ thuật_Kiến trúc 10

Tin Học 10

Giải bài tập Sinh học 10

Giải bài tập Hóa học 10

Giải bài tập Vật lý 10

Bộ Sách Lớp 10

Giáo Dục Việt Nam

Bộ Sách Giáo Khoa của Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam

Tài liệu học tập

Đây là tài liệu tham khảo hỗ trợ trong quá trình học tập

Global Success & Bộ Giáo Dục - Đào Tạo

Bộ sách Global Success & Bộ Giáo Dục - Đào Tạo là sự kết hợp giữa ngôn ngữ Tiếng Anh theo lối giảng dạy truyền thống và cập nhật những phương thức quốc tế

Cánh Diều

Bộ sách giáo khoa của Nhà xuất bản Cánh Diều

Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Sách giáo khoa của nhà xuất bản Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Sách Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Lớp 1

Sách giáo khoa dành cho lớp 1

Lớp 6

Sách giáo khoa dành cho lớp 6

Lớp 5

Sách giáo khoa dành cho lớp 5

Lớp 4

Sách giáo khoa dành cho lớp 4

Lớp 2

Sách giáo khoa dành cho lớp 2

Lớp 3

Sách giáo khoa dành cho lớp 3

Lớp 7

Sách giáo khoa dành cho lớp 7

Lớp 8

Sách giáo khoa dành cho lớp 8

Lớp 9

Sách giáo khoa dành cho lớp 9

Lớp 10

Sách giáo khoa dành cho lớp 10

Lớp 11

Sách giáo khoa dành cho lớp 11

Lớp 12

Sách giáo khoa dành cho lớp 12

Liên Kết Chia Sẻ

** Đây là liên kết chia sẻ bới cộng đồng người dùng, chúng tôi không chịu trách nhiệm gì về nội dung của các thông tin này. Nếu có liên kết nào không phù hợp xin hãy báo cho admin.