Bài 5: Elip | Chuyên đề học tập Toán 10 | Chuyên Đề 3: Ba Đường Conic Và Ứng Dụng - Lớp 10

(Trang 39)

Thuật ngữ

Trục đối xứng, tâm đối xứng
Đỉnh, trục lớn, trục nhỏ
Đường chuẩn, tâm sai
Bán kính qua tiêu
Hình chữ nhật cơ sở

Kiến thức, kĩ năng

Xác định các yếu tố đặc trưng của elip (ellipse) khi biết phương trình chính tắc.
Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với elip.

Mỗi hành tinh trong Hệ Mặt Trời chuyển động theo một quỹ đạo hình elip nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm. Khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ Trái Đất đến tâm Mặt Trời tương ứng khoảng 152⋅10⁶ km và 147⋅10⁶ km (theo nssdc.gsfc.nasa.gov). Liệu có lập được phương trình chính tắc của elip là quỹ đạo của Trái Đất?

(Trang 40)

1. HÌNH DẠNG CỦA ELIP

>HĐ1. Cho elip có phương trình chính tắc hinh-anh-bai-5-elip-13189-1 (H.3.1).

a) Tìm toạ độ các giao điềm của elip với các trục toạ độ.

b) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm M(x_0;y₀) thuộc elip thì các điềm có toạ độ ((x_{0; -}y₀), (-x_0;y₀), (-x_{0; -}y₀ )cũng thuộc elip.

c) Với điểm M(x_0;y₀) thuộc elip, hãy so sánh OM² với a², b².

hinh-anh-bai-5-elip-13189-2

Hình 3.1

Cho elip có phương trình chính tắc hinh-anh-bai-5-elip-13189-3 . Khi đó

Elip có hai trục đối xứng là Ox, Oy và tâm đối xứng là gốc toạ độ O.
Các điềm A₁(-a; 0), A₂(a; 0), B₁(0; -b), B₂(0; b) được gọi là các đỉnh.
Các đoạn thẳng A₁, A₂, B₁, B₂ tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ.
Độ dài trục lớn, trục nhỏ tương ứng là 2a và 2b.
b<OM≤a với M thuộc elip.
Hình chữ nhật với bốn đỉnh P(-a; b), Q(-a; -b), R(a; -b), S(a; b) gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip.

>Ví dụ 1. Cho elip hinh-anh-bai-5-elip-13189-4 . Tính độ đài các trục B₂ và toạ độ các đỉnh của elip đó.

Giải

Các trục lớn, trục nhỏ của elip tương ứng (H.3.2) có độ dài hinh-anh-bai-5-elip-13189-5

Do đó, elip có các đỉnh là A₁(-10; 0), A₂(10; 0), B₁(0; -5), B₂(0; 5).

hinh-anh-bai-5-elip-13189-6

Hình 3.2

>Luyện tập 1. Viết phương trình chính tắc của elip với độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.

>Ví dụ 2. Cho elip có phương trình chính tắc hinh-anh-bai-5-elip-13189-7 . Chứng minh rằng, các điểm thuộc elip và khác đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật cơ sở, còn bốn đỉnh của elip là trung điểm của các cạnh của hình chữ nhật đó.

(Trang 41)

Giải

Gọi M(x_0;y₀) là một điểm thuộc elip. Do hinh-anh-bai-5-elip-13189-8 nên hinh-anh-bai-5-elip-13189-9 và nếu hinh-anh-bai-5-elip-13189-10

thì y₀=0, nếu hinh-anh-bai-5-elip-13189-11

thì x₀ = 0. Vậy hoặc –a<x₀<a, -b<y₀<b hoặc cặp (x_0;y₀) là một trong bốn cặp (-a; 0), (a; 0), (0; -b), (0; b). Từ đó, ta có điều phải chứng minh.

hinh-anh-bai-5-elip-13189-12

Hình 3.3

Chú ý

Khi tỉ số hinh-anh-bai-5-elip-13189-13 càng nhỏ (càng gần về 0), thì hình chữ nhật cơ sở càng "dẹt" và elip càng "gầy".

Khi tỉ số hinh-anh-bai-5-elip-13189-14 càng lớn (càng gần tới 1), thì hình chữ nhật cơ sở càng gần với hình vuông và elip càng "béo" (càng gần đường tròn) (H.3.4).

hinh-anh-bai-5-elip-13189-15

hinh-anh-bai-5-elip-13189-16

hinh-anh-bai-5-elip-13189-17

hinh-anh-bai-5-elip-13189-18

hinh-anh-bai-5-elip-13189-19

hinh-anh-bai-5-elip-13189-20

Hình 3.4

>Luyện tập 2. (Phép co đường tròn). Cho đường tròn có phương trình x² + y² = a² và số k (0 < k< 1). Với mỗi điểm M(x_0;y₀) thuộc đường tròn, gọi H(x_0;0) là hình chiều vuông góc của M lên trục Ox và N là điểm thuộc đoạn MH sao cho HN = kHM (H.3.5).

a) Tính toạ độ của N theo x_0;y₀; k.

b) Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên đường tròn thì N thay đổi trên elip có phương trình chính tắc hinh-anh-bai-5-elip-13189-21 .

(Trang 42)

Chú ý

Người ta nói: Phép co về trục hoành hệ số k biến đường tròn x²+ y²= a² thành elip có phương trình hinh-anh-bai-5-elip-13189-22

hinh-anh-bai-5-elip-13189-23

Hình 3.5

2. BÁN KÍNH QUA TIÊU, TÂM SAI VÀ ĐƯỜNG CHUẨN

> HĐ2. Cho elip có hai tiêu điểm F₁(-c; 0), F₂(c; 0) và độ dài trục lớn bằng 2a và điềm M(x; у).

a) Tính hinh-anh-bai-5-elip-13189-24

b) Khi điểm M thuộc elip hinh-anh-bai-5-elip-13189-25

, tính

Cho elip có phương trình chính tắc hinh-anh-bai-5-elip-13189-27

, với các tiêu điểm F₁(-c; 0), F₂(c; 0) (với hinh-anh-bai-5-elip-13189-28

). Với điểm M(x; y) thuộc elip, ta có hinh-anh-bai-5-elip-13189-29

Các đoạn thằng MF₁, MF₂ được gọi là bán kính qua tiêu của M.

>Ví dụ 3. Cho elip có phương trình chính tắc hinh-anh-bai-5-elip-13189-30

. Tìm các điềm trên elip để khoảng cách từ điểm đó đến tiêu điềm F₁ tương ứng đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.

Giải. Elip có nửa tiêu cự là hinh-anh-bai-5-elip-13189-31 . Với mỗi điểm M(x_0;y₀) thuộc elip, ta có bán kính qua tiêu của M ứng với tiêu điểm F₁ là hinh-anh-bai-5-elip-13189-32 . Mặt khác M(x_0;y₀) thuộc elip nên hinh-anh-bai-5-elip-13189-33 Do đó, hinh-anh-bai-5-elip-13189-34 . Hơn nữa, hinh-anh-bai-5-elip-13189-35

và

. Vậy MF₁ nhỏ nhất khi điềm M trùng đình A₁(-a; 0) và MF₁ lớn nhất khi điềm M trùng đỉnh A₂(a; 0) của elip.

Chú ý

Tương tự Ví dụ 3, khoảng cách từ M đến tiêu điểm F₂ là nhỏ nhất khi M trùng đỉnh A₂(a; 0) và lớn nhất khi M trùng đỉnh A₁(-a; 0).

hinh-anh-bai-5-elip-13189-37

Bán kính qua tiêu có độ dài lớn nhất bằng nửa tổng của độ dài trục lớn và tiêu cự, và có độ dài nhỏ nhất bằng nửa hiệu của độ dài trục lớn và tiêu cự.

>Luyện tập 3. Cho elip hinh-anh-bai-5-elip-13189-38 , điểm M thay đổi trên elip. Hỏi khoảng cách từ M tới một tiêu điểm của elip lớn nhất bằng bao nhiêu, nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

(Trang 43)

>Vận dụng 1. Với thông tin được đưa ra trong tình huống mở đầu, lập phương trình chính tắc của elip quỹ đạo của Trái Đất, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với 10⁶ km trên thực tế.

>HĐ3. Cho ellp có phương trình chính tắc hinh-anh-bai-5-elip-13189-39 , với các tiêu điểm F₁(-c; 0), F₂(c; 0), ở đây hinh-anh-bai-5-elip-13189-40

(H.3.6). Xét các đường thẳng hinh-anh-bai-5-elip-13189-41

và

Với điểm M(x; y) thuộc elip, tính các tỉ số hinh-anh-bai-5-elip-13189-43 và hinh-anh-bai-5-elip-13189-44 theo a và c.

hinh-anh-bai-5-elip-13189-45

Hình 3.6

Cho ellp có phương trình chính tắc hinh-anh-bai-5-elip-13189-46 , với các tiêu điểm F₁(-c; 0), F₂(c; 0) (với hinh-anh-bai-5-elip-13189-47 ).

Khi điểm M(x; y) thay đổi trên elip, ta luôn có hinh-anh-bai-5-elip-13189-48 không đổi, trong đó

được gọi là tâm sai của elip.
và được gọi là các đường chuần tương ứng với F₁ và F₂ của elip.

Chú ý

Tâm sai e của elip là một số dương nhỏ hơn 1.
Độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) thuộc elip còn được viết dưới dạng .

>Ví dụ 4. Cho elip hinh-anh-bai-5-elip-13189-53 . Tim tâm sai, tiêu điềm và các đường chuần của elip.

Giải

Ta có a² = 64, b² = 39. Suy ra a = 8, hinh-anh-bai-5-elip-13189-54 và hinh-anh-bai-5-elip-13189-55

Vậy elip có hai tiêu điềm là F₁(-5; 0), F₂(5; 0) và tâm sai là hinh-anh-bai-5-elip-13189-56 . Đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁ là hinh-anh-bai-5-elip-13189-57 và đường chuần ứng với tiêu điểm F₂là hinh-anh-bai-5-elip-13189-58 .

(Trang 44)

>Luyện tập 4. Cho elip có phương trình chính tắc hinh-anh-bai-5-elip-13189-59 . Tìm tâm sai và các đường chuần 36 25 của elip. Tính các bán kính qua tiêu của điểm M thuộc elip và có hoành độ bằng -2.

Nhận xét. Trong phương trình chính tắc của elip, vì tâm sai hinh-anh-bai-5-elip-13189-60

nên:

e càng nhỏ (càng gần về 0) thì càng lớn và do đó elip càng “béo" (càng gần đường tròn);
e càng lớn (càng gần tới 1) thì càng nhỏ và do đó elip càng "dẹt" (H.3.7).

hinh-anh-bai-5-elip-13189-63

e= 0,1

hinh-anh-bai-5-elip-13189-64

e = 0,5

hinh-anh-bai-5-elip-13189-65

e = 0,68

hinh-anh-bai-5-elip-13189-66

e= 0,86

Hình 3.7

>Vận dụng 2. Mặt Trăng chuyền động theo một quỹ đạo hình elip nhận tâm Trái Đất là một tiêu điềm. Các khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ các vị trí của Mặt Trăng đến tâm Trái Đất tương ứng là 400 000 km và 363 000 km (theo nssdc.gsfc.nasa.gov). Tìm tâm sai của quỹ đạo elip.

BÀI TẬP

3.1. Cho elip hinh-anh-bai-5-elip-13189-67

a) Xác định các đỉnh và độ dài các trục của elip.

b) Xác định tâm sai và các đường chuần của elip.

c) Tính các bán kính qua tiêu của điềm M thuộc elip, biết điềm M có hoành độ bằng -3.

3.2. Viết phương trình chính tắc của elip trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài trục lớn bằng 8, tiêu cự bằng 6;

b) Độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai bằng hinh-anh-bai-5-elip-13189-68

3.3. Cho elip hinh-anh-bai-5-elip-13189-69

a) Qua tiêu điềm của elip vẽ đường thẳng vuông góc với trục Ox, cắt elip tại hai điểm A và B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

b) Tìm điểm M trên elip sao cho MF₁ = 2MF₂với F₁ và F₂ là hai tiêu điểm của elip (hoành độ của F₁ âm).

(Trang 45)

3.4. Đường tròn phụ của hình elip là đường tròn có đường kính là trục nhỏ của elip (H.3.8). Do đó, đường tròn phụ là đường tròn lớn nhất có thể nằm bên trong một hình elip. Tim phương trình đường tròn phụ của elip hinh-anh-bai-5-elip-13189-70

và chứng minh rằng, nếu điểm M(x_0;y₀) thuộc elip thì điểm N hinh-anh-bai-5-elip-13189-71

thuộc đường tròn phụ.

hinh-anh-bai-5-elip-13189-72

Hình 3.8

3.5. Với tâm sai khoảng 0,244, quỹ đạo elip của sao Diêm Vương “dęt" hơn so với quỹ đạo của tám hành tinh trong hệ Mặt Trời (xem Em có biết? ở cuối bài). Nửa độ dài trục lớn của elip quỹ đạo là khoảng 590 635-10⁶ km. Tìm khoảng cách gần nhất và khoảng cách xa nhất giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời (tiêu điểm của quỹ đạo) (theo nssdc.gsfc.nasa.gov).

3.6. Một phòng thì thầm có trần vòm elip với hai tiêu điểm ở độ cao 1,6 m (so với mặt sàn) và cách nhau 1,6 m. Đỉnh của mái vòm cao 7,6 m (H.3.9). Hỏi âm thanh thì thầm từ một tiêu điểm thì sau bao nhiêu giây đến được tiêu điểm kia? Biết vận tốc âm thanh là 343,2m/s và làm tròn đáp số tới 4 chữ số sau dấu phẩy.

hinh-anh-bai-5-elip-13189-73

Hình 3.9

Em có biết?

Dựa vào tính chất quang học của elip, người ta đã thiết kế các phòng thì thầm (whispering gallery), với mái vòm elip hoặc các bức tường elip để hai người đứng ở hai tiêu điềm, dù không gần nhau, vẫn có thể thì thầm được với nhau. Chẳng hạn, trong phòng thì thầm hình elip tại Bảo tàng khoa học và công nghiệp Chicago, Hoa Kỳ, hai người đứng ở hai tiêu điểm của elip (trước các tấm kính elip) cách nhau khoảng 13 m vẫn có thể nói chuyện thì thầm với nhau, vì khi gặp tầm kính và các bức tường, âm thanh đã phàn xạ và hội tụ về vị trí nơi người nghe đứng.

(Trang 46)

Mặc dù các hành tinh trong hệ Mặt Trời chuyền động theo các quỹ đạo elip (H.3.10a) nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm, nhưng với các tâm sai rất nhỏ, nên các quỹ đạo này rất gần với đường tròn. Tâm sai của quỹ đạo tám hành tinh quen thuộc trong hệ Mặt Trời như sau: Kim tinh: e = 0,007; Mộc tinh: e = 0,049; Thuỷ tinh: e = 0,205; Thổ tinh: e ≈ 0,055; Hoả tinh: e ≈ 0,094; Trái Đất: e ≈ 0,017; Hải Vương tinh: e = 0,011; Thiên Vương tinh: e =0,046 (theo nssdc.gsfc.nasa.gov).

hinh-anh-bai-5-elip-13189-74

Ngoài định luật về quỹ đạo elip của các hành tinh trong hệ Mặt Trời, Kepler còn có các định luật nổi tiếng và quan trọng sau đây về chuyền động của các hành tinh:

Trong quá trình chuyền động quanh Mặt Trời, bán kính qua tiêu của hành tinh ứng với tiêu điểm tại tâm Mặt Trời quét nên những hình có diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau (H.3.10b).
Bình phương chu kì quỹ đạo (thời gian đi hết một vòng quỹ đạo) của một hành tinh tỉ lệ với lập phương nửa độ dài trục lớn của elip quỹ đạo.

Sau Kepler khoảng tám thập kỉ, Newton đã chỉ ra rằng, các định luật về chuyền động và Định luật vạn vật hấp dẫn của ông kéo theo ba định luật nói trên của Kepler.

Liên Kết Chia Sẻ

** Đây là liên kết chia sẻ bới cộng đồng người dùng, chúng tôi không chịu trách nhiệm gì về nội dung của các thông tin này. Nếu có liên kết nào không phù hợp xin hãy báo cho admin.

Bài 5: Elip | Chuyên đề học tập Toán 10 | Chuyên Đề 3: Ba Đường Conic Và Ứng Dụng - Lớp 10 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Chuyên đề học tập Toán 10 - Bài 5: Elip - Nắm vững định nghĩa, phương trình chính tắc, các yếu tố cơ bản và ứng dụng thực tiễn của đường Elip trong các lĩnh vực khác.

Nội Dung Chính

1. HÌNH DẠNG CỦA ELIP

2. BÁN KÍNH QUA TIÊU, TÂM SAI VÀ ĐƯỜNG CHUẨN

BÀI TẬP

Tin tức mới

Đánh giá

Các Bài Học Khác

Bình Luận

Để Lại Bình Luận Của Bạn

Chuyên đề học tập Toán 10

Tin tức mới

Môn Học Lớp 10 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Bộ Sách Lớp 10

Sách Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Liên Kết Chia Sẻ