Nội Dung Chính
(Trang 15)
| Thuật ngữ
| Kiến thức, kĩ năng
|
Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn được vận dụng để giải quyết rất nhiều bài toán khác nhau. Trong bài này ta sẽ gặp một số ví dụ vận dụng như vậy trong các lĩnh vực vật lí, hoá học, sinh học, kinh tế học, ... Chúng ta cũng sẽ được làm quen với một số dạng toán giải bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.
1. GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÍ, HOÁ HỌC VÀ SINH HỌC
ỨNG DỤNG TRONG SINH HỌC
Trong sinh học có nhiều bài toán dẫn đến việc giải hệ phương trình bậc nhất nhiều ần. Dưới đây giới thiệu hai ví dụ đơn giản trong ngành chăn nuôi và ngành sinh thái.
| Bài toán sản xuất gà giống. Trong trang trại sản xuất gà giống, việc lựa chọn tỉ lệ giữa gà trống và gà mái rất quan trọng. Nếu quá nhiều gà trống thì không hiệu quả kinh tế, nếu ít gà trống quá thì ảnh hưởng đến hiệu quả sản xuất gà giống. Các nghiên cứu chỉ ra rằng tỉ lệ giữa gà trống và gà mái để sản xuất gà giống hiệu quả nhất là 1:10,5. Một đàn gà trưởng thành có tổng số 3 000 con, trong đó tỉ lệ gà trống và gà mái là 5:3. Cần chuyển bao nhiêu gà trống cho mục đích nuôi lấy thịt để hiệu quả cao nhất? |
Trang trại sản xuất gà giống |
>HĐ1. Gọi x, y, z lần lượt là số gà trống, số gà mái, số gà trống cần chuyển sang mục đích nuôi lấy thịt trong đàn gà.
a) Điều kiện của x, y và z là gì?
b) Từ giả thiết của bài toán, hãy tìm ba phương trình bậc nhất rằng buộc x, y và z, từ đó có một hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.
c) Giải hệ phương trình bậc nhất thu được. Từ đó đưa ra câu trả lời cho bài toán.
(Trang 16)
Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, ta tiến hành theo ba bước sau:
>Ví dụ 1. Một khu rừng ngập mặn có diện tích là 1 ha. Bằng kĩ thuật viễn thám, người ta ước lượng sinh khối trên mặt đất của rừng này là 87,2 tấn/ha. Người ta đếm được trong các ô tiêu chuẩn 100 m² có tổng số 161 cây, trong đó số cây bần bằng 15% tổng số cây mắm và cây đước. Khối lượng trung bình của một cây bần là 10 kg, cây đước là 5 kg và cây mắm là 1 kg. Hãy tính sinh khối của từng loài trên 1 ha rừng. Giải Đổi: 87,2 tấn = 87 200 kg ; 1 ha = 10 000 m2. Gọi x,y,z theo thứ tự là số cây bần, cây đước và cây mắm trong 1 ha rừng ngập mặn nói trên. 100 m2 có tổng số 161 cây nên 10 000 m2 có số cây là
Do đó Số cây bần bằng 15% tổng số cây mắm và cây đước nên ta có
Vậy theo bài ra ta có hệ phương trình
Dùng máy tính cầm tay giải hệ ta được x = 2 100, y = 13 050, z = 950. Vậy sinh khối bần là 10x = 21 000 kg/ha = 21 tấn/ha; sinh khối đước là 5y = 65 250 kg/ha = 65,25 tấn/ha và sinh khối mắm là z = 950 kg/ha = 0,95 tấn/ha. |
Việc giải nhiều bài toán trong thực tiễn dẫn đến phải đặt ẩn và giải hệ phương trình. Cách làm như vậy gọi là giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
Rừng ngập mặn
Sinh khối (còn gọi là sinh khối loài) là tổng trọng lượng của sinh vật sống trong sinh quyền hoặc số lượng sinh vật sống trên một đơn vị diện tích. (Theo Sinh học 12, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2017) |
. 
Khối lượng trung bình của một cây bần là 10 kg, cây đước là 5 kg và cây măm là 1 kg nên ta có 
ỨNG DỤNG TRONG HOA HỌC
Ứng dụng đơn giản nhất của hệ phương trình bậc nhất trong môn Hoá học là để cân bằng phương trình phản ứng hoá học. Các hệ phương trình trong trường hợp này thường có vô số nghiệm và người ta thường chọn nghiệm nguyên dương nhỏ nhất. Đầu tiên ta xét phản ứng giữa khí hydrogen tác dụng với oxygen ở nhiệt độ cao để tạo thành nước.
>Ví dụ 2. Cân bằng phương trình phản ứng hoá học 
Giải
Giả sử x, y, z là ba số nguyên dương thỏa mãn cân bằng phản ứng
Vì số nguyên tử hydrogen và oxygen ở hai về phải bằng nhau nên ta có hệ
Về mặt toán học, hệ này có vô số nghiệm, tuy nhiên người ta thường chọn bộ nghiệm nguyên dương nhỏ nhất. Cụ thề chọn y = 1 ta được x = z = 2. Từ đó ta được phương trình cân bằng
Ta xét một phản ứng nữa rất quan trọng trong hoá sinh là phản ứng quang hợp, tức là quá trình thu nhận và chuyển hoá năng lượng ánh sáng mặt trời của thực vật tạo ra hợp chất hữu cơ (glucose) làm nguồn thức ăn cho hầu hết sinh vật trên Trái Đất.
| >Ví dụ 3. Cân bằng phương trình phản ứng quang hợp (dưới điều kiện ánh sáng và chất diệp lục): CO2 + H2O → C6H12O6 + O2 Giải Giả sử x, y, z, t là bốn số nguyên dương thoả mãn cân bằng phản ứng xCO2 + yH2O → zC6H12O6 + tO2 Vì số nguyên tử carbon, hydrogen và oxygen ở hai về phải bằng nhau nên ta có hệ
Đặt |
Quang hợp là quá trình thu nhận và chuyền hoá năng lượng ánh sáng mặt trời của thực vật, tảo và một số vi khuẩn để tạo ra hợp chất hữu cơ (đường glucose) phục vụ bản thân cũng như làm nguồn thức ăn cho hầu hết các sinh vật trên Trái Đất. (Theo Sinh học 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2017) |
, ta được hệ phương trình bậc nhất ba ẩn 
(Trang 18)
ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÍ
Nhiều bài toán tính điện trở, cường độ dòng điện trong Điện học; tính vận tốc, gia tốc trong Cơ học cũng dẫn đến giải hệ phương trình bậc nhất.
| >Ví dụ 4. (Bài toán tính cường độ dòng điện) Cho đoạn mạch như Hình 1.1. Biết R1=25 Ω, R2= 36Ω, R3 = 45Ω và hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch U=60 V. Gọi I1 là cường độ dòng điện của mạch chính, I2 và l3 là cường độ dòng điện mạch rẽ. Tính I1, I2 và l3. |
Hình 1.1 |
Giải
Từ sơ đồ mạch điện, ta thấy I1, I2 và l3 là nghiệm của hệ phương trình:
Dùng máy tỉnh cầm tay giải hệ, ta được 
>Luyện tập 1. Cân bằng phương trình phản ứng hoá học đốt cháy octane trong oxygen
C8H18 + O2 → CO2 + H2O.
2. GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG CUNG – CẦU
Các nhà kinh tế học đã chỉ ra rằng, giá cả của một mặt hàng bán trên thị trường phụ thuộc vào ba yếu tố chính. Thứ nhất, phụ thuộc vào giá trị của bản thân hàng hoá đó. Thứ hai, phụ thuộc vào giá trị đồng tiền. Thứ ba, phụ thuộc vào quan hệ cung và cầu về mặt hàng đó.
Trong thị trường nhiều mặt hàng, giá cả của mặt hàng này có ảnh hưởng tới giá cả của mặt hàng khác và giá cả của hàng hoá có ảnh hưởng đến lượng cung và lượng cầu của thị trường. Khi phân tích hoạt động của thị trường hàng hoá, các nhà kinh tế học sử dụng hàm cung và hàm cầu đề biều thị sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu vào giá cả hàng hoá. Người ta thường phải giải bài toán cân bằng giữa cung và cầu. Bài toán này thường dẫn đến việc giải hệ phương trình bậc nhất nhiều ần.
Đề đơn giản, ta xét thị trường thực phầm gồm ba loại mặt hàng là thịt lợn, thịt bò và thịt gà. Khi thịt lợn đắt, thịt bò và thịt gà rẻ thì người tiêu dùng có xu hướng giảm mua thịt lợn, tăng mua thịt bò và thịt gà.
>HĐ2. Kí hiệu x, y, z lần lượt là giá của 1 kg thịt lợn, 1 kg thịt bò và 1 kg thịt gà, ở đây x, y, z > 0 và đơn vị là nghìn đồng. Kí hiệu:
(Trang 19)
Qs1 là lượng thịt lợn mà người bán chấp thuận bán với giá x.
Qs2 là lượng thịt bò mà người bán chấp thuận bán với giá y.
Qs3 là lượng thịt gà mà người bán chấp thuận bán với giá z.
QD1 là lượng thịt lợn mà người mua chấp thuận mua với giá x.
QD2 là lượng thịt bò mà người mua chấp thuận mua với giá y.
QD3 là lượng thịt gà mà người mua chấp thuận mua với giá z.
a) Mức giá thịt lợn x, thịt bò y và thịt gà z phải thoả mãn điều kiện gì để người bán và người mua cùng hài lòng, tức là mức giá hợp lí nhất?
b) Viết hệ phương trình ràng buộc giữa x,y,z để người bán và người mua cùng hài lòng
| Trong kinh tế học người ta gọi: Các hàm Qs1, Qs2, Qs3 phụ thuộc vào ba biến giá x,y,z là hàm cung (supply function); Các hàm QD1, QD2, QD3 phụ thuộc vào ba biến giá x,y,z là hàm cầu (demand function); Hệ phương trình |
>Ví dụ 5. Cho biết:
| Hàm cung thịt lợn là Qs1=-120 + 2x | Hàm cầu thịt lợn là QD1 = 190 - 3x + y - z |
| Hàm cung thịt bò là Qs2= -200 +2y | Hàm cầu thịt bò là QD2 = 440 + 2x - y - z |
| Hàm cung thịt gà là Qs3 = -210 + 3z | Hàm cầu thịt gà là QD3 = 260 - x - 2y + 4z |
Hãy giải hệ phương trình cân bằng cung – cầu.
Giải
Hệ phương trình cân bằng cung – cầu là 
Thu gọn ta được hệ phương trình 
Dùng máy tính cầm tay giải hệ, ta được x = 90, y = 240, z = 100.
Vậy giá thịt lợn 90 nghìn đồng/kg, thịt bò 240 nghìn đồng/kg và thịt gà 100 nghìn đồng/kg là giá bán hợp lí nhất.
Chú ý. Trong thực tế, thị trường hàng hoá rất phức tạp vì có nhiều mặt hàng. Khi đó, hệ phương trình cân bằng cung – cầu là một hệ phương trình nhiều ằn, nhiều phương trình và do đó rất khó giải. Ngoài ra, giá cả của hàng hoá còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác nữa, chứ không phải chỉ là quan hệ cung – cầu.
(Trang 20)
>Luyện tập 2. Xét thị trường hải sản gồm ba mặt hàng là cua, tôm và cá. Kí hiệu x, y, z lần lượt là giá 1 kg cua, 1 kg tôm và 1 kg cá (đơn vị nghìn đồng). Kí hiệu Qs1, Qs2, Qs3 là lượng cua, tôm và cá mà người bán bằng lòng bán với giá x, y và z. Kí hiệu QD1, QD2, QD3 tương ứng là lượng cua, tôm và cá mà người mua bằng lòng mua với giá x, y và z. Cụ thể các hàm này được cho bởi
Qs1 = -300+x; QD1= 1300-3x+4y - z;
Qs2 = -450+3y; QD2 =1150+2x-5y -z
Qs3 =-400+2z; QD3 =900 -2x-3y+4z.
Tìm mức giá cua, tôm và cá mà người bán và người mua cùng hài lòng.
BÀI TẬP
1.7. Cho hàm cung và hàm cầu của ba mặt hàng như sau:
Qs1=-4+x; QD1 = 70- x-2y -6z;
Qs2 =-3+y; QD2 =76-3x -y -4z;
Qs3 =-6+3z; QD3 =70-2x-3y -2z.
Hãy xác định giá cân bằng cung – cầu của ba mặt hàng.
1.8. Em Hà so sánh tuồi của mình với chị Mai và anh Nam. Tuổi của anh Nam gấp ba lần tuổi của em Hà. Cách đây bảy năm tuồi của chị Mai bằng nửa số tuồi của anh Nam. Ba năm nữa tuồi của anh Nam bằng tồng số tuổi của chị Mai và em Hà. Hỏi tuỗi của mỗi người là bao nhiêu?
1.9. Bác Việt có 330 740 nghìn đồng, bác chia số tiền này thành ba phần và đem đầu tư vào ba hình thức: Phần thứ nhất bác đầu tư vào chứng khoán với lãi thu được 4% một năm; phần thứ hai bác mua vàng thu lãi 5% một năm và phần thứ ba bác gửi tiết kiệm với lãi suất 6% một năm. Sau một năm, kể cả gốc và lãi bác thu được ba món tiền bằng nhau. Hỏi tổng số tiền cả gốc và lãi bác thu được sau một năm là bao nhiêu?
1.10. Một tuyến cáp treo có ba loại vé sau đây: vé đi lên giá 250 nghìn đồng; vé đi xuống giá 200 nghìn đồng và vé hai chiều giá 400 nghìn đồng. Một ngày nhà ga cáp treo thu được tổng số tiền là 251 triệu đồng. Tìm số vé bán ra mỗi loại, biết rằng nhân viên quản lí cáp treo đếm được 680 lượt người đi lên và 520 lượt người đi xuống.
1.11. Ba lớp 10A, 10B, 10C của một trường trung học phổ thông gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây. Tính trung bình, mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây xoan và 4 cây bạch đàn; mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây xoan và 5 cây bạch đàn; mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây xoan. Cả ba lớp trồng được tổng cộng 476 cây xoan và 375 cây bạch đàn. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu em?
1.12. Cân bằng phương trình phản ứng hoá học đốt cháy methane trong oxygen
CH4 + O2→ CO2+ H2О.
1.13. Cho đoạn mạch như Hình 1.2. Gọi I là cường độ dòng điện của mạch chính, I1, I2 và l3 là cường độ dòng điện mạch rẽ. Cho biết R1 = 6Ω, R2 = 8Ω, I = 3 A và I3 = 2A. Tính điện trở R3 và hiệu điện thế U giữa hai đầu đoạn mạch.
(Trang 21)
Hình 1.2
1.14. Mỗi giai đoạn phát triển của thực vật cần phân bón với tỉ lệ N, P, K nhất định. Bác An làm vườn muốn bón phân cho một cây cảnh có tỉ lệ N : P : K cân bằng nhau. Bác An có ba bao phân bón:
Bao 1 có tỉ lệ N : P : K là 12 : 7 : 12.
Bao 2 có tỉ lệ N : P : K là 6 : 30 : 25.
Bao 3 có tỉ lệ N : P : K là 30 : 16 : 11.
Hỏi phải trộn ba loại phân bón trên với tỉ lệ bao nhiêu để có hỗn hợp phân bón với tỉ lệ N : P : K là 15 : 15 : 15?
Chú ý rằng mỗi bao phân người ta thường viết một tỉ lệ N : P : K nhất định. Chẳng hạn trên bao phân 1 ghi tỉ lệ N : P : K là 12 : 7 : 12 nghĩa là hàm lượng đạm N (nitơ) chiếm 12%, lân P (tức là P2O5) chiếm 7% và kali K (tức là K2O) chiếm 12%, còn các loại khác chiếm 100% – (12% + 7% + 12%) = 69%.
| Em có biết? Wassily Leontief (1906 – 1999) là nhà kinh tế học người Mỹ, gốc Nga. Ông đã đóng góp một số lí thuyết sâu sắc cho kinh tế học, trong đó mô hình kinh tế Leontief đưa ông đến với giải thưởng Nobel năm 1973. Mô hình kinh tế Leontief biểu thị sự phụ thuộc giữa các ngành sản xuất trong một nền kinh tế bởi một hệ phương trình bậc nhất. Xét một nền kinh tế gồm n ngành sản xuất hàng hoá N1, N2,...,Nn. Để sản xuất, mỗi ngành cần tiêu thụ hàng hoá của bản thân ngành mình và các ngành khác của nền kinh tế đó. Giả sử để sản xuất ra một đơn vị hàng hoá, ngành Nj cần tiêu thụ aij đơn vị hàng hoá của ngành Ni (i, j ∈ {1,2,...,n}). Vấn đề đặt ra là tính số đơn vị hàng hoá mà mỗi ngành trên cần sản xuất để sau tiêu thụ do sản xuất, ngành Ni (i ∈ {1,...,n}) có thể xuất ra ngoài nền kinh tế nói trên bi đơn vị hàng hoá. |
Wassily Leontief (1906 – 1999) |
| Gọi x1,...,xn tương ứng là số đơn vị hàng hoá mà các ngành N1,....,Nn cần sản xuất. Đề sản xuất xj đơn vị hàng hoá, ngành Nj, cần tiêu thụ aijxj đơn vị hàng hoá của ngành Ni. Do đó, sau tiêu thụ do sản xuất, số đơn vị hàng hoá ngành Ni còn lại là Sau tiêu thụ do sản xuất, ngành Ni còn bi, đơn vị hàng hoá nên ta có hệ phương trình (với n ản là x1,...,xn): Trong trường hợp n=3, hệ trên sẽ trở thành hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. Trong Bài 1, em đã được học phương pháp Gauss để giải hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn. Phương pháp Gauss còn được áp dụng cho hệ phương trình bậc nhất n ẩn, do đó hệ phương trình gắn với mô hình kinh tế Leontief là hoàn toàn có thể giải quyết được. (Theo sách Wassily Leontief (1986), Input-output Economics, Oxford University Press). |
Các Bài Học Khác
Chuyên đề học tập Toán 10 - Bài Tập Cuối Chuyên Đề 1 - Củng cố, vận dụng linh hoạt các phương pháp giải và ứng dụng vào bài toán thực tế.
Xem thêm ⟶
Bình Luận
Để Lại Bình Luận Của Bạn