Bài 1: Mệnh đề | Toán 10 - Tập 1 | Chương 1: Mệnh đề và tập hợp - Lớp 10 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

(Trang 5)

Chương này cung cấp những khái niệm và kí hiệu lôgic thường dùng, củng cố và mở rộng hiểu biết ban đầu về lí thuyết tập hợp đã được học ở các lớp dưới. Từ đó góp phần hình thành khả năng suy luận có lí, khả năng tiếp nhận, diễn đạt các vấn đề một cách chính xác, tạo cơ sở để học tốt các nội dung toán học khác.

Có bao nhiêu con vật xuất hiện trong hình vẽ?	Có 5 con vật xuất hiện trong hình vẽ.	Có 6 con vật xuất hiện trong hình về.

(Trang 6)

1. MỆNH ĐỀ, MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

a. Mệnh đề

HĐ1. Trong các câu ở tình huống mở đầu.

a) Câu nào đúng?
b) Câu nào sai?
c) Cầu nào không xác định được tính đúng sai?

Những câu nói của An và Khoa là những khẳng định có tính đúng hoặc sai. Người ta gọi mỗi câu như vậy là một mệnh đề lôgic (gọi tắt là mệnh đề). Những câu không xác định được tính đúng sai không phải là mệnh đề.

Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai.
Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

Chú ý. Người ta thường sử dụng các chữ cái P, Q, R,... để biểu thị các mệnh đề.

Ví dụ 1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? Câu nào không phải là mệnh đề?

a) Phương trình – 5x + 2 =0 có nghiệm nguyên;

b) 5 < 7 - 3;

c) Có bao nhiêu dấu hiệu nhận biết hai tam giác đồng dạng?

d) Đấy là cách xử lí khôn ngoan!

Giải

Vì phương trình

Do đó, cầu a và câu b là những mệnh điểm nguyên x = 1 nên cầu x

Câu c là câu hỏi; câu d là câu cảm thán, nêu lên ý kiến của người nói. Do đó, không xác định được tính đúng sai. Vậy các câu c và d không phải là mệnh đề.

Chú ý. Những mệnh đề liên quan đến toán học (các mệnh đề ở câu a và câu b trong Ví dụ 1) được gọi là mệnh đề toán học.

Luyện tập 1. Thay dấu "?" bằng dấu "x" vào ô thích hợp trong bảng sau:

(Trang 7)

b. Mệnh đề chứa biến

Xét câu "n chia hết cho 2" (với n là số tự nhiên).

Ta chưa khẳng định được tính đúng sai của câu này, do đó nó chưa phải là một mệnh đề.

Tuy nhiên, nếu thay n bằng số tự nhiên cụ thể thì câu này cho ta một mệnh đề. Chẳng hạn:

• Với n = 5 ta được mệnh đề "5 chia hết cho 2". Đây là mệnh đề sai.
• Với n = 10 ta được mệnh đề “10 chia hết cho 2". Đây là mệnh đề đúng. 

Ta nói rằng câu “n chia hết cho 2" là một mệnh đề chứa biến.

Xét câu "x > 5". Hãy tìm hai giá trị thực của x để từ câu đã cho, ta nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.

2. MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH

HĐ2. Quan sát biển báo trong hình bên.

Khoa nói: “Đây là biển báo đường dành cho người đi bộ".

An không đồng ý với ý kiến của Khoa.

Hãy phát biểu ý kiến của An dưới dạng một mệnh đề.

Để phủ định một mệnh đề P, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ "không" hoặc "không phải” vào trước vị ngữ của mệnh đề P. Ta kí hiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề P là .

Mệnh đề P và mệnh đề  là hai phát biểu trái ngược nhau. Nếu P đúng thì sai, còn nếu P sai thì đúng.

Ví dụ 2. Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

P: “17 là số chính phương":

Q: “Hình hộp không phải là hình lăng trụ".

Giải

Mệnh đề phủ định của P là

Mệnh đề phủ định của Q là : "Hình hộp là hình lăng trụ".

Luyện tập 2. Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.

P: "2 022 chia hết cho 5"

Q: "Bất phương trình 2x + 1 > 0 có nghiệm".

Vận dụng. Cho mệnh đề Q: "Châu Á là châu lục có diện tích lớn nhất trên thế giới". Phát biểu mệnh đề phủ định và xác định tính đúng sai của hai mệnh đề Q và .

(Trang 8)

3. MỆNH ĐỀ KÉO THEO, MỆNH ĐỀ ĐẢO

a. Mệnh đề kéo theo

HĐ3. Cặp từ quan hệ nào sau đây phù hợp với vị trí bị che khuất trong câu ghép ở hình bên?

A. Nếu ... thì ...

B. Tuy ... nhưng ...

sử dụng rượu bia khi tham gia giao thông có thể bị xử phạt hành chính hoặc xử lí hình sự tuỳ theo mức độ vi phạm.

HĐ4. Cho hai câu sau:

P: “Tam giác ABC là tam giác vuông tại A";

Q: “Tam giác ABC có + = "

Hãy phát biểu câu ghép có dạng “Nếu P thì Q".

Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD, xét hai câu sau:

P: "Tứ giác ABCD có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°;

Q: “ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn".

Phát biểu mệnh đề P = Q và cho biết tính đúng sai của mệnh đề đó.

Giải

P => Q. "Nếu từ giác ABCD có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì ABCD là từ giác nội tiếp đường tròn"

Mệnh đề kéo theo này là mệnh đề đúng.

Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng P = Q. Khi đó ta nói:

P là giả thiết của định lí, Q là kết luận của định lí, hoặc

“P là điều kiện đủ để có Q" hoặc "Q là điều kiện cần để có P".

b. Mệnh đề đảo

HĐ5. Xét hai câu sau:

P. “Phương trình bậc hai + bx + c =0 có hai nghiệm phân biệt";

Q: “Phương trình bậc hai + bx + c = 0 có biệt thức △ = — 4ac > 0".

a) Hãy phát biểu mệnh đề P => Q.

b) Hãy phát biểu mệnh đề Q => P.

(Trang 9)

Mệnh đề Q => P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P=> Q.

Nhận xét. Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.

Ví dụ 4. Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề: “Nếu tam giác ABC là tam giác đều thì tam giác ABC là tam giác cân" và xác định tính đúng sai của mệnh đề đảo này.

Giải

Mệnh đề đảo là: “Nếu tam giác ABC là tam giác cân thì tam giác ABC là tam giác đều".

Mệnh đề đảo này là sai.

Luyện tập 3. Cho các mệnh đề P. "a và b chia hết cho c";

                                                   Q: “a + b chia hết cho c".

a) Hãy phát biểu định lí P=> Q. Nêu giả thiết, kết luận của định lí và phát biểu định lí này dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.

b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề P => Q rồi xác định tính đúng sai của mệnh đề đảo này.

4. MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG

HĐ6. Hãy xác định tính đúng sai của mệnh đề sau:

“Một số tự nhiên chia hết cho 5 nếu số đó có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 và ngược lại".

Mệnh đề ở HĐ6 có thể phát biểu dưới dạng: “Một số tự nhiên chia hết cho 5 nếu và chỉ nếu số đó có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5".

Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q" được gọi là một mệnh đề tương đương và kí hiệu là P <=> Q.

Nhận xét. Nếu cả hai mệnh đề P=> Q và Q => P đều đúng thì mệnh đề tương đương P <=> Q đúng. Khi đó ta nói "P tương đương với Q" hoặc "P là điều kiện cần và đủ đề có Q" hoặc “P khi và chỉ khi Q".

Ví dụ 5. Cho hai mệnh đề:

P: “Tứ giác ABCD là hình vuông";

Q: "Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau".

Hãy phát biểu mệnh đề tương đương P <=> Q và xác định tính đúng sai của mệnh đề tương đương này.

Giải

Mệnh đề tương đương P<=>Q: "Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau". Mệnh đề tương đương này đúng vì cả hai mệnh đề P=> Q và Q=> P đều đúng.

Luyện tập 4. Phát biểu điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 2.

(Trang 10)

5. MỆNH ĐỀ CÓ CHỨA KÍ HIỆU ∀, ∃

• Câu "Mọi số thực đều có binh phương không âm" là một mệnh đề. Có thể viết mệnh đề này như sau:

P: "∀x ∈ R, ≥ 0".

• Câu “Có một số hữu tỉ mà bình phương của nó bằng 2" là một mệnh đề. Có thể viết mệnh đề này như sau:

Q: "∃x = Q,

" Em hãy xác định tính đúng sai của hai mệnh đề trên.

Luyện tập 5. Phát biểu bằng lời mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.

∀x ∈  R, +1 ≤ 0.

Dưới đây ta xét mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃.

Mọi số tự nhiên nhân với 1 đều bằng chính nó.		Không đúng. Có một số tự nhiên nhân với 1 không bằng chính nó.

Mệnh đề “Có một số tự nhiên nhân với 1 không bằng chính nó" là phủ định của mệnh “Mọi số tự nhiên nhân với 1 đều bằng chính nó" .

Như vậy mệnh đề phủ định của P : “∀n ∈ N, n.1= n" là mệnh đề P: "∃n ∈ N, n.1≠ n". 

Ví dụ 6

Viết mệnh đề phủ định của mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của nó.

P: "∃x ∈ R, +1=0".

Giải

Mệnh đề P có thể phát biểu là: “Tồn tại một số thực mà bình phương của nó cộng với 1 bằng 0". Phủ định của mệnh đề P là: "Không tồn tại một số thực mà bình phương của nó cộng với 1 bằng 0", tức là: "Mọi số thực đều có bình phương cộng với 1 khác 0".

Ta có thể viết mệnh đề phủ định của P là : “∀x ∈  R, +1 ≠  0". Mệnh đề phủ định này đúng.

Luyện tập 6

Trong tiết học môn Toán, Nam phát biểu: "Mọi số thực đều có bình phương khác 1".

Mai phát biểu: "Có một số thực mà bình phương của nó bằng 1".

a) Hãy cho biết bạn nào phát biểu đúng.

b) Dùng kí hiệu ∀, ∃ để viết lại các phát biểu của Nam và Mai dưới dạng mệnh đề.

(Trang 11)

BÀI TẬP

1.1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

a) Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới;

b) Bạn học trường nào?

c) Không được làm việc riêng trong giờ học;

d) Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang.

1.2. Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:
a) ;

b) Phương trình 3x + 7 = 0 có nghiệm;

c) Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng 0;

d) 2 022 là hợp số.

1.3. Cho hai câu sau:

P: "Tam giác ABC là tam giác vuông";

Q: "Tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại".

Hãy phát biểu mệnh đề tương đương P⇔ Q và xác định tính đúng sai của mệnh đề này.

1.4. Phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của chúng.

P: “Nếu số tự nhiên n có chữ số tận cùng là 5 thì n chia hết cho 5"

Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau".

1.5. Với hai số thực a và b, xét các mệnh đề P: “

a) Hãy phát biểu mệnh đề P ⇒  Q.

b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề ở câu a.

c) Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề ở câu a và câu b.

1.6. Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó.

Q: "∃n ∈ N, n chia hết cho n + 1".

1.7. Dùng kí hiệu ∀, ∃ để viết các mệnh đề sau:

P: "Mọi số tự nhiên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng chính nó";

Q: “Có một số thực cộng với chính nó bằng 0".

Em có biết?

Lôgic mệnh đề lần đầu tiên được phát triển một cách có hệ thống bởi nhà triết học Hy Lạp Aristotle hơn 2 300 năm trước và được thảo luận bởi nhà toán học người Anh George Boole vào năm 1854 trong cuốn sách "The Laws of Think".

Aristotle              George Boole