Bài 3: Thuật Ngữ Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn | Toán 10 - Tập 1 | Chương II: Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn - Lớp 10 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Trang 22

Các bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn xuất hiện trong nhiều bài toán kinh tế, như là những ràng buộc trong các bài toán sản xuất, bài toán phân phối hàng hoá,... Chương này cung cấp cách biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ.

ax + by = c

Nhân ngày Quốc tế Thiếu nhi 1-6, một rạp chiếu phim phục vụ các khán giả một bộ phim hoạt hình. Vé được bán ra có hai loại:

Loại 1 (dành cho trẻ từ 6-13 tuổi): 50 000 đồng/vé;

Loại 2 (dành cho người trên 13 tuổi): 100 000 đồng/vé.

Người ta tính toán rằng, để không phải bù lỗ thì số tiền vé thu được ở rạp chiếu phim này phải đạt tối thiểu 20 triệu đồng.

Hỏi số lượng vé bán được trong những trường hợp nào thì rạp chiếu phim phải bù lỗ?

1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

HĐ1. Trong tình huống mở đầu, gọi x là số vé loại 1 bán được và y là số vé loại 2 bán được. Viết biểu thức tính số tiền bán vé thu được (đơn vị nghìn đồng) ở rạp chiếu phim đó theo x và y.

a) Các số nguyên không âm x và y phải thoả mãn điều kiện gì để số tiền bán vé thu được đạt tối thiểu 20 triệu đồng?

b) Nếu số tiền bán vé thu được nhỏ hơn 20 triệu đồng thì x và y thoả mãn điều kiện gì?

Trang 23

Mỗi hệ thức liên hệ giữa x và y thu được trong HĐ1a và HĐ1b được gọi là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

Ví dụ 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

2x + 3y < 1;                                 2 + 3y < 1.

Giải

Bất phương trình 2x + 3y < 1 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bất phương trình 2 + 3y < 1 không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa .

HĐ2. Cặp số (x; y) = (100; 100) thoả mãn bất phương trình bậc nhất hai ẩn nào trong hai bất phương trình thu được ở HĐ1? Từ đó cho biết rạp chiếu phim có phải bù lỗ hay không nếu bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2.

Trả lời câu hỏi tương tự với cặp số (x; y) = (150; 150).

Cặp số ( ; ) được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by ≤ c nếu bất đẳng thức a + b ≤ c đúng.

Ví dụ 2. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn x + 2y > 5. Cặp số nào sau đây là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên?

a) (x; y) = (3; 4);                                b) (x; y) = (0; -1).

Giải

a) Vì 3 + 2 · 4 = 11 > 5 nên cặp số (3; 4) là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

Luyện tập 1. Cho bất phương trình bậc nhất hai ăn xin no G

a) Hãy chỉ ra ít nhất hai nghiệm của bất phương trình trên.

b) Với y = 0, có bao nhiêu giá trị của x thoả mãn bất phương trình đã cho?

Nhận xét. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ

HĐ3. Cho đường thẳng d: 2x − y = 4 trên mặt phẳng toạ độ Oxy (H.2.1). Đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

Hình 2.1

a) Các điểm O(0; 0), A(−1; 3) và B(–2; –2) có thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d không?

Tính giá trị của biểu thức 2x - y tại các điểm đó và so sánh với 4.

b) Trả lời câu hỏi tương tự như câu a với các điểm C(3; 1), D(4; -1).

Trang 24

Ví dụ 3. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x + y ≥100 trên mặt phẳng toạ độ.

Giải (H.2.2)

Hình 2.2

Ta biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn x + y ≥100 như sau:

Bước 1. Vẽ đường thẳng d: x + y = 100 trên mặt phẳng toạ độ Oxy.

Bước 2. Lấy một điểm bất kì không thuộc d trên mặt phẳng rồi thay vào biểu thức x + y. Chẳng hạn, lấy O(0;0), ta có: 0 + 0 < 100.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc toạ độ (miền không bị gạch).

Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by ≤c. • Vẽ đường thẳng d: ax + by = c trên mặt phẳng toạ độ Oxy. • Lấy một điểm không thuộc d • Tính , và so sánh với c. • Nếu < c thì nửa mặt phẳng bờ d chứa là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu > c thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa là miền nghiệm của bất phương trình.

• Nếu c # 0, ta thường chọn chính là gốc toạ độ.

• Nếu c = 0, ta thường chọn có toạ độ (1; 0) hoặc (0; 1).

Ví dụ 4. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 5x −7y <0 trên mặt phẳng toạ độ.

Giải (H.2.3)

d: 5x - 7y = 0

Hình 2.3

Bước 1. Vẽ đường thẳng d: 5x −7y = 0 trên mặt phẳng toạ độ Oxy.

Bước 2. Lấy điểm M (0; 1) không thuộc d và thay x = 0, y = 1 vào biểu thức 5x −7y ta được: 5 · 0 - 7 · 1= -7 < 0. Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm M (miền không bị gạch).

Chú ý. Miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c là miền nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c bỏ đi đường thẳng ax + by = c và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt.

Luyện tập 2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 2x + y < 200 trên mặt phẳng toạ độ.

Trang 25

Ví dụ 5. Giải bài toán ở tình huống mở đầu.

Giải

Gọi x là số lượng vé loại 1 bán được (x ∈ N) và y là số lượng vé loại 2 bán được (y ∈ N) thì số tiền bán vé thu được là 50x + 100y (nghìn đồng). Người ta sẽ phải bù lỗ trong trường hợp số tiền bán vé nhỏ hơn 20 triệu đồng, tức là: 50x + 100y < 20 000 hay x + 2y < 400.

Như vậy, việc giải quyết bài toán mở đầu dẫn đến việc đi tìm miền nghiệm của bất phương trình x + 2y < 400.

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn này được xác định như sau:

• Vẽ đường thẳng d: x + 2y = 400.

• Ta lấy gốc toạ độ O(0; 0) và tính 0 + 2 · 0 = 0 < 400.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc toạ độ không kể đường thẳng d (H.2.4).

x + 2y = 400

Hình 2.4

Miền tam giác gồm các điểm bên trong và các điểm trên ba cạnh của tam giác.

Vậy, nếu bán được số vé loại 1 là x và số vé loại 2 là y mà điểm (x; y) nằm trong miền tam giác OAB không kể cạnh AB thì rạp chiếu phim sẽ phải bù lỗ.

Nếu điểm (x; y) nằm trên đoạn thẳng AB thì rạp chiếu phim hoà vốn.

Nhận xét

• Nếu bán được 150 vé loại 1 và 150 vé loại 2 thì rạp chiếu phim có lãi.
• Nếu bán được 200 vé loại 1 và 100 vé loại 2 thì rạp chiếu phim hoà vốn.
• Nếu bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2 thì rạp chiếu phim phải bù lỗ.

Vận dụng. Một công ty viễn thông tính phí 1 nghìn đồng mỗi phút gọi nội mạng và 2 nghìn đồng mỗi phút gọi ngoại mạng. Em có thể sử dụng bao nhiêu phút gọi nội mạng và bao nhiêu phút gọi ngoại mạng trong một tháng nếu em muốn số tiền phải trả ít hơn 200 nghìn đồng?

BÀI TẬP

2.1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) 2x + 3y > 6;                     b) + y ≤ 0;                         c) - y ≥ 1.

2.2. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ:

a) 3x + 2y ≥300;                   b) 7x + 20y < 0.

2.3. Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê xe được cho như bảng sau:

a) Gọi x và y lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa x và y sao cho tổng số tiền ông An phải trả không quá 14 triệu đồng.

b) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng toạ độ.