Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ | Toán 10 - Tập 1 | Chương IV: Vectơ - Lớp 10 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Trang 51

THUẬT NGỮ • Tổng của hai vectơ • Hiệu của hai vectơ • Vectơ đối

KIẾN THỨC, KĨ NĂNG • Thực hiện các phép toán cộng, trừ vectơ. • Mô tả trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác bằng vectơ. • Vận dụng vectơ trong bài toán tổng hợp lực, tổng hợp vận tốc.

Một con tàu chuyển động từ bờ bên này sang bờ bên kia của một dòng sông với vận tốc riêng không đổi. Giả sử vận tốc dòng nước là không đổi và đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng đến vận tốc thực tế của tàu. Nếu không quan tâm đến điểm đến thì cần giữ lái cho tàu tạo với bờ sông một góc bao nhiêu để tàu sang bờ bên kia được nhanh nhất?

Vận tốc thực tế của con tàu trên sông đối với bờ phụ thuộc vào vận tốc riêng của tàu (đối với dòng nước) và vận tốc của dòng nước (đối với bờ). Tương tự, một vật thường chịu tác động của nhiều lực. Ta đã biết dùng vectơ để biểu diễn các đại lượng đó; bài học này xây dựng các phép toán vectơ, tương thích với việc tổng hợp vận tốc, tổng hợp và phân tích lực.

1. TỔNG CỦA HAI VECTƠ

HĐ1. Với hai vectơ , cho trước, lấy một điểm A và vẽ các vectơ = ,

= . Lấy điểm A' khác A và cũng vẽ các vectơ  = ,  = . Hỏi hai vectơ và có mối quan hệ gì?

Cho hai vectơ , . Lấy một điểm A tuỳ ý và vẽ = , = (H.4.13). Khi đó vecto được gọi là tổng của hai vectơ và và được kí hiệu là + . Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

 

Hình 4.13

HĐ2. Cho hình bình hành ABCD. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ + và .

Trang 52

Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì A, B, C, ta có + = . Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là một hình bình hành thì + = .

HĐ3. a) Trong Hình 4.14a, hãy chỉ ra vectơ + và vectơ  + .

b) Trong Hình 4.14b, hãy chỉ ra vectơ (

+ ) + và vecto + ( + ).

Hình 4.14

Với ba vectơ , , c tuỳ ý. • Tính chất giao hoán: + = + • Tính chất kết hợp: ( + ) + = + (+) • Tính chất của vectơ-không: + 0 = 0 + = .

 

Chú ý. Do các vectơ ( + ) + và

+ ( + ) bằng nhau, nên ta còn viết chúng dưới dạng + + và gọi là tổng của ba vectơ , , . Tương tự, ta cũng có thể viết tổng của một số vectơ mà không cần dùng các dấu ngoặc.

Ví dụ 1. Cho hình vuông ABCD với cạnh có độ dài bằng 1. Tính độ dài của các vectơ +

, + + .

Giải

Do

= nên + = + = .

Vậy .

Ta có + +

= ( + )+ = + = . Do đó .

Luyện tập 1. Cho hình thoi ABCD với cạnh có độ dài bằng 1 và =120°. Tính độ dài của các vectơ +

, + +

2. HIỆU CỦA HAI VECTƠ

Hai đội kéo co bất phân thắng bại!

HĐ4. Thế nào là hai lực cân bằng? Nếu dùng hai vectơ để biểu diễn hai lực cân bằng thì hai vectơ này có mối quan hệ gì với nhau?

• Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ được gọi là vectơ đối của vectơ . Vectơ đối của được kí hiệu là -. • Vectơ được coi là vectơ đối của chính nó.

Chú ý. Hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng

.

Trang 53

Vectơ +(−) được gọi là hiệu của hai vectơ và và được kí hiệu là – . Phép lấy hiệu hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

Chú ý. Nếu + = thì

– = + (-) = + + (-) = + 0 = .

Với ba điểm O, M, N tuỳ ý, ta có = + = (-) + = - .

Quy tắc hiệu: Với ba điểm O, M, N, ta có = - .

Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD và một điểm O bất kì. Chứng minh rằng -

= - .

Giải

Áp dụng quy tắc hiệu, ta có - =

, - = . Mặt khác = nên – = - .

Ví dụ 3. a) Chứng minh rằng nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì

+ = .

b) Chứng minh rằng nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì + +

= .

Giải

a) (H.4.15) Khi I là trung điểm của AB, thì hai vectơ và có cùng độ dài và ngược hướng (H.4.15). Do đó, và

đối nhau, suy ra + = .

Hình 4.15

b) (H.4.16) Trọng tâm G của tam giác ABC thuộc trung tuyến AI và GA = 2GI. Lấy điểm D đối xứng với G qua I. Khi đó tứ giác GBDC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là một hình bình hành. Ta có GA = 2GI = GD.

Hình 4.16

Hai vectơ và có cùng độ dài và chúng là hai vectơ đối nhau, do đó + =

.

Trong hình bình hành GBDC, ta có + = .

Vậy +

+ = + = .

Luyện tập 2. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng

+ + + = .

Chú ý. Phép cộng vectơ tương ứng với các quy tắc tổng hợp lực, tổng hợp vận tốc:

• Nếu hai lực cùng tác động vào chất điểm A và được biểu diễn bởi các vectơ

,  thì hợp lực tác động vào A được biểu diễn bởi vectơ + .

• Nếu một con thuyền di chuyển trên sông với vận tốc riêng (vận tốc so với dòng nước) được biểu diễn bởi vectơ và vận tốc của dòng nước (so với bờ) được biểu diễn bởi vectơ

thì vận tốc thực tế của thuyền (so với bờ) được biểu diễn bởi vectơ + .

Trong Vật lí, trọng tâm của một vật là điểm đặt của trọng lực tác dụng lên vật đó. Đối với một vật mỏng hình đa giác thì trọng tâm của nó là điểm G thoả mãn .

Trang 54

Ví dụ 4. Hãy giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Giải

Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song , (H.4.17). Giả sử tàu xuất phát từ A ∈ và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ góc α. Gọi và

lần lượt là vectơ vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi M, N là các điểm sao cho = , = .

Hình 4.17

Khi đó tàu chuyển động với vectơ vận tốc thực tế là = + = +

= . Gọi B, C tương ứng là giao điểm của AN, AM với . Tàu chuyển động thẳng từ A đến B với vectơ vận tốc thực tế , do đó thời gian cần thiết để tàu sang được bờ là .

Mặt khác, AM = không đổi nên nhỏ nhất ⇔ AC nhỏ nhất ⇔ AC ⊥ ⇔ AM ⊥ . Vậy để tàu sang được bờ bên kia nhanh nhất, ta cần giữ bánh lái để tàu luôn vuông góc với bờ.

Vận dụng. Tính lực kéo cần thiết để kéo một khẩu pháo có trọng lượng 22 148 N (ứng với khối lượng xấp xỉ 2 260 kg) lên một con dốc nghiêng 30° so với phương nằm ngang (H.4.18). Nếu lực kéo của mỗi người bằng 100 N, thì cần tối thiểu bao nhiêu người để kéo pháo?

Hình 4.18

Chú ý. Ta coi khẩu pháo chịu tác động của ba lực: trọng lực (có độ lớn || = 22 148 N, có phương vuông góc với phương nằm ngang và hướng xuống dưới), phản lực (có độ lớn || = |

|cos30°, có phương vuông góc với mặt dốc và hướng lên trên) và lực kéo (theo
phương dốc, hướng từ chân dốc lên đỉnh dốc).

BÀI TẬP

4.6. Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: 

a) + + +

= ;

b) - = -

.

4.7. Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm điểm M để BM = + . Tìm mối quan hệ giữa hai vecto và .

4.8. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài của các vecto

- , + .

4.9. Hình 4.19 biểu diễn hai lực ,

 cùng tác động lên một vật, cho || = 3 N, || = 2 N. Tính độ lớn của hợp lực + .

Hình 4.19

4.10. Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này để sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau. Hai tàu luôn được giữ lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ
bên kia trước?