Bài 13: Các Số Đặc Trưng Đo Xu Thế Trung Tâm | Toán 10 - Tập 1 | Chương V: Các Số Đặc Trưng Của Mẫu Số Liệu Không Ghép Nhóm - Lớp 10 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Trang 78

Hai phương pháp học tiếng Anh khác
nhau được áp dụng cho hai lớp A và B có trình độ tiếng Anh tương đương nhau. Sau hai tháng, điểm khảo sát tiếng Anh (thang điểm 10) của hai lớp được cho như hình bên.

Lớp A                                                         Lớp B

Quan sát hai mẫu số liệu trên, có thể đánh giá được phương pháp học tập nào hiệu quả hơn không? Để làm được điều đó, người ta thường tính toán các số đặc trưng cho mỗi mẫu số liệu rồi so sánh.

Bài học này sẽ giới thiệu về các số đặc trưng đo xu thế trung tâm, tức là các số cho ta biết thông tin về vị trí trung tâm của mẫu số liệu và được dùng làm đại diện cho mẫu số liệu.

1. SỐ TRUNG BÌNH VÀ TRUNG VỊ

a. Số trung bình

Từ mẫu số liệu về điểm số của hai lớp A, B trên, em hãy:

HĐ1. Tính trung bình cộng điểm khảo sát tiếng Anh của mỗi lớp A và B.

HĐ2. Dựa trên điểm trung bình, hãy cho biết phương pháp học tập nào hiệu quả hơn.

Số trung bình (số trung bình cộng) của mẫu số liệu , ,....,, kí hiệu là , được tính bằng công thức

Chú ý. Trong trường hợp mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số thì số trung bình được tính theo công thức:

,

trong đó là tần số của giá trị , và n = +

Ví dụ 1. Thống kê số cuốn sách mỗi bạn trong lớp đã đọc trong năm 2021, An thu được kết quả như bảng bên. Hỏi trong năm 2021, trung bình mỗi bạn trong lớp đọc bao nhiêu cuốn sách?

Trang 79

Giải

Số bạn trong lớp là n = 3 +5 + 15 + 10 + 7 = 40 (bạn).

Trong năm 2021, trung bình mỗi bạn trong lớp đọc số cuốn sách là:

(cuốn).

Ý nghĩa. Số trung bình là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu.

Luyện tập 1. Bảng sau cho biết thời gian chạy cự li 100 m của các bạn trong lớp (đơn vị giây):

Hãy tính thời gian chạy trung bình cự li 100 m của các bạn trong lớp.

b. Trung vị

HĐ3. Một công ty nhỏ gồm 1 giám đốc và 5 nhân viên, thu nhập mỗi tháng của giám đốc là 20 triệu đồng, của nhân viên là 4 triệu đồng.

a) Tính thu nhập trung bình của các thành viên trong công ty.

b) Thu nhập trung bình có phản ánh đúng thu nhập của nhân viên công ty không?

Trong trường hợp mẫu số liệu có giá trị bất thường (rất lớn hoặc rất bé so với đa số các giá trị khác), người ta không dùng số trung bình để đo xu thế trung tâm mà dùng trung vị.

Ví dụ 2. Hãy tìm trung vị cho mẫu số liệu về lương của giám đốc và nhân viên công ty được cho trong HĐ3.

Giải

Để tìm trung vị của mẫu số liệu trên, ta làm như sau:

• Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm:

4     4     4    4     4     20.

Hai giá trị chính giữa

• Dãy trên có hai giá trị chính giữa cùng bằng 4. Vậy trung vị của mẫu số liệu cũng bằng 4. Trong mẫu số liệu được sắp xếp trên, số phần tử ở bên trái trung vị và số phần tử ở bên phải trung vị bằng nhau và bằng 3. Lương của giám đốc cao hơn hẳn số trung bình, đây chính là giá trị bất thường. Nếu ta thay lương của giám đốc là 30; 40; 50;... (triệu đồng) thì trung vị vẫn không thay đổi trong khi số trung bình sẽ thay đổi.

Ý nghĩa. Trung vị là giá trị chia đôi mẫu số liệu, nghĩa là trong mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm thì giá trị trung vị ở vị trí chính giữa. Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường trong khi số trung bình bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.

Luyện tập 2. Chiều dài (đơn vị feet) của 7 con cá voi trưởng thành được cho như sau:

48     53     51     31     53     112     52.

Tìm số trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên. Trong hai số đó, số nào phù hợp hơn để đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trưởng thành này?

Trang 80

2. TỨ PHÂN VỊ

HĐ4. Điểm (thang điểm 100) của 12 thí sinh cao điểm nhất trong một cuộc thi như sau:

58     74     92     81     97     88     75     69     87     69     75     77.

Ban tổ chức muốn trao các giải Nhất, Nhì, Ba, Tư cho các thí sinh này, mỗi giải trao cho 25% số thí sinh (3 thí sinh).

Em hãy giúp ban tổ chức xác định các ngưỡng điểm để phân loại thí sinh.

Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có n giá trị, ta làm như sau: • Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm. • Tìm trung vị. Giá trị này là , • Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái (không bao gồm nếu n lẻ). Giá trị này là . • Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải (không bao gồm nếu n lẻ). Giá trị này là . , , được gọi là các tứ phân vị của mẫu số liệu.

Giá trị nhỏ nhất

Nửa số liệu bên trái

Nửa số liệu bên phải

Giá trị lớn nhất

Hình 5.3b

Chú ý. được gọi là tứ phân vị thứ nhất hay tứ phân vị dưới, được gọi là tứ phân vị thứ ba
hay tứ phân vị trên.

Ý nghĩa. Các điểm , ,

Giá trị nhỏ nhất

25%

Giá trị lớn nhất

Hình 5.3a. Các tứ phân vị

Ví dụ 3. Hàm lượng Natri (đơn vị miligam, 1 mg = 0,001 g) trong 100 g một số loại ngũ cốc được cho như sau:

0     340     70     140     200     180     210     150     100     130

140     180     190     160     290     50     220     180     200     210.

Hãy tìm các tứ phân vị. Các tử phân vị này cho ta thông tin gì?

Giải

• Sắp xếp các giá trị này theo thứ tự không giảm:

0     50     70     100     130     140     140     150     160     180     180     180     190     200     200     210     210     220     290     340.

Hai giá trị chính giữa

Vì n = 20 là số chẵn nên

=  (180 + 180) : 2 = 180.

Ta tìm là trung vị của nửa số liệu bên trái :

0     50     70     100     130     140     140     150     160     180

và tìm được = (130 + 140) : 2 = 135.

Trang 81

Ta tìm

180     180     190     200     200     210     210     220     290     340

và tìm được = (200 + 210) : 2 = 205.

0     135     180     205     340

Hình 5.4. Hình ảnh về sự phân bố của mẫu số liệu

Các tứ phân vị cho ta hình ảnh phân bố của mẫu số liệu. Khoảng cách từ đến là 45 trong khi khoảng cách từ đến

Luyện tập 3. Bảng sau đây cho biết số lần học tiếng Anh trên Internet trong một tuần của một số học sinh lớp 10:

Hãy tìm các tứ phân vị cho mẫu số liệu này.

3. MỐT

HĐ5. Một cửa hàng giày thể thao đã thống kê cỡ giày của một số khách hàng nam được chọn ngẫu nhiên cho kết quả như sau:

38     39     39     38     40     41    39     39     38     39     39     39     40     39     39.

a) Tính cỡ giày trung bình. Số trung bình này có ý nghĩa gì với cửa hàng không?

b) Cửa hàng nên nhập cỡ giày nào với số lượng nhiều nhất

Ý nghĩa. Có thể dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng nhau.

Ví dụ 4. Thời gian truy cập Internet (đơn vị giờ) trong một ngày của một số học sinh lớp 10 được cho như sau:

0     0     1     11     3     4     4     5     6.

Tìm mốt cho mẫu số liệu này.

Giải

Vì số học sinh truy cập Internet 1 giờ mỗi ngày là lớn nhất (có 3 học sinh) nên mốt là 1.

Nhận xét

• Mốt có thể không là duy nhất. Chẳng hạn, với mẫu số liệu

8      7     10     9     7     5     7     8     8

các số 7; 8 đều xuất hiện với số lần lớn nhất (3 lần ) nên mẫu số liệu này có hai mốt là 7 và 8.

• Khi các giá trị trong mẫu số liệu xuất hiện với tần số như nhau thì mẫu số liệu không có mốt.

Trang 82

• Mốt còn được định nghĩa cho mẫu dữ liệu định tính (dữ liệu không phải là số). Ví dụ báo Tuổi trẻ đã thực hiện thăm dò ý kiến của bạn đọc với câu hỏi “Theo bạn, VFF nên chọn huấn luyện viên ngoại hay nội dẫn dắt đội tuyển bóng đá nam Việt Nam?".

Tại thời điểm 21 giờ ngày 27-4-2021 kết quả bình chọn như sau:

Trong mẫu dữ liệu này, lựa chọn “huấn luyện viên ngoại” có nhiều người bình chọn nhất, được gọi là mốt.

Vận dụng. Hãy tính các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu về điểm khảo sát của lớp A và lớp B ở đầu bài học để phân tích và so sánh hiệu quả học tập của hai phương pháp này.

BÀI TẬP

5.7. Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:

a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu:

9     8     15     8     20.

b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng):

350     300     650     300     450     500     300     250.

c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp:

36     38     33     34     32     30     34     35

5.8. Hãy chọn số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mỗi mẫu số liệu sau. Giải thích và tính giá trị của số đặc trưng đó.

a) Số mặt trăng đã biết của các hành tinh:

(Theo NASA)

b) Số đường chuyền thành công trong một trận đấu của một số cầu thủ bóng đá:

32     24     20     14     23.

c) Chỉ số IQ của một nhóm học sinh: 60     72     63     83     68     74     90     86     74      80.

d) Các sai số trong một phép đo: 10     15     18     15     14     13     42     15     12     14     42.

Trang 83

5.9. Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học 2018 – 2019 của 10 trường Trung học phổ thông được cho như sau:

0     0     4     0     0     0     10     0     6     0.

a) Tìm số trung bình, mốt, các tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

b) Giải thích tại sao tử phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau.

5.10. Bảng sau đây cho biết số chỗ ngồi của một số sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng đá Vô địch Quốc gia Việt Nam năm 2018 (số liệu gần đúng).

(Theo vov.vn)

Các giá trị số trung bình, trung vị, mốt bị ảnh hưởng thế nào nếu bỏ đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình?

Em có biết?

John Graunt (1620-1674)

John Graunt (1620 – 1674) là một nhà buôn người Anh. Ông được xem là người đầu tiên đưa ra suy luận về tổng thể dựa trên thông tin của một phần (mẫu). Năm 1662, khi điều tra nhân khẩu, ông nhận ra rằng trung bình mỗi năm trong 11 gia đình có 3 người mất. Với giả thiết tỉ lệ này không đổi trong toàn bộ dân cư London và biết rằng trung bình trong một năm ở London có 13.000 người mất, ông đã ước lượng được số hộ gia đình ở London khoảng 48 000. Và với giả thiết trung bình mỗi gia đình có 8 người, ông ước lượng được dân số của London khoảng 384 000 người.