Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ | Toán 10 - Tập 1 | Chương IV: Vectơ - Lớp 10 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Trang 60

THUẬT NGỮ  • Mặt phẳng toạ độ • Toạ độ của vectơ

KIẾN THỨC, KĨ NĂNG • Nhận biết toạ độ của vectơ và thể hiện các phép toán vectơ theo toạ độ. • Thể hiện mối quan hệ giữa các vectơ thông qua toạ độ của chúng. • Ứng dụng của toạ độ vectơ trong bài toán xác định vị trí của vật trên mặt phẳng toạ độ.

Một bản tin dự báo thời tiết thể hiện đường đi trong 12 giờ của một cơn bão trên một mặt phẳng toạ độ. Trong khoảng thời gian đó, tâm bão di chuyển thẳng đều từ vị trí có toạ độ (13,8; 108,3) đến vị trí có toạ độ (14,1; 106,3). Dựa vào thông tin trên, liệu ta có thể dự đoán được vị trí của tâm bão tại thời điểm bất kì trong khoảng thời gian 12 giờ đó hay không?

Hình 4.31. Ta có thể dùng một phần mặt phẳng toạ độ để mô tả một phạm vi nhất định trên Trái Đất mà vị trí x° vĩ bắc, y kinh đông của tâm áp thấp được thể hiện bởi điểm có toạ độ (x; y).

Trong bài học này, ta gắn cho mỗi vectơ trên mặt phẳng toạ độ một cặp số để có thể làm việc với vectơ thông qua cặp số đó.

Trang 61

1. TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ

HĐ1. Trên trục số Ox, gọi A là điểm biểu diễn số 1 và đặt = (H.4.32a). Gọi M là điểm biểu diễn số 4, N là điểm biểu diễn số . Hãy biểu thị mỗi vectơ ,

theo vectơ .

Dùng vectơ, ta có thể diễn đạt lại trục số như sau:

Trục toạ độ (còn gọi là trục, hay trục số) là một đường thẳng mà trên đó đã xác định một điểm O và một vectơ có độ dài bằng 1. Điểm O gọi là gốc toạ độ, vectơ gọi là vectơ đơn vị của trục. Điểm M trên trục biểu diễn số , nếu

= (H.4.32b).

a)

b)

Hình 4.32

Trang 61

HĐ2. Trong Hình 4.33

a) Hãy biểu thị mỗi vectơ

, theo các vectơ , .

b) Hãy biểu thị vectơ theo các vectơ

, , từ đó biểu thị vectơ theo các vectơ , .

Hình 4.33

Hãy nhớ lại quy tắc hình bình hành và quy tắc hiệu.

Trên mặt phẳng, xét hai trục Ox, Oy có chung gốc O và vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị của trục Ox là , vectơ đơn vị của trục Oy là . Hệ gồm hai trục Ox, Oy như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Oxy. Điểm O gọi là gốc toạ độ, trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung. Mặt phẳng chứa hệ trục toạ độ Oxy gọi là mặt phẳng toạ độ Oxy hay mặt phẳng Oxy (H.4.34).

Hình 4.34

Với mỗi vectơ trên mặt phẳng Oxy, có duy nhất cặp số (; ) sao cho = + . Ta nói vectơ có toạ độ (; ) và viết = (; ) hay ( ; ). Các số , tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của .

Nhận xét. Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng toạ độ.

(x; y) = (x'; y') ⇔

Ví dụ 1. Tìm toạ độ của các vectơ đơn vị , tương ứng của các trục Ox, Oy.

Giải

Vì

= 1 + 0 nên có toạ độ là (1; 0).
Vì = 0 + 1 nên có toạ độ là (0; 1). )

Luyện tập 1. Tìm toạ độ của .

2. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

HĐ3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho = (2;-3),

=(4;1), = (8;–12).

a) Hãy biểu thị mỗi vectơ u,v,a theo các vecto , .

b) Tìm toạ độ của các vectơ +

, 4.

c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ , .

Cho hai vectơ = (x; y) và = (x'; y'). Khi đó: • + = (x + x'; y + y'); • - = (x - x'; y - y'); • k = (kx; ky), với k ∈ R.

Trang 62

Ví dụ 2. Cho = (1; 2), = .

a) Tìm toạ độ của +

, - 2.

b) Hỏi và có cùng phương hay không?

Giải

a) Vì

= (1; 2), = nên + = .

Ta có 2 = (3; 6) nên - 2 = (-2; -4).

b) Do

= = nên hai vectơ và cùng phương.

Nhận xét. Vectơ

(x'; y') cùng phương với vectơ (x; y) ≠ 0 khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho x' = kx, y' = ky (hay là nếu xy ≠ 0).

HĐ4. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(, ).

Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành Ox và trục tung Oy (H.4.35).

a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn số nào? Biểu thị

theo và tính độ dài của theo .

b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn số nào? Biểu thị theo

và tính độ dài của theo .

c) Dựa vào hình chữ nhật OPMQ, tính độ dài của theo ,

.

d) Biểu thị theo các vectơ , .

Hình 4.35

Nếu điểm M có toạ độ (x; y) thì vectơ có toạ độ (x; y) và độ dài || = .

Nhận xét. Với vectơ = (x; y), ta lấy điểm M(x; y) thì =

. Do đó, ||=||.

Chẳng hạn, vectơ = (2; - 1) có độ dài là || =

= .

HĐ5. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm M(x; y) và N(x'; y').

a) Tìm toạ độ của các vectơ , .

b) Biểu thị vectơ theo các vectơ

, và tìm toạ độ của .

c) Tìm độ dài của vectơ .

Trang 63

Với hai điểm M(x; y) và N(x'; y') thì = (x'− x; y'− y) và khoảng cách giữa hai điểm M, N là MN = | |= .

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(1;−2), B(3; 2), C(7; 4).

a) Tìm toạ độ của các vectơ , . So sánh các khoảng cách từ B tới A và C.

b) Ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm D(x; y) để ABCD là một hình thoi.

Giải

a) Ta có = (3 - 1; 2 - (-2)) = (2; 4),

= (7 - 3; 4 - 2) = (4; 2).

Các khoảng cách từ B tới A và C lần lượt là:

= || = = ;

= || = = .

Do đó các khoảng cách này bằng nhau.

b) Hai vectơ = (2; 4),

= (4; 2) không cùng phương (vì # ). Do đó các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng.

c) Các điểm A, B, C không thẳng hàng và BA = BC nên ABCD là một hình thoi khi và chỉ khi = .

Do

= (x - 1; y + 2), = (4; 2) nên = ⇔ ⇔ .

Vậy điểm cần tìm là D(5; 0).

Hình 4.36

Luyện tập 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(2; 1), B(3; 3).

a) Các điểm O, A, B có thẳng hàng hay không?

b) Tìm điểm M(x; y) để OABM là một hình bình hành.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng: A(1; 3), B(-2; 6), C(5; 1).

a) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.

b) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Trang 64

Hình 4.37

Giải

a) (H.4.37) Điểm I(x; y) là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi + =

(*).

Mặt khác =(1− x; 3 – y), =(−2− x; 6 – y), + =(-1– 2x; 9 – 2y).

Do đó, (*) tương đương với

⇔ .

Vậy I.

b) Điểm G(x; y) là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi + +

= (**)

Mặt khác

= (1 - x;3 - y), =(-2 - x;6 - y), = (5 - x;1 - y),

+ + = (4 - 3x;10 - 3y).

Do đó, (**) tương đương với ⇔ .

Vậy G (1,10).

Chú ý

• Trung điểm M của đoạn thẳng AB có toạ độ là

.

• Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là .

Vận dụng. Từ thông tin dự báo bão được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định toạ độ vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo.

Chú ý. Để thể hiện một phần Trái Đất trên một bản đồ phẳng người ta dùng một phép chiếu bản đồ, với độ sai khác nhất định giữa bản vẽ và thực địa (thường được quy định với từng loại bản đồ). Về nguyên tắc, phạm vi thể hiện càng hẹp thì càng chính xác. Trong vận dụng này, ta chỉ tính toán trong phạm vi một đoạn đường đi ngắn của tâm bão.

Trong 12 giờ, tâm bão được dự báo di chuyển thẳng đều từ A(13,8; 108,3) tới vị trí có toạ độ B(14,1; 106,3). Gọi toạ độ của M là (x; y). Bạn hãy tìm mối liên hệ giữa hai vectơ và rồi thể hiện mối quan hệ đó theo toạ độ để tìm x; y.

Trang 65

BÀI TẬP

4.16. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm M(1; 3), N(4; 2).

a) Tính độ dài của các đoạn thẳng OM, ON, MN.

b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.

4.17. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các vecto

= 3 - 2 , = (4;-1) và các điểm M(-3; 6), N(3; -3).

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ và 2

– .

b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm P(x; y) để OMNP là một hình bình hành.

4.18. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(1; 3), B(2; 4), C(−3; 2).

a) Hãy giải thích vì sao các điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.

c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm điểm D(x; y) để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD.

4.19. Sự chuyển động của một tàu thuỷ được thể hiện trên một mặt phẳng toạ độ như sau: Tàu khởi hành từ vị trí A(1; 2) chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ = (3; 4). Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng toạ độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

4.20. Trong Hình 4.38, quân mã đang ở vị trí có toạ độ (1; 2). Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?

Hình 4.38

Bạn có thể tìm hiểu để biết quy tắc đi của quân mã.