Bài 2: Tập Hợp Và Các Phép Toán Trên Tập Hợp | Toán 10 - Tập 1 | Chương I: Mệnh đề và tập hợp - Lớp 10 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Trang 12

Câu lạc bộ Lịch sử có 12 thành viên (không có hai bạn nào trùng tên), tổ chức hai chuyên đề trên một phần mềm họp trực tuyến. Tên các

thành viên tham gia mỗi chuyên đề được hiển thị trên màn hình (H.1.1).

Hình 1.1

Có bao nhiêu thành viên vắng mặt trong cả hai chuyên để nhị?

CHUYÊN ĐỀ 1: Nam, Tú, Hương, Bình, Chi, Ngân, Khánh

CHUYÊN ĐỀ 2: Hương, Khánh, Hiền, Chi, Bình, Lam, Τú, Hân

1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TẬP HỢP

a. Tập hợp

HĐ1. Trong tình huống trên, gọi A là tập hợp những thành viên tham gia Chuyên đề 1, B là tập hợp những thành viên tham gia Chuyên đề 2.

a) Nam có là một phần tử của tập hợp A không? Ngân có là một phần tử của tập hợp B không?

b) Hãy mô tả các tập hợp A và B bằng cách liệt kê các phần tử.

Trang 13

HD2. Cho tập hợp:

C = {châu Á; châu Âu; châu Đại Dương; châu Mĩ; châu Nam Cực; châu Phi}.

a) Hãy chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp C.

b) Tập hợp C có bao nhiêu phần tử?

a ∈ S: phần tử a thuộc tập hợp S.

a ∉ S: phần tử a không thuộc tập hợp S.

Ví dụ 1. Cho D = {n ∈ N| n là số nguyên tố, 5 < n < 20}.

a) Dùng kí hiệu ∈, ∉ để viết câu trả lời cho câu hỏi sau: Trong các số 5; 12; 17; 18, số nào thuộc tập D, số nào không thuộc tập D?

b) Viết tập hợp D bằng cách liệt kê các phần tử. Tập hợp D có bao nhiêu phần tử?

Giải

a) 5 ∉ D; 12 ∉ D; 17 ∈  D; 18 ∉ D.

b) D = {7; 11; 13; 17; 19}. Tập hợp D có 5 phần tử.

Chú ý. Số phần tử của tập hợp S được kí hiệu là n(S). Chẳng hạn, tập hợp A trong HĐ1 có số phần tử là 7, ta viết n(A) = 7.

Số nào thuộc tập nghiệm của phương trình

Không có số nào vì phương trình vô nghiệm!

Chẳng hạn.

- Tập hợp các nghiệm của phương trình  là tập rỗng;

- Tập hợp những người sống trên Mặt Trời là tập rỗng.

Luyện tập 1. Gọi X là tập nghiệm của phương trình .

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) 13 ∈ X;

b) 11 ∉ X;

c) n(X) = 2.

b. Tập hợp con

HĐ3. Gọi H là tập hợp các bạn tham gia Chuyên đề 2 trong tình huống mở đầu có tên bắt đầu bằng chữ H. Các phần tử của tập hợp H có là phần tử của tập hợp B trong HĐ1 không?

Trang 14

• Thay cho T ⊂ S, ta còn viết S ⊃ T (đọc là S chứa T).

• Kí hiệu T ⊄ S để chỉ T không là tập con của S.

Nhận xét

• Từ định nghĩa trên, T là tập con của S nếu mệnh đề sau đúng:

∀x, x ∈ T ⇒ x ∈ S.

• Quy ước tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.

Hình 1.2

Minh hoạ T là một tập con của S như Hình 1.3.

Hình 1.3

Ví dụ 2. Cho tập hợp S = {2; 3; 5}. Những tập hợp nào sau đây là tập con của S?

;                          ;                               .

Giải

Các tập hợp

Hình 1.4

c. Hai tập hợp bằng nhau

HĐ4. Sơn và Thu viết tập hợp các số chính phương nhỏ hơn 100 như sau:

Sơn: S = {0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81};

Thu: T = {n ∈ N | n là số chính phương; n < 100}.

Hỏi bạn nào viết đúng?

Ví dụ 3. Cho hai tập hợp:

C = {n ∈ N | n là bội chung của 2 và 3; n < 30};

D = {n ∈ N | n là bội của 6; n < 30}.

Chứng minh C = D.

Nếu S ⊂ T và T ⊂ S thì S = T.

Trang 15

Giải

Ta có: C = {0; 6; 12; 18; 24};

D= {0; 6; 12; 18; 24).

Vậy C = D.

Luyện tập 2. Giả sử C là tập hợp các hình bình hành có hai đường chéo vuông góc; D là tập hợp các hình vuông.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) C ⊂ D;                      b) C ⊃ D;                       c) C = D.

2. CÁC TẬP HỢP SỐ

a. Mối quan hệ giữa các tập hợp số

• Tập hợp các số tự nhiên N = {0; 1; 2; 3; 4;.....}

• Tập hợp các số nguyên Z gồm các số tự nhiên và các số nguyên âm: Z= {...;-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;...}.

• Tập hợp các số hữu tỉ Q gồm các số viết được dưới dạng phân số với a, b ∈ Z, b ≠ 0.

Số hữu tỉ còn được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

• Tập hợp các số thực R gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ. Số vô tỉ là các số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

HĐ5. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Mọi số nguyên đều viết được dưới dạng phân số;

b) Tập hợp các số thực chứa tập hợp các số hữu tỉ; 

c) Tồn tại một số thực không là số hữu tỉ. 

Hình 1.5

Mối quan hệ giữa các tập hợp số: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Ví dụ 4. Hãy xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) 3,274 ∈ Q;
b) ∈ R;
c) 23 ∈ z.

Giải

a) 3,274 ∈ Q là mệnh đề đúng.

b) ∈ R là mệnh đề đúng.

c) ∈ Z là mệnh đề sai.

Luyện tập 3. Cho tập hợp C = {−4; 0; 1; 2}. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) C là tập con của Z;

b) C là tập con của N;

c) C là tập con của R.

Trang 16

b. Các tập con thường dùng của R

HĐ6. Cho hai tập hợp C = {x ∈ R | x ≥ 3} và D = {x ∈ R | x >3}.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) C, D là các tập con của IR;

b) ∀x, x ∈ C ⇒ x ∈ D;

c) 3 ∈ C nhưng 3 ∉ D;

d) C = D.

Một số tập con thường dùng của tập số thực R: • Khoảng (a; b) = {x ∈ R | a < x < b}                                                         a            b (a; +∞) = {x ∈ R | x> a}                                                             a (-∞; b) = {x ∈ R | x < b}                                                                           b • Đoạn [a, b] = {x ∈ R | a≤x≤b}                                                            a             b • Nửa khoảng [a; b) = {x ∈ R | a≤ x <b}                                                           a             b (a; b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}                                                         a             b [a; +∞) = {x ∈ R | x≥ a}                                                               a   (-∞; b] = {x ∈ R | x ≤ b}                                                                            b

Kí hiệu +∞: Đọc là dương vô cực (hoặc dương vô cùng).

Kí hiệu -∞: Đọc là âm vô cực (hoặc âm vô cùng).

a, b gọi là các đầu mút của đoạn, khoảng hay nửa khoảng.

Ví dụ 5. Viết các tập hợp sau dưới dạng các khoảng, đoạn, nửa khoảng trong R rồi biểu diễn trên trục số: C = {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 7};     D= x∈ R | x < 2}.

Giải

C= [2; 7]          

                                         2                 7

D= (-∞; 2)      

                                        2

Luyện tập 4. Hãy ghép mỗi dòng ở cột bên trái với một dòng thích hợp ở cột bên phải.

3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

a. Giao của hai tập hợp

HĐ7. Viết tập hợp X gồm những thành viên tham gia cả hai chuyên đề 1 và 2 trong tình huống mở đầu.

Tập X có phải là tập con của tập A không? Tập X có phải là tập con của tập B không? (A, B là các tập hợp trong HĐ1).

Trang 17

Hình 1.6

Ví dụ 6

a) Cho hai tập hợp C = {4; 7; 27} và D = {2; 4; 9; 27; 36}. Hãy xác định tập hợp C ∩ D.

b) Cho hai tập hợp E = [1; +∞) và F = (-∞; 3]. Hãy xác định tập hợp E ∩ F.

Giải

a) Giao của hai tập hợp C và D là C ∩ D = {4; 27}.

b) Giao của hai tập hợp E và F là E ∩ F = [1; 3].

[1; +∞)  

                               1
(-∞; 3]    

                                                     3

[1; +∞) ∩ (-∞; 3] = [1;3]
                                                    1                3

Luyện tập 5. Cho các tập hợp C = [1; 5], D = (–2; 3]. Hãy xác định tập hợp C ∩ D.

b. Hợp của hai tập hợp

HĐ8. Trở lại tình huống mở đầu, hãy xác định tập hợp các thành viên tham gia Chuyên đề 1 hoặc Chuyên đề 2.

Hình 1.7

Hình 1.8

Ví dụ 7. Cho hai tập hợp: C = {2; 3; 4; 7}; D= {-1; 2; 3; 4; 6}. Hãy xác định tập hợp C ∪ D.

Giải

Hợp của hai tập hợp C và D là C ∪ D = {1; 2; 3; 4; 6; 7}.

Ví dụ 8. Trở lại câu hỏi trong tình huống mở đầu. Gọi A là tập hợp những thành viên tham gia Chuyên đề 1, B là tập hợp những thành viên tham gia Chuyên đề 2.

Ta có: A ∪ B = {Nam; Hương; Chi; Tú; Bình; Ngân; Khánh; Hân; Hiền; Lam}.

Tập A ∪ B có 10 phần tử, tức là có 10 thành viên tham gia một hoặc hai chuyên đề.

Số thành viên vắng mặt trong cả hai chuyên đề là:

12 – 10 = 2 (thành viên).

Luyện tập 6. Hãy biểu diễn tập hợp A ∪ B bằng biểu đồ Ven, với A, B được cho trong HĐ1.

Trang 18

c. Hiệu của hai tập hợp

HĐ9. Trở lại tình huống mở đầu, hãy xác định tập hợp các thành viên chỉ tham gia Chuyên đề 1 mà không tham gia Chuyên đề 2.

Hình 1.9

Hình 1.10

Chú ý. = Ø.

Ví dụ 9. Cho các tập hợp: D = {−2; 3; 5; 6}; E = {x | x là số nguyên tố nhỏ hơn 10};

X = {x | x là số nguyên dương nhỏ hơn 10}.

a) Tìm D \ E và E \ D.

b) E có là tập con của X không? Hãy tìm phần bù của E trong X (nếu có).

Giải

a) Ta có: E = {2; 3; 5; 7}.

Do đó, D \ E = {-2; 6}; E \ D = {2; 7}.

b) Ta có: X= {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Vậy E là tập con của X.

Phần bù của E trong X là X \ E =

a) (-∞;-2);                              b) [-5; +∞).

Vận dụng. Lớp 10A có 24 bạn tham gia thi đấu bóng đá và cầu lông, trong đó có 16 bạn thi đấu bóng đá và 11 bạn thi đấu cầu lông. Giả sử các trận bóng đá và cầu lông không tổ chức đồng thời. Hỏi có bao nhiêu bạn lớp 10A tham gia thi đấu cả bóng đá và cầu lông?

Gợi ý. Gọi x là số bạn tham gia thi đấu cả bóng đá và cầu lông.

Bóng đá: 16-x

Cầu lông: 11-x

Ta có: n(A ∪ B)= n(A) + n(B) - n(A ∩ B).

Trang 19

BÀI TẬP

1.8. Gọi X là tập hợp các quốc gia tiếp giáp với Việt Nam. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp X và biểu diễn tập X bằng biểu đồ Ven.

1.9. Kí hiệu E là tập hợp các quốc gia tại khu vực Đông Nam Á.

a) Nêu ít nhất hai phần tử thuộc tập hợp E.

b) Nêu ít nhất hai phần tử không thuộc tập hợp E.

c) Liệt kê các phần tử thuộc tập hợp E. Tập hợp E có bao nhiêu phần tử?

1.10. Hãy viết tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp:

A = {0; 4; 8; 12; 16}.

1.11. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập rỗng ?

A = {x ∈ R | - 6 = 0};                       B={x ∈ Z | - 6 = 0}.

1.12. Cho X = {a, b}. Các cách viết sau đúng hay sai? Giải thích kết luận đưa ra.

a) a ⊂ X;

b) {a} ⊂ X;

C) Ø ∈ X.

1.13. Cho A = {2; 5}, B = {5; x}, C = {2; y}. Tìm x và y để A = B = C.

1.14. Cho A = {x ∈ Z | x < 4}; B = {x ∈  Z | (5x − 3)(

a) Liệt kê các phần tử của hai tập hợp A và B.

b) Hãy xác định các tập hợp A ∩ B, A ∪  B và A \ B.

1.15. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.

a) (-4; 1] ∩ [0; 3);                           b) (0; 2] ∪ (-3; 1];

c) (-2; 1) ∩ (-∞; 1];                         d) R \ (-∞; 3].

1.16. Để phục vụ cho một hội nghị quốc tế, ban tổ chức huy động 35 người phiên dịch tiếng Anh, 30 người phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có 16 người phiên dịch được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp. Hãy trả lời các câu hỏi sau:

a) Ban tổ chức đã huy động bao nhiêu người phiên dịch cho hội nghị đó?

b) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Anh?

c) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp?