Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm | Giải bài tập Toán 11 Tập 2 | Chương 9: Đạo Hàm - Lớp 11 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Mở đầu trang 88 Toán 11 Tập 2: Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu v₀ = 20 m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao h so với mặt đất (tính bằng mét) của vật tại thời điểm t (giây) sau khi ném được cho bởi công thức sau:

trong đó, v0 là vận tốc ban đầu của vật, g = 9,8 m/s² là gia tốc rơi tự do. Hãy tính vận tốc của vật khi nó đạt độ cao cực đại và khi nó chạm đất.

Lời giải:

Phương trình chuyển động của vật là

Vận tốc của vật tại thời điểm t được cho bởi v(t) = h' = v₀ – gt.

Vật đạt độ cao cực đại tại thời điểm , tại đó vận tốc bằng v(t₁) = v₀­ – gt₁ = 0.

Vật chạm đất tại thời điểm t₂ mà h(t₂) = 0 nên ta có:

Khi chạm đất, vận tốc của vật là v(t₂) = v₀ – gt₂ = –v₀ = –20 (m/s).

Dấu âm của v(t₂) thể hiện độ cao của vật giảm với vận tốc 20 m/s (tức là chiều chuyển động của vật ngược với chiều dương đã chọn).

1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

HĐ1 trang 88 Toán 11 Tập 2: Nhận biết đạo hàm của hàm số y = xⁿ.

a) Tính đạo hàm của hàm số y = x³ tại điểm x bất kì.

b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = xn (n ∈ ℕ*).

Lời giải:

a)

Đặt y = f(x) = x³.

Với x₀ bất kì, ta có:

Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là y' = 3x.

b)

Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = xⁿ (n ∈ ℕ*) là y' = nx^{n – 1}.

HĐ2 trang 88 Toán 11 Tập 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = √x tại điểm x > 0.

Lời giải:

2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

HĐ3 trang 89 Toán 11 Tập 2: Nhận biết quy tắc đạo hàm của tổng

a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = x³ + x² tại điểm x bất kì.

b) So sánh: (x³ + x²)' và (x³)' + (x²)'.

Lời giải:

a)

Đặt f(x) = y = x³ + x²­.

Với x₀ bất kì, ta có:

Vậy đạo hàm của hàm số y = x³ + x² là hàm số y' = 3x² + 2x.

b)

Ta có (x³)' = 3x² ; (x²)' = 2x, do đó (x³)' + (x²)' = 3x² + 2x.

Từ đó suy ra (x³ + x²)' = (x³)' + (x²)' (cùng bằng 3x² + 2x).

Luyện tập 1 trang 90 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

Lời giải:

a)

Với x ≥ 0 và x ≠ – 1 ta có:

b)

Với x ≥ 0 ta có:

3. Đạo hàm của hàm số hợp

HĐ4 trang 90 Toán 11 Tập 2: Nhận biết quy tắc đạo hàm của hàm số hợp

Cho các hàm số y = u² và u = x² + 1.

a) Viết công thức của hàm số hợp y = (u(x))² theo biến x.

b) Tính và so sánh: y'(x) và y' (u) . u' (x).

Lời giải:

a)

Công thức của hàm số hợp y = (u(x))² theo biến x là:

y = (u(x))² = (x² + 1)² = x⁴ + 2x² + 1.

b)

Ta có y'(x) = (x⁴ + 2x² + 1)' = 4x³ + 4x.

Lại có u'(x) = (x² + 1)' = 2x ; y'(u) = (u²)' = 2u.

Do đó, y' (u) . u' (x) = 2u . 2x = 4x(x² + 1) = 4x³ + 4x.

Vậy y'(x) = y' (u) . u' (x).

Luyện tập 2 trang 91 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

Lời giải:

a)

y' = [(2x – 3)¹⁰]' = 10.(2x – 3)⁹ . (2x – 3)' = 10.(2x – 3)⁹ . 2 = 20(2x – 3)⁹.

b) Với x ∈ (– 1; 1), ta có:

4. Đạo hàm của hàm số lượng giác

HĐ5 trang 91 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = sin x

a) Với h ≠ 0, biến đổi hiệu sin(x + h) – sin x thành tích.

b) Sử dụng đẳng thức giới hạn và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số y = sin x tại điểm x bằng định nghĩa.

Lời giải:

a) Với h ≠ 0, ta có:

Luyện tập 3 trang 91 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số

Lời giải:

HĐ6 trang 91 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = cos x

Bằng cách viết , tính đạo hàm của hàm số y = cos x.

Lời giải:

Vậy đạo hàm của hàm số y = cos x là hàm số y' = – sin x.

Luyện tập 4 trang 91 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số

Lời giải:

HĐ7 trang 92 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x

a) Bằng cách viết

 , tính đạo hàm của hàm số y = tanx.

b) Sử dụng hằng đẳng thức  (k∈Z), tính đạo hàm của hàm số y = cot x.

Luyện tập 5 trang 92 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số

Lời giải:

Ta có:

Vận dụng 1 trang 92 Toán 11 Tập 2: Một vật chuyển động có phương trình s(t) = (m), với t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của vật khi t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

Ta có:

Vậy vận tốc của vật khi t = 5 giây là:

5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số Lôgarit

HĐ8 trang 92 Toán 11 Tập 2: Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit

Lời giải:

HĐ9 trang 93 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ

a) Sử dụng giới hạn , tính đạo hàm của hàm số y = e^x tại x bằng định nghĩa.

b) Sử dụng hằng đẳng thức a^x = e^xlna (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = a^x.

Lời giải:

a)

Với x bất kì và h = x – x₀, ta có:

Vậy hàm số y = e^x có đạo hàm là hàm số y' = e^x.

b)

Ta có: a^x = e^{x.ln a} nên (a^x)' = (e^x.ln a)' = (x.ln a)' . e^{x.ln a} = e^{x.ln a}.ln a = a^x.ln a.

Luyện tập 6 trang 93 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = e^x2−x ;

b) y = 3^{sin x} .

Lời giải:

a)

b) y' = (3^{sin x})' = 3^{sin x} . (sin x)' . ln3 = 3^{sin x}.cos x. ln3.

HĐ10 trang 93 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit

a) Sử dụng giới hạn và đẳng thức , tính đạo hàm của hàm số y = ln x tại điểm x > 0 bằng định nghĩa.

b) Sử dụng đẳng thức (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = logax.

Lời giải:

a)

Với x > 0 bất kì và h = x – x₀ ta có:

Vậy hàm số y = ln x có đạo hàm là hàm số

b)

Luyện tập 7 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y = log₂(2x – 1).

Lời giải:

Điều kiện: 2x – 1 > 0 ⇔ x > 1/2 . Hàm số đã cho xác định trên

Ta có:

Vận dụng 2 trang 94 Toán 11 Tập 2: Ta đã biết, độ pH của một dung dịch được xác định bởi pH = –log[H+], ở đó [H+] là nồng độ (mol/lít) của ion hydrogen. Tính tốc độ thay đổi của pH đối với nồng độ [H+].

Tốc độ thay đổi của pH với nồng độ [H+] là đạo hàm của pH. Ta có:

Vậy tốc độ thay đổi của pH với nồng độ [H+] là