Bài 17: Dấu của tam thức bâc hai | Toán 10 - Tập 2 | Chương VI: Hàm số, đồ thị và ứng dụng - Lớp 10 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

(Trang 19)

Xét bài toán rào vườn ở Bài 16, nhưng ta trả lời câu hỏi: Hai cột góc hàng rào (H.6.8) cần phải cắm cách bờ tường bao nhiêu mét để mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48

1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

HĐ1. Hãy chỉ ra một đặc điểm chung của các biểu thức dưới đây:

;

;

.

Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức có dạng , trong đó a, b, c là những số thực cho trước (với a ≠ 0), được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai.

Người ta thường viết . Các đa thức đã cho trong HĐ1 là những tam thức bậc hai. Ở đa thức A, ta có a = 0,5; b = 0; c=0. 

Luyện tập 1. Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai.

;

;

;

Chú ý

Nghiệm của phương trình bậc hai = 0 cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai .

và với tương ứng được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai .

HĐ2. Cho hàm số bậc hai .

a) Xác định hệ số a. Tính và nhận xét về dấu của chúng so với dấu của hệ số a.

(Trang 20)

Nhận xét

Từ HĐ2 và HĐ3 ta thấy, nếu tam thức bậc hai

HĐ4. Nêu nội dung thay vào ô có dấu “?” trong bảng sau cho thích hợp.

• Trường hợp a >0

	<0	=0	>0
Dạng đồ thị
Vị trí của đồ thị so với trục Ox	Đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục Ox.	Đồ thị nằm phía trên trục Ox và tiếp xúc với trục Ox tại điểm có hoành độ	Đồ thị nằm phía trên trục Ox khi hoặc . Đồ thị nằm phía dưới trục Ox khi.

(Trang 21)

• Trường hợp a<0

	<0	=0	>0
Dạng đồ thị
Vị trí của đồ thị so với trục Ox	?	?	?

Mối quan hệ giữa dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f(x) = (a≠0). Nếu < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R. Nếu = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi và Nếu > 0 thì tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt và  . Khi đó, f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi ; f(x) trái dấu với hệ số a với mọi .

Khi > 0, dấu của f(x) và a là: “Trong trái, ngoài cùng”. cùng dấu trái dấu

Chú ý. Trong Định lí về dấu tam thức bậc hai có thể thay

Ví dụ 1. Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a)

b)

c)

Giải 

a) có =-3<0 và a=1>0 nên với mọi .

b)

c) Dễ thấy có , a = 2>0 và có hai nghiệm phân biệt Do đó ta có bảng xét dấu

			-4		1
		+	0	-	0	+

Suy ra

(Trang 22)

Luyện tập 2. Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a)

b)

c)

2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 

HĐ5. Trở lại tình huống mở đầu. Với yêu cầu mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48 , hãy viết bất đẳng thức thể hiện sự so sánh biểu thức tính diện tích với

Từ HĐ5, ta có

Đây là một bất phương trình bậc hai.

Tổng quát, ta có định nghĩa sau:

• Bất phương trình bậc hai ẩn là bất phương trình có dạng (hoặc ), trong đó a, b, c là những số thực đã cho và a ≠ 0. • Số thực gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc hai , nếu . Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của bất phương trình bậc hai gọi là tập nghiệm của bất phương trình này. • Giải bất phương trình bậc hai là tìm tập nghiệm của nó, tức là tìm các khoảng mà trong đó cùng dấu với hệ số a (nếu a >0) hay trái dấu với hệ số a (nếu a<0).

Nhận xét. Để giải bất phương trình bậc hai (hoặc

Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau:

a)

b)

c)

Giải

a) Tam thức

b) Tam thức có , hệ số nên luôn âm (cùng dấu với a) với mọi

(Trang 23)

c) Tam thức có

 Mặt khác a = −1 < 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

		-	0	+	0	-

Tập nghiệm của bất phương trình là

Ví dụ 3. Giải bất phương trình (1), từ đó suy ra lời giải cho bài toán rào vườn ở tình huống mở đầu.

Giải

Tam thức bậc hai có hai nghiệm ; và hệ số a = 2 > 0. Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình (1) là đoạn [4; 6]. Như vậy khoảng cách từ điểm cắm cột đến bờ tường phải lớn hơn hoặc bằng 4 m và nhỏ hơn hoặc bằng 6 m thì mảnh đất rào chắn của bác Việt sẽ có diện tích không nhỏ hơn 48

Luyện tập 3. Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a)

b)

c)

Vận dụng. Độ cao so với mặt đất của một quả bóng được ném lên theo phương thẳng đứng được mô tả bởi hàm số bậc hai , ở đó độ cao tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Trong khoảng thời điểm nào trong quá trình bay của nó, quả bóng sẽ ở độ cao trên 5 m so với mặt đất? 

(Trang 24)

BÀI TẬP

6.15. Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a)

b)

c)

d)

6.16. Giải các bất phương trình bậc hai:

a)

b)

c)

d)

6.17. Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi

6.18. Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu  . Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá 100 m? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể.

6.19. Xét đường tròn đường kính AB = 4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM = (H.6.19). Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu là diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của để diện tích không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.

Hình 6.19