Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ | Toán 10 - Tập 2 | Chương VII: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng - Lớp 10 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

(Trang 43)

Cũng như đối với đường thẳng, việc đại số hoá đường tròn gồm hai bước.

• Thiết lập đối tượng đại số tương ứng với đường tròn, gọi là phương trình của đường tròn.

• Chuyển các yếu tố liên quan tới đường tròn từ hình học sang đại số.

1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Điểm M(x; y) thuộc đường tròn (C), tâm I(a, b), bán kính R khi và chỉ khi

(1)

Ta gọi (1) là phương trình của đường tròn (C).

Ví dụ 1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) có phương trình: .

Viết phương trình đường tròn (C') có tâm J(2; – 1) và có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C).

Giải

Ta viết phương trình của (C) ở dạng .

Vậy (C) có tâm I = (2;−3) và bán kính R= 4.

Đường tròn (C') có tâm J (2; – 1) và có bán kính R' = 2R= 8, nên có phương trình

(Trang 44)

Luyện tập 1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C):

Nhận xét. Phương trình (1) tương đương với

Ví dụ 2. Cho a, b, c là các hằng số. Tìm tập hợp những điểm M(x; y) thoả mãn phương trình 

(2)

Giải

Phương trình (2) tương đương với

⇔.

Xét I(a, b), khi đó, IM =

(3)

Từ đó, ta xét các trường hợp sau:

- Nếu > 0 thì tập hợp những điểm M thoả mãn (2) là đường tròn tâm I(a, b), bán kính .

- Nếu = 0 thì (3) ⇔ IM =0. Do đó, tập hợp những điểm M thoả mãn (2) chỉ gồm một điểm là l(a, b).

- Nếu

 Luyện tập 2. Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.

a)

b)

c)

Ví dụ 3. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(2; 0), B(0; 4), C(−7; 3).

Giải

Các đoạn thẳng AB, AC tương ứng có trung điểm là M(1;2), N . Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua M(1; 2) và có vectơ pháp tuyến (-2; 4).

Vì

Do đó, phương trình của  là

1(x-1)-2(x-2)=0 hay x-2y+3=0.

(Trang 45)

Đường thẳng trung trực

Vì (–9; 3) cùng phương với (3; -1) nên

Do đó, phương trình của là

hay 3x-y+9=0.

Tâm I của đường tròn (C) cách đều ba điểm A, B, C nên I là giao điểm của và

Vậy toạ độ của I là nghiệm của hệ phương trình .

Suy ra I(–3; 0). Đường tròn (C) có bán kính là IA = 5. Vậy phương trình của (C) là 

Luyện tập 3. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm M(4; –5), N(2; −1), P(3; –8).

(Trang 46)

2. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Cho điểm M thuộc đường tròn (C): (tâm l(a;b), bán kính R). Khi đó, tiếp tuyến của (C) tại M có vectơ pháp tuyến  và phương trình

Ví dụ 4. Cho đường tròn (C) có phương trình . Điểm M(0; 1) có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu có, hãy viết phương trình tiếp tuyến tại M của (C).

Giải

Do nên điểm M thuộc (C).

Đường tròn (C) có tâm là I(−1; 3). Tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1) có vectơ pháp tuyến

-1(x-0)+2(y-1)=0 ⇔ x-2y+2=0.

Luyện tập 4. Cho đường tròn (C): . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm N(1; 0).

BÀI TẬP

7.13. Tìm tâm và tính bán kính của đường tròn

7.14. Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.

a)

b)

c)

(Trang 47)

7.15. Viết phương trình của đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau:

a) Có tâm I(–2; 5) và bán kính R = 7;

b) Có tâm I(1; −2) và đi qua điểm A(-2; 2);

c) Có đường kính AB, với A(−1; –3), B(–3; 5);

d) Có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng x + 2y +3=0.

7.16. Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC, với A(6; −2), B(4; 2), C(5 –5).
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

7.17. Cho đường tròn (C): . Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(0; 2).

7.18. Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng toạ độ. Theo đó, tại thời điểm t (0 ≤t≤180) vật thể ở vị trí có toạ độ .

a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.

b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.