Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách | Toán 10 - Tập 2 | Chương VII: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng - Lớp 10 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

(Trang 36)

Trong mặt phẳng toạ độ, mỗi đường thẳng đều có đối tượng đại số tương ứng, gọi là phương trình của nó. Vậy các yếu tố liên quan tới đường thẳng được thể hiện như thế nào qua phương trình tương ứng?

1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

HĐ1. Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng

a) Điểm M(1; 2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?

b) Giải hệ

c) Chỉ ra mối quan hệ giữa toạ độ giao điểm của và với nghiệm của hệ phương trình trên.

Nhận xét.  Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ là tập hợp những điểm có toạ độ thoả mãn phương trình của đường thẳng đó. Vì vậy, bài toán tìm giao điểm của hai đường thẳng được quy về bài toán giải hệ gồm hai phương trình tương ứng.

Trên mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng

Khi đó, toạ độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình:

(*)

cắt tại M⇔ hệ (*) có nghiệm duy nhất . song song với  ⇔ hệ (*) vô nghiệm. trùng ⇔ hệ (*) có vô số nghiệm.

(Trang 37)

Chú ý

Hình 7.5

Dựa vào các vectơ chỉ phương

• và song song hoặc trùng nhau ⇔ và cùng phương ⇔

•   và cắt nhau ⇔    và

Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng : và mỗi đường thẳng sau:

:

Giải

Vì   ⇔

⇔

Vậy và là một, tức là chúng trùng nhau.

Hai đường thẳng và

Nhận xét. Giả sử hai đường thẳng  , 

• Nếu

• Nếu tồn tại điểm thuộc nhưng không thuộc

Luyện tập 1. Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) : và

b) : và :

2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

HĐ2. Hai đường thẳng và cắt nhau tạo thành bốn góc (H.7.6). Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với nhau?

Hình 7.6

(Trang 38)

HĐ3. Cho hai đường thẳng cắt nhau , 

a) góc và góc b) cos và

Hình 7.7

Cho hai đường thẳng và với các vectơ pháp tuyến và tương ứng. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng đó được xác định thông qua công thức

Chú ý

• ⊥ ⇔

⊥ ⇔

• Nếu , có các vectơ chỉ phương

Ví dụ 2. Tính góc giữa hai đường thẳng

: ;

:

Giải

Vectơ pháp tuyến của là , của là .

Gọi

Do đó, góc giữa và

Luyện tập 2. Tính góc giữa hai đường thẳng

: và : 

Ví dụ 3. Tính góc giữa hai đường thẳng : và : .

Giải

Đường thẳng

Do đó, góc giữa

Luyện tập 3. Tính góc giữa hai đường thẳng : và

Xét đường thẳng bất kì cắt trục hoành Ox tại một điểm A. Điểm A chia đường thẳng thành hai tia, trong đó, gọi Az là tia nằm phía trên trục hoành. Kí hiệu là số đo của góc

Luyện tập 4. Cho đường thẳng : , với a ≠ 0.

a) Chứng minh rằng cắt trục hoành.

b) Lập phương trình đường thẳng đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với

c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa và .

d) Gọi M là giao điểm của với nửa đường tròn đơn vị và là hoành độ của M. Tính tung độ của M theo

Hình 7.8

(Trang 40)

3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

HĐ4. Cho điểm M và đường thẳng : có vectơ pháp tuyến (a, b). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (H 7.9). a) Chứng minh rằng . b) Giả sử H có toạ độ . Chứng minh rằng: . c) Chứng minh rằng

Hình 7.9

Cho điểm M và đường thẳng : . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng , kí hiệu là d(M,), được tính bởi công thức

Ví dụ 4. Tính khoảng cách từ điểm M(2; 4) đến đường thẳng : 3x + 4y − 12 = 0.

Giải

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng là 2.

Trải nghiệm. Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (H 7.10) và giải thích vì sao kết quả đo đạc đó phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4.

Hình 7.10

Luyện tập 5. Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng

(Trang 41)

BÀI TẬP

7.7. Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) và .

b)

c) và .

7.8. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) và

b) và . (t, s là các tham số).

7.9. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0; –2) và đường thẳng : .

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng

b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(-1; 0) và song song với .

c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và vuông góc với .

7.10. Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(-2;-1).

a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

7.11. Chứng minh rằng hai đường thẳng d : (a ≠ 0) và (a' ≠ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' =−1.

7.12. Trong mặt phẳng toạ độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0;0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.

(Trang 42)