Bài 15: CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG | Toán 7 - Tập 1 | Chương IV: TAM GIÁC BẰNG NHAU - Lớp 7 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

(Trang 75)

Quan sát hai chiếc cột dựng thẳng đứng, cạnh nhau và cao bằng nhau. Vì Mặt Trời ở rất xa Trái Đất, nên vào buổi chiều các tia nắng Mặt Trời tạo với hai chiếc cột các góc xem như bằng nhau.

Lí do mà bạn Tròn đưa ra như vậy có đúng không? Qua bài học này, em sẽ có câu trả lời cho câu hỏi trên.

1) BA TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG

Tìm hiểu ba trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

HĐ1 Hai tam giác vuông ABC (vuông tại đỉnh A) và A'B'C' (vuông tại A') có các cặp cạnh góc vuông bằng nhau:

AB = A'B', AC= A'C' (H.4.45).

Dựa vào các trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và A'B'C' bằng nhau.

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

(Trang 76)

HĐ2 Hai tam giác vuông ABC (vuông tại đỉnh A) và A'B'C' (vuông tại A') có tương ứng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề với cạnh ấy bằng nhau:

AB = A'B', ∠B = ∠B' (H.4.46).

Dựa vào trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và A'B'C' bằng nhau.

Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Luyện tập 1

Quay lại tình huống mở đầu, ta thấy mỗi chiếc cột với bóng của nó tạo thành hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Hai tam giác vuông này có một cặp cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau và hai góc ở đỉnh mỗi chiếc cột của hai tam giác vuông này cũng bằng nhau. Vậy lí do mà bạn Tròn đưa ra có đúng không?

HĐ3 Hình 4.47 mô phỏng chiều dài và độ dốc của hai con dốc bởi các đoạn thẳng BC, B'C' và các góc B, B'. Khi đó AC, A'C' mô tả độ cao của hai con dốc.

a) Dựa vào trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và A'B'C' bằng nhau.

b) So sánh độ cao của hai con dốc.

Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Chẳng hạn trong hình 4.47, vuông tại đỉnh A và

BC = B'C'; ∠B = ∠B'. Khi đó = (cạnh huyền - góc nhọn).

(Trang 77)

Trong hình 4.48, hãy tìm các cặp tam giác vuông bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.

Ví dụ 1

Cho hình 4.49. Biết rằng AB vuông góc với BC, AD vuông góc với CD, AC cắt BD tại E và ∠BAC = ∠DAC. Chứng minh rằng: 

a) =

Giải. a) Hai tam giác vuông BAC (vuông tại B) và DAC (vuông tại D) có: 

AC là cạnh chung;

∠BAC = ∠DAC (theo giả thiết).

Vậy = (cạnh huyền - góc nhọn).

b) Hai tam giác BAE và DAE có:

AE là cạnh chung;

∠BAE = ∠BAC = ∠DAC = ∠DAE (theo giả thiết);

AB = AD (vì

Vậy (c.g.c), suy ra ∠BEA = ∠DEA (hai góc tương ứng).

Mà ∠BEA + ∠DEA = 180° nên ∠BEA = ∠DEA = 90°. Vậy AC vuông góc với BD tại E.

Luyện tập 2

Cho tia Oz là tia phân giác của góc xOy. Lấy điểm M trên tia Oz và hai điểm A, B lần lượt trên các tia Ox, Oy sao cho MA vuông góc với Ox, MB vuông góc với Oy (H.4.50). Chứng minh rằng MA = MB.

(Trang 78)

2) TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU ĐẶC BIỆT CỦA TAM GIÁC VUÔNG

Tìm hiểu trường hợp bằng nhau đặc biệt của tam giác vuông

HĐ4 Vẽ tam giác vuông ABC có ∠A = 90°, AB = 3cm, BC = 5cm theo các bước sau:

• Dùng thước thẳng có vạch chia vẽ đoạn thẳng AB = 3cm.
• Vẽ tia Ax vuông góc với AB và cung tròn tâm B bán kính 5cm như hình 4.51.
• Vẽ đoạn thẳng BC ta được tam giác ABC.

HĐ5 Tương tự, vẽ thêm tam giác A'B'C' có ∠A' = 90°, A'B' = 3cm, B'C' = 5cm. 

a) Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa kiểm tra xem AC có bằng A'C' không.

b) Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không?

Ta thừa nhận định lí sau:

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

 Hãy chỉ ra các cặp tam giác vuông bằng nhau dưới đây.

Ví dụ 2

Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh B và tam giác ADC vuông tại đỉnh D. Biết rằng AB = AD, hãy chứng minh .

(Trang 79)

Hai tam giác vuông ABC (vuông tại B) và ADC (vuông tại D) có:

AB = AD (theo giả thiết)l

AC là cạnh chung.

Vậy (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Luyện tập 3

Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn tâm O và các điểm M, N, P như hình 4.54. Hãy chỉ ra ba cặp tam giác vuông bằng nhau trong hình.

Thử thách nhỏ

Có hai chiếc thang dài như nhau được dựa vào một bức tường với cùng độ cao BH = B'H' như hình 4.55. Các góc BAH và B'A'H' có bằng nhau không? Vì sao?

BÀI TẬP

4.20. Mỗi hình sau có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?

4.21. Cho hình 4.56, biết AB = CD, ∠BAC = ∠BDC = 90°. Chứng minh rằng .

4.22. Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm của cạnh BC.

Chứng minh rằng