Bài 16: TAM GIÁC CÂN. ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG | Toán 7 - Tập 1 | Chương IV: TAM GIÁC BẰNG NHAU - Lớp 7 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

(Trang 80)

Kiến trúc sư vẽ bản thiết kế ngôi nhà hình tam giác theo tỉ lệ 1 : 100. Biết rằng ngôi nhà cao 5m, bề ngang mặt sàng rộng 4m và hai mái nghiêng như nhau. Theo em, trên bản thiết kế làm thế nào để xác định được chính xác điểm C thể hiện đỉnh ngôi nhà?

1) TAM GIÁC CÂN VÀ TÍNH CHẤT

Tam giác cân 

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Trong hình 4.58, tam giác cân ABC (AB = AC) được gọi là cân tại đỉnh A, hai cạnh AB và AC là hai cạnh bên, BC là cạnh đáy, ∠B và ∠C là hai góc ở đáy, ∠A là góc ở đỉnh.

Hãy nêu tên tất cả các tam giác cân trong hình 4.59. Với mỗi tam giác cân đó, hãy nêu tên cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh, góc ở đáy của chúng.

(Trang 81)

Tính chất của tam giác cân

HĐ1 Quan sát tam giác ABC cân tại A như hình 4.60.

Lấy D làm trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Chứng minh rằng theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh.

b) Hai góc B và C của tam giác ABC có bằng nhau không?

HĐ2 Cho tam giác MNP có ∠M = ∠N. Vẽ tia phân giác PK của góc MPN (K ∈ MN).

Chứng minh rằng:

a) ∠MKP = ∠NKP;                   b)

c) Tam giác MNP có cân tại P không?

Qua HĐ1 và HĐ2 ta có tính chất sau:

Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Ngược lại, một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Luyện tập 1

Tính số đo các góc và cạnh chưa biết của tam giác DEF trong hình 4.62.

Thử thách nhỏ

Một tam giác có gì đặc biệt nếu thoả mãn một trong các điều kiện sau:

a) Tam giác có ba góc bằng nhau?

b) Tam giác cân có một góc bằng 60°?

2) ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG

Đường trung trực của một đoạn thẳng

HĐ3 Đánh dấu hai điểm A và B nằm trên hai mép tờ giấy A4, nối A và B để được đoạn thẳng AB.

(Trang 82)

Gấp mảnh giấy lại như hình 4.63 sao cho vị trí các điểm A và B trùng nhau.

Mở mảnh giấy ra, kẻ một đường thẳng d theo nếp gấp.

a) Gọi O là giao điểm của đường thẳng d và AB. O có là trung điểm của đoạn thẳng AB không?

b) Dùng thước đo góc, kiểm tra đường thẳng d có vuông góc với AB không?

Đường thẳng d trong HĐ3 được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng AB. 

Ta có định lí sau: 

Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Trong hình 4.64, bạn Lan vẽ đường trung trực của các đoạn thẳng. Theo em, hình nào Lan vẽ đúng?

Tính chất của đường trung trực

HĐ4 Trên mảnh giấy HĐ3, lấy điểm M bất kì trên đường thẳng d. Dùng thước thẳng có vạch chia kiểm tra xem AM có bằng BM không (h.4.65).

(Trang 83)

Từ HĐ4, ta có tính chất sau về đường trung trực của một đoạn thẳng:

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Ví dụ Cho đoạn thẳng AB và điểm M không thuộc đoạn AB sao cho MA = MB. Chứng minh rằng M thuộc đường trung trực của đoạn AB.

Giải (H.4.66)

Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Hai tam giác OMA và OMB có: 

OA = OB (do O là trung điểm của đoạn thẳng AB);

MA = MB (theo giả thiết);

OM là cạnh chung.

Vậy (c.c.c.). Suy ra ∠AOM = ∠BOM (hai góc tương ứng).

Mặt khác, vì ∠AOM + ∠BOM = 180° nên ∠AOM = ∠BOM = 90°. Vậy MO vuông góc với AB, hay MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Nhận xét. Trong ví dụ, nếu M ∈ AB thì M là trung điểm của AB và do đó M cũng thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB. Ta thấy đường trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Luyện tập 2

Cho M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Biết AM = 3cm và ∠MAB = 60° (H.4.67). Tính BM và số đo góc MBA.

Thực hành

Sử dụng thước thẳng và compa để vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB như sau:

• Vẽ đoạn thẳng AB;
• Lấy A làm tâm, vẽ cung tròn (bán kính lớn hơn
  ), sau đó lấy B làm tâm, vẽ cung tròn có cùng bán kính, sao cho hai cung tròn này cắt nhau tại hai điểm M và N;
• Dùng thước thẳng vẽ đường thẳng MN. Khi đó MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB (H.4.68).

(Trang 84)

BÀI TẬP

4.23. Cho tam giác ABC cân tại A và các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (H.4.69). Chứng minh rằng BE = CF.

4.24. Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC.

4.25. Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng mịnh rằng tam giác ABC cân tại A.

4.26. Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân.

Hãy giải thích các khẳng định sau:

a) Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông;

b) Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45°;

c) Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45° là tam giác vuông cân.

4.27. Trong hình 4.70, đường thẳng nào là đường trung trực của đoạn thẳng AB?

4.28. Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AD. Chứng minh rằng đường thẳng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.