Bài 3: Hàm Số Lượng Giác | Toán tập 1 | Chương I: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác - Lớp 11 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Trang 22

Giả sử vận tốc v (tính bằng lít/giây) của luồng khí trong một chu ki hô hấp (tức là thời gian từ lúc bắt đầu của một nhịp thở đến khi bắt đầu của nhịp thở tiếp theo) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi được cho bởi công thức

v = 0,85sin

trong đó t là thời gian (tính bằng giây). Hãy tìm thời gian của một chu kì hô hấp đầy đủ và số chu ki hô hấp trong một phút của người đó.

1. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

HĐ1. Hoàn thành bảng sau:

x	sinx	cosx	tanx	cotx
	?	?	?	?
0	?	?	?	?
	?	?	?	?

Với mỗi số thực x, ta xác định được duy nhất một điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của góc lượng giác (OA,OM) bằng x. Do đó, ta luôn xác định được các giá trị lượng giác sin x và cos x của x lần lượt là tung độ và hoành độ của điểm M. Nếu cosx ≠ 0, ta định nghĩa và nếu sin x ≠ 0, ta định nghĩa

Trang 23

Từ đây, ta có định nghĩa sau về các hàm số lượng giác.

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số

Giải

Biểu thức có nghĩa khi cosx ≠ 0, tức là x ≠   (k ∈ Z).

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là R \ .

Luyện tập 1. Tìm tập xác định của hàm số

2. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, HÀM SỐ TUẦN HOÀN 

a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ 

HĐ2. Cho hai hàm số f(x)=

Đồ thị hàm số y = f(x) =

Đồ thị hàm số y = g(x) =

Trang 24

a) Tìm các tập xác định , của các hàm số f(x) và g(x).

b) Chứng tỏ rằng f(−x) = f(x), ∀x ∈ . Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x) đối với hệ trục toạ độ Oxy?

c) Chứng tỏ rằng g(-x) = -g(x), ∀x ∈ .Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số y = g(x) đối với hệ trục toạ độ Oxy?

Nhận xét. Để vẽ đồ thị của một hàm số chẵn (tương ứng, lẻ), ta chỉ cần vẽ phần đồ thị của hàm số với những x dương, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị đã vẽ qua trục tung (tương ứng, qua gốc toạ độ), ta sẽ được đồ thị của hàm số đã cho.

Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số f(x) = xsin x.

Giải

Tập xác định của hàm số là D = R.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(-x)=(−x)sin(−x) = xsin x = f(x), ∀x ∈ D.

Vậy f(x)= xsin x là hàm số chẵn.

Luyện tập 2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số g(x) =

b) Hàm số tuần hoàn

HĐ3. So sánh:

a) sin(x + 2π) và sin x;

b) cos(x +2π) và cos x;

c) tan(x + π) và tan x;

d) cot(x + π) và cot x.

Hàm số hằng f(x) = c (c là hằng số) có phải là hàm số tuần hoàn không? Nếu hàm số tuần hoàn thì nó có chu kì không?

Trang 25

Nhận xét

a) Các hàm số y = sin x và y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π. Các hàm số y = tan x và y = cot x tuần hoàn với chu kì π.

b) Để vẽ đồ thị của một hàm số tuần hoàn với chu kì T, ta chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên đoạn [a; a + T ], sau đó dịch chuyển song song với trục hoành phần đồ thị đã vẽ sang phải và sang trái các đoạn có độ dài lần lượt là T, 2T, 3T, ... ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.

Ví dụ 3. Xét tính tuần hoàn của hàm số y = sin2x.

Giải

Hàm số có tập xác định là R và với mọi số thực x, ta có:

x - π ∈ R, x + π ∈ R,

sin2(x + π) = sin(2x + 2π) = sin2x.

Vậy y = sin2x là hàm số tuần hoàn.

Chú ý. Tổng quát, người ta chứng minh được các hàm số y = Asinωx và y = Acosωx (ω > 0) là những hàm số tuần hoàn với chu kì T = .

Luyện tập 3. Xét tính tuần hoàn của hàm số y = tan2x.

3. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ y = sinx

HĐ4. Cho hàm số y = sin x.

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số y = sin x trên đoạn [-π; π] bằng cách tính giá trị của sin x với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của sin x với những x âm.

x	-π				0				π
sinx	?	?	?	?	?	?	?	?	?

Bằng cách lấy nhiều điểm M(x; sinx) với x ∈ [-π; π] và nối lại ta được đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [-π; π].

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kì T = 2π, ta được đồ thị của hàm số y = sin x như hình dưới đây.

Hình 1.14

Trang 26

Từ đồ thị ở Hình 1.14, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số y = sin x.

Hàm số y = sin x; • Có tập xác định là R và tập giá trị là [−1; 1] • Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì 2π. • Đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng , k ∈ Z; • Có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ và gọi là một đường hình sin.

Ví dụ 4. Sử dụng đồ thị ở Hình 1.14, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn để hàm số y = sin x;

a) Nhận giá trị bằng 0;

b) Nhận giá trị dương.

Giải

a) Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn , y = 0 khi x = 0; x = π;

b) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn , thì y > 0 khi x ∈ (0; π).

Luyện tập 4. Tìm tập giá trị của hàm số y = 2sin x.

Vận dụng 1. Xét tình huống mở đầu.

a) Giải bài toán ở tình huống mở đầu.

b) Biết rằng quá trình hít vào xảy ra khi v > 0 và quá trình thở ra xảy ra khi v < 0.

Trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm nào thì người đó hít vào? người đó thở ra?

4. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ y = cosx

HĐ5. Cho hàm số y = cosx.

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số y = cos x trên đoạn [-π; π] bằng cách tính giá trị của cos x với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương
ứng của cos x với những x âm.

x	-π				0				π
cos x	?	?	?	?	?	?	?	?	?

Bằng cách lấy nhiều điểm M(x; cosx) với x ∈ [-π; π] và nối lại ta được đồ thị hàm số y = cos x trên đoạn [-π; π].

Trang 27

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kì T = 27, ta được đồ thị của hàm số y = cos x như hình dưới đây.

Hình 1.15

d) Từ đồ thị ở Hình 1.15, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số y = cos x.

Ví dụ 5. Sử dụng đồ thị ở Hình 1.15, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn hàm số y = cos x:

a) Nhận giá trị bằng 0;

b) Nhận giá trị âm.

Giải

a) Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn , y = 0 khi x = , x = , x =

b) Hàm số nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm dưới trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn  , thì y < 0 khi x ∈ .

Luyện tập 5. Tìm tập giá trị của hàm số y = –3cos x.

Vận dụng 2. Trong Vật lí, ta biết rằng phương trình tổng quát của một vật dao động điều hoà cho bởi công thức x(t) = Acos(ωt + φ), trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0), ωt + φ là pha của dao động tại thời điểm t và φ = [-π; π] là pha ban đầu của dao động. Dao động điều hoà này có chu kì (tức là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần).

Giả sử một vật dao động điều hoà theo phương trình x(t) = -5cos 4πt (cm).

a) Hãy xác định biên độ và pha ban đầu của dao động.

b) Tính pha của dao động tại thời điểm t = 2 (giây). Hỏi trong khoảng thời gian 2 giây, vật thực hiện được bao nhiêu dao động toàn phần?

Trang 28

5. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ y = tan x

HĐ6. Cho hàm số y = tan x.

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số y = tan x trên khoảng .

x				0
y = tan x	?	?	?	?	?	?	?

Bằng cách lấy nhiều điểm M(x; tan x) với x ∈ và nối lại, ta được đồ thị của hàm số y = tan x trên khoảng

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các khoảng khác có độ dài bằng chu kì T = π, ta được đồ thị của hàm số y = tan x như hình dưới đây.

Hình 1.16

Từ đồ thị ở Hình 1.16, hãy tìm tập giá trị và các khoảng đồng biến của hàm số y = tan x.

Hàm số y = tan x: • Có tập xác định là R \ và tập giá trị là R; • Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì π; • Đồng biến trên mỗi khoảng , k ∈ Z • Có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ.

Trang 29

Ví dụ 6. Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình 1.16, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn để hàm số y = tan x:

a) Nhận giá trị bằng 0;

b) Nhận giá trị dương.

Giải

a) Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn , y = 0 khi x = −π; x =0; x = π.

b) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn thì y > 0 khi x ∈ ∪

Luyện tập 6. Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình 1.16, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn để hàm số y = tan x nhận giá trị âm.

6. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ y = cot x

HĐ7. Cho hàm số y = cot x.

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số y = cot x trên khoảng (0; π).

x
cot x	?	?	?	?	?	?	?

Bằng cách lấy nhiều điểm M(x; cot x) với x ∈ (0; π) và nối lại, ta được đồ thị của hàm số y = cot x trên khoảng (0; π).

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các khoảng khác có độ dài bằng chu kì T = π, ta được đồ thị của hàm số y = cot x như hình dưới đây.

Hình 1.17

Trang 30

Từ đồ thị ở Hình 1.17, hãy tìm tập giá trị và các khoảng nghịch biến của hàm số y = cot x.

Ví dụ 7. Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình 1.17, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn để hàm số y = cot x:

a) Nhận giá trị bằng 0;

b) Nhận giá trị âm.

Giải

a) Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn   y = 0 khi ; ;

b) Hàm số nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm dưới trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn thì y < 0 khi x ∈ ∪ ∪   .

Luyện tập 7. Sử dụng đô thị đã vẽ ở Hình 1.17, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn

BÀI TẬP

1.15. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 

a) ;

b) .

1.16. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) y = sin2x + tan2x;

c) y = sin xcos2x;

b) y = cos x + x;

d) y = sin x + cos x.

1.17. Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) y = 2sin - 1;

b) y =

1.18. Từ đồ thị của hàm số y = tan x, hãy tìm các giá trị x sao cho tan x = 0.

1.19. Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hoả bởi hàm số h(t)= 90cos, trong đó h(t) là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển trung bình tại thời điểm t giây.

a) Tìm chu kì của sóng.

b) Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng.