Bài 16: Giới Hạn Của Hàm Số | Toán tập 1 | Chương V: Giới Hạn Hàm Số Liên Tục - Lớp 11 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Trang 111

Trong Thuyết tương đối của Einstein, khối lượng của vật chuyển động với vận tốc v cho bởi công thức

trong đó là khối lượng của vật khi nó đứng yên, c là vận tốc ánh sáng. Chuyện gì xảy ra với khối lượng của vật khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng?

Albert Einstein (1879-1955)

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

HĐ1. Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm

Cho hàm số .

a) Tìm tập xác định của hàm số f(x).

b) Cho dãy số . Rút gọn

c) Với dãy số () bất kì sao cho

Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm và hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b), có thể trừ điểm . Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số L khi x dần tới nếu với dãy số () bất kì, ∈ (a; b), ≠ Và → , ta có → L, kí hiệu hay f (x) → L khi x → .

Ví dụ 1. Cho hàm số . Chứng tỏ rằng .

Trang 112

Giải

Lấy dãy số () bất kì sao cho ≥ 1 và

Do đó . Vậy .

Tương tự đối với dãy số, ta có các quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm như sau:

a) Nếu và

•  với c là hằng số.

•

Ví dụ 2. Cho f (x) = x − 1 và g (x )= . Tính các giới hạn sau:

a)

b) .

Giải

Ta có . Mặt khác, ta thấy

a) Ta có

.

b) Ta có

.

Ví dụ 3. Tính .

Giải

Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi x → 0 nên ta không thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số.

Chú ý rằng .

Trang 113

Do đó

Luyện tập 1. Tính .

HĐ2. Nhận biết khái niệm giới hạn một bên

Cho hàm số .

a) Cho và

b) Tìm giới hạn của các dãy số () và ().

c) Cho các dãy số (

• Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (; b). Ta nói số L là giới hạn bên phải của f (x) khi x → , nếu với dãy số () bất kì thoả mãn < < b và → , ta có f () → L, kí hiệu . • Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; ). Ta nói số L là giới hạn bên trái của f (x) khi x → nếu với dãy số () bất kì thoả mãn a < < và → , ta có f () → L, kí hiệu .

Ví dụ 4. Cho hàm số

Tính và .

Giải

Với dãy số () bất kì sao cho 0 < <1 và

Do đó ..

Tương tự, với dãy số () bất kì mà 1 < < 2,

khi và chỉ khi

Luyện tập 2. Cho hàm số

Tính , và .

Trang 114

2. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

HĐ3. Nhận biết khái niệm giới hạn tại vô cực

Cho hàm số

Hình 5.4

Giả sử () là dãy số sao cho > 1, . Tính f (

• Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; +∞). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số () bất kì, và , ta có , kí hiệu  hay f (x) → L khi x → +∞. • Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (-∞; b). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số L khi x → -∞ nếu với dãy số () bất kì, và , ta có , kí hiệu  hay f (x) → L khi x → -∞.

Ví dụ 5. Cho . Sử dụng định nghĩa, tìm và .

Giải

Lấy dãy (

Vậy

• Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
• Với c là hằng số, ta có: , .
• Với k là một số nguyên dương, ta có: ,

Trang 115

Ví dụ 6. Tính .

Giải

Ta có .

Luyện tập 3. Tính

Vận dụng. Cho tam giác vuông OAB với A = (a, 0) và B = (0; 1) như Hình 5.5. Đường cao OH có độ dài là h.

Hình 5.5

a) Tính h theo a.

b) Khi điểm A dịch chuyển về O, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

3. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

a) Giới hạn vô cực

HĐ4. Nhận biết khái niệm giới hạn vô cực

Xét hàm số  có đồ thị như Hình 5.6.

Cho , chứng tỏ rằng .

Hình 5.6

Giả sử khoảng (a; b) chứa và hàm số y = f (x) xác định trên (a; b) \ {}. Ta nói hàm số f (x) có giới hạn +∞ khi x → , nếu với dãy số () bất kì, ∈ (a; b) \ {}, → ta có f () → +∞, kí hiệu . Ta nói hàm số f (x) có giới hạn -∞ khi x → , kí hiệu , nếu lim .

Ví dụ 7. Tính .

Giải

Xét hàm số

Do đó

Trang 116

Cho hàm số . Với các dãy số () và () cho bởi

• Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (; b). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn +∞ khi x → về bên phải nếu với dãy số () bất kì thoả mãn < < b, → ta có f () → +∞, kí hiệu . • Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; ). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn +∞ khi x → về bên trái nếu với dãy số ( ) bất kì thoả mãn a < < , → , ta có f ( ) → +∞, kí hiệu . • Các giới hạn một bên  và  được định nghĩa tương tự.

Ví dụ 8. Giải bài toán ở tình huống mở đầu.

Giải

Từ công thức khối lượng

ta thấy m là một hàm số của v, với tập xác định là nửa khoảng [0;c). Rõ ràng khi v tiến gần tới vận tốc ánh sáng, tức là v → c, ta có

Luyện tập 4. Tính các giới hạn sau: 

a) ;

b) .

Chú ý. Các giới hạn ,

Một số giới hạn đặc biệt:

• với k nguyên dương,

•

•  với k là số lẻ.

Trang 117

b) Một số quy tắc tính giới hạn vô cực

Chú ý các quy tắc tính giới hạn hữu hạn không còn đúng cho giới hạn vô cực.

Ta có một số quy tắc tính giới hạn của tích và thương hai hàm số khi một trong hai hàm số đó có giới hạn vô cực.

• Quy tắc tìm giới hạn của tích f (x) g (x).

Giả sử   và (hoặc −∞). Khi đó được tính theo quy tắc cho trong bảng sau:

L > 0	+∞	+∞
	-∞	-∞
L < 0	+∞	-∞
	-∞	+∞

• Quy tắc tìm giới hạn của thương .

		Dấu của g (x)
L	±∞	Tùy ý	0
L > 0	0	+	+∞
		−	+∞
L < 0	0	+	-∞
		−	-∞

Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x → , x →

Ví dụ 9. Tính  .

Giải

Ta sử dụng quy tắc tìm giới hạn của thương. Rõ ràng, giới hạn của tử số

Ngoài ra, mẫu số nhận giá trị dương với mọi x ≠ 0 và lim . Do vậy .

Ví dụ 10. Tính và .

Giải

Viết

Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của tích, ta được . 

Lí luận tương tự, ta có

Trang 118

 Luyện tập 5. Tính

BÀI TẬP

5.7. Cho hai hàm sốvà g (x) = x + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) f (x) = g (x);

b) ..

5.8. Tính các giới hạn sau:

a) ;

b)

5.9. Cho hàm số (hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/mở của dòng điện tại thời điểm t = 0).

Tính và .

5.10. Tính các giới hạn một bên:

a) ;

b)

5.11. Cho hàm số .

Tìm  và .

5.12. Tính các giới hạn sau:

a) ;

b)

5.13. Cho hàm số .

Tìm và .