Nội Dung Chính
Trang 42
Chương này giới thiệu những khái niệm cơ bản về dãy số (hữu hạn và vô hạn), một loại hàm số mà biến số là những số nguyên dương, và trình bày một cách hệ thống hai dãy số đặc biệt, có nhiều ứng dụng trong thực tiễn là cấp số cộng và cấp số nhân.
| THUẬT NGỮ • Dãy số • Dãy số tăng • Dãy số giảm • Dãy số bị chặn | KIẾN THỨC, KĨ NĂNG • Nhận biết dãy số hữu hạn, dãy số vô hạn. • Thể hiện cách cho dãy số bằng liệt kê các số hạng; bằng công thức tổng quát; bằng hệ thức truy hồi; bằng cách mô tả. • Nhận biết tính chất tăng, giảm, bị chặn của dãy số trong những trường hợp đơn giản. |
Năm 2020, số dân của một thành phố trực thuộc tỉnh là khoảng 500 nghìn người. Người ta ước tính rằng số dân của thành phố đó sẽ tăng trưởng với tốc độ khoảng 2% mỗi năm. Khi đó số dân 
(nghìn người) của thành phố đó sau n năm, kể từ năm 2020, được tính bằng công thức = 500(1 + 0,02)
. Hỏi nếu tăng trưởng theo quy luật như vậy thì vào năm 2030, số dân của thành phố đó là khoảng bao nhiêu nghìn người?
1. ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ
HĐ1. Nhận biết dãy số vô hạn
Viết năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần. Từ đó, dự đoán công thức tính số chính phương thứ n
Từ công thức nhận được, ta có quy tắc để viết được dãy gồm tất cả các số chính phương.
| • Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là u = u(n). • Ta thường viết  thay cho u(n) và kí hiệu dãy số u = u(n) bởi () được viết dưới dạng khai triển  ,  ,  , ..., Số gọi là số hạng đầu, là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số. |
Chú ý. Nếu ∀n ∈ N*, = c thì () được gọi là dãy số không đổi.
Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.
Trang 43
Ví dụ 1. Xác định số hạng đầu và số hạng tổng quát của mỗi dãy số sau:
a) Dãy số () các số tự nhiên lẻ: 1, 3, 5, 7 ...
b) Dãy số (
) các số nguyên dương chia hết cho 5: 5, 10, 15, 20, ...
Giải
a) Dãy () có số hạng đầu = 1 và số hạng tổng quát
b) Dãy () có số hạng đầu 
= 5 và số hạng tổng quát = 5n.
HĐ2. Nhận biết dãy số hữu hạn
a) Liệt kê tất cả các số chính phương nhỏ hơn 50 và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn.
b) Viết công thức số hạng của các số tìm được ở câu a) và nêu rõ điều kiện của n.
| • Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3; ...,m) với m = ∈ N* được gọi là một dãy số hữu hạn. • Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là , ...,  Số gọi là số hạng đầu, số gọi là số hạng cuối. |
Ví dụ 2. Xét dãy số hữu hạn gồm các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 20, sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn.
a) Liệt kê tất cả các số hạng của dãy số hữu hạn này.
b) Tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số đó.
Giải
a) Các số hạng của dãy số là: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
b) Số hạng đầu của dãy số này là 1 và số hạng cuối của dãy số là 19.
Luyện tập 1. a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của
b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn này.
2. CÁC CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ
HĐ3. Nhận biết các cách cho một dãy số
Xét dãy số (
a) Viết công thức số hạng tổng quát u, của dãy số.
b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n − 1 của dãy số. Công thức thu được gọi là hệ thức truy hồi.
Hãy để ý đến hiệu hai số hạng liên tiếp của dãy số.
Trang 44
| Một dãy số có thể cho bằng: • Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng); • Công thức của số hạng tổng quát; • Phương pháp mô tả; • Phương pháp truy hồi. |
Ví dụ 3. Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của dãy số cho bởi công thức sau:
a) = 2n;
b) 
.
Giải
a) Năm số hạng đầu của dãy số là: 2, 4, 6, 8, 10.
Số hạng thứ 100 của dãy số là 
= 2·100 = 200.
b) Năm số hạng đầu của dãy số là: -1; 
; 
; 
. Số hạng thứ 100 của dãy số là 
.
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 mà chỉ có hai ước số là 1 và chính nó.
Ví dụ 4. Xét dãy số gồm tất cả các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần. Viết năm số hạng đầu của dãy số đó.
Giải. Năm số hạng đầu của dãy số là: 2, 3, 5, 7, 11.
Chú ý. Dãy số gồm tất cả các số nguyên tố ở Ví dụ 4 được cho bởi phương pháp mô tả (số hạng thứ n là số nguyên tố thứ n). Cho đến nay người ta vẫn chưa biết có hay không một công thức tính số nguyên tố thứ n theo n (với n bất kì), hoặc là một thể thức tính số nguyên tố thứ n theo một vài số nguyên đứng trước nó.
Hệ thức truy hồi là hệ thức biểu thị số hạng thử n của dãy số qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.
Ví dụ 5. Cho dãy số xác định bằng hệ thức truy hồi:
= 1, = 
+ 2 với n ≥ 2.
Viết ba số hạng đầu của dãy số này.
Giải
Ta có:
= 3 + 2 = 3 · 1 + 2 = 5, 
= 3 + 2 = 3 · 5 + 2 = 17. Ví dụ 6. Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Giải
Ở đây ta có n = 2030 – 2020 = 10. Vậy số dân của thành phố đó vào năm 2030 sẽ là
≈ 609 (nghìn người). Luyện tập 2.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số () với số hạng tổng quát = n!.
b) Viết năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci (F, ) cho bởi hệ thức truy hồi
F1 =1, F2 =1
Fn =Fn-1+Fn-2 (n≥3).
Chú ý. Để có hình ảnh trực quan về dãy số, ta thường biểu diễn các số hạng của nó trên
trục số. Chẳng hạn, xét dãy số (u,) với un
U1
-1
1
U2
2
=
1 43 4
---
1
8
U1
=
1
16
1
32
=
(-1)"
2"
Năm số hạng đầu của dãy số này là
và được biểu diễn trên trục số như sau:
Us
110
1
132
16
++ + +
+
0
u1
U3 u u
u2
96
1
3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
- H04. Nhận biết dãy số tăng, dãy số giảm
Bình Luận
Để Lại Bình Luận Của Bạn