Bài 13: Hai Mặt Phẳng Song Song | Toán tập 1 | Chương IV: Quan Hệ Song Song Trong Không Gian - Lớp 11 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Trang 88 

Các đầu bếp chuyên nghiệp luôn có kĩ năng dùng dao điều luyện để thải thức ăn như rau, củ, thịt, cá,... thành các miếng đều nhau và đẹp mắt. Các nhát cắt cần tuân thủ nguyên tắc gì để đạt được điều đó?

1. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

HĐ1. Các mặt bậc thang trong Hình 4.40 gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung. Hãy tìm thêm một số ví dụ khác cũng gợi nên hình ảnh đó.

Hình 4.40

Nhận xét. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau và đường thẳng d nằm trong (α) thì d và (β) không có điểm chung, tức là d song song với (β). Như vậy, nếu một đường thẳng nằm trong một trong hai mặt phẳng song song thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng còn lại.

Ruộng bậc thang có các mặt bậc thang gọi nền hình ảnh về các mặt phẳng song song.

Tháp nghiêng Pisa ở Ý có các mặt sản ở mỗi tầng không song song với mặt đất.

Trang 89

2. ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT CỦA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

HĐ2. Cho mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (B) (H4.41).

Hình 4.41

Nếu (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c thì hai đường thẳng a và c có song song với nhau hay không, hai đường thẳng b và c có song song với nhau hay không?

Hãy rút ra kết luận sau khi trả lời các câu hỏi trên.

Hãy nhắc lại các tinh chất của đường thẳng song song với mặt phẳng đã được học ở Bài 12.

Nếu không có điều kiện "hai đường thẳng cắt nhau" thì khẳng định trên còn đúng không ?

Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Chứng minh rằng mặt phẳng (BCE) song song với mặt phẳng (ADF) (H.4.42).

Hình 4.42

Giải

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên BC // AD, suy ra BC // (ADF).

Vì tứ giác ABEF là hình bình hành nên BE // AF, suy ra BE // (ADF).

Mặt phẳng (BCE) chứa hai đường thẳng cắt nhau BC và BE cùng song song với mặt phẳng (ADF) nên mặt phẳng (BCE) song song với mặt phẳng (ADF) nên mặt phẳng (BCE) song song với mặt phẳng (ADF).

Luyện tập 1. Trong không gian, cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng! Qua điểm A vẽ hai đường thẳng m, n lần song song với hai đường thẳng BC, BD. Chứng minh rằng mp(m, n) song song với mặt phẳng (BCD).

Vận dụng 1. Một chiếc bàn có phần chân là hai khung sắt hình chữ nhật có thể xoay quanh một trục như trong Hình 4.43. Khi mặt bàn được đặt lên phần chân bàn thì mặt bản luôn song song với mặt đất. Hãy giải thích tại sao.

Hình 4.43

HĐ3. Đặt một tấm bìa cứng lên một góc của mặt bàn nằm ngang (H.4.44) sao cho mặt bia song song với mặt đất. Khi đồ mặt bia có trùng với mặt bàn hay không?

Hình 4.44

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thi hai mặt phẳng đó có song song với nhau hay không? Vì sao?

Trang 90

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD (H.4.45). Chúng minh rằng hai mặt phẳng (MNP) và (NPQ) cùng song song với mặt phẳng (ABCD), từ đó suy ra bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Hình 4.45

Giải

Vì M, N là trung điểm của SA, SB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB. Do đó, MN // AB và suy ra MN song song với mặt phẳng (ABCD). Tương tự, NP cũng song song với mặt phẳng (ABCD). Vậy mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABCD). Lập luận tương tự ta có mặt phẳng (NPQ) cũng song song với mặt phẳng (ABCD).

Hai mặt phẳng (MNP) và (NPQ) cùng đi qua điểm N và cùng song song với mặt phẳng (ABCD) nên hai mặt phẳng đó trùng nhau, tức là bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Luyện tập 2. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB, SC, SD sao cho . Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

HĐ4. Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Giả sử mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến a (H.4.46).

a) Chứng minh rằng mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (Q).

b) Gọi b là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Hai đường thẳng a và b có thể chéo nhau hay không, có thể cắt nhau hay không? 

Hình 4.46

Ví dụ 3. Trong Ví dụ 2, gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, CD (H. 4.47). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MEF) và mặt phẳng (MNPQ).

Hình 4.47

Giải

Trong Ví dụ 2, ta đã chứng minh được hai mặt phẳng (MNPQ) và (ABCD) song song với nhau. Vì vậy hai giao tuyến của mặt phẳng (MEF) với hai mặt phẳng (MNPQ) và (ABCD) song song với nhau. Trong mặt phẳng (MEF), qua M vẽ đường thẳng song song với EF cắt PQ tại G thì đường thẳng MG là giao tuyến của hai mặt phẳng (MEF) và (MNPQ).

Trang 91

Luyện tập 3. Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (EMQ) và mặt phẳng (ABCD).

3.ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG KHÔNG GIAN

HĐ5. Cho ba mặt phẳng (P), (Q) và (R) đôi một song song. Hai đường thẳng phân biệt d và d' cắt ba mặt phẳng lần lượt tại A, B, C và A', B', C' (C khác C). Gọi D là giao điểm của
AC và (Q) (H.4.48).

Hình 4.48

a) Các cặp đường thẳng BD và CC', B'D và AA' có song song với nhau không?

b) Các tỉ số và có bằng nhau không?

Kết quả sau còn được biết đến như định lí Thales trong không gian.

Nhắc lại định lí Thales trong hình học phẳng.

Trong Hình 4.48 ta có

Ví dụ 4. Cho hình tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy các điểm , sao cho . Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) và lần lượt đi qua ,

Hình 4.49

Giải

Áp dụng định Ií Thalès cho ba mặt phẳng đôi một song song (P), (Q), (ABC) và hai cát tuyến SA, SB, ta có . Vì nên

Tương tự với hai cát tuyến SA, SC suy ra .

Luyện tập 4. Trong HĐ5, cho AB = 2 cm, BC = 4 cm và A'B' = 3 cm. Tính độ dài của đoạn thẳng B'C'.

4. HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP

HĐ6. Các hình ảnh dưới đây có đặc điểm chung nào với hình lăng trụ đứng tam giác mà em đã học ở lớp 7?

Trang 92

Cho hai mặt phẳng song song (α) và (α'). Trên (α) cho đa giác lồi . Qua các đỉnh , , ..., vẽ các đường thẳng đôi một song song và cắt mặt phẳng (α') tại , ,.... Hình gồm hai đa giác , , và các tứ giác , , ...,  được gọi là hình lăng trụ và kí hiệu là , (H.4.50). Hình 4.50 • Các điểm , , ...,   và  , ,... được gọi là các đỉnh, các đoạn thẳng, , ...,  được gọi là các cạnh bên, các đoạn thẳng , , ..., và , , ...,  được gọi là các cạnh đáy của hình lăng trụ.  • Hai đa giác , và được gọi là hai mặt đáy của hình lăng trụ. • Các tứ giác , , ..., được gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.

Hình lăng trụ có đáy là tam giác được gọi là hình lăng trụ tam giác, hình lăng trụ có đây là tứ giác được gọi là hình lăng trụ tứ giác.

Hãy giải thích tại sao các mặt bên của hình lăng trụ là hình bình hành, từ đó suy ra các cạnh bên đổi một song song và có độ dài bằng nhau.

Chú ý. Tên của hình lăng trụ được gọi dựa theo tên của đa giác đáy.

Ví dụ 5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Một mặt phẳng song song với mặt đáy của hình lăng trụ cắt các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại A", B", C" (H.4.51). Chứng minh rằng ABC.A'B"C" là hình lăng trụ.

Hình 4.51

Giải

Vì các cạnh bên của hình lăng trụ ABC.A'B'C' đối một song song nên AA", BB", CC" đôi một song song. Mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng (A"B"C") nên ABC.A"B"C" là hình lăng trụ.

Luyện tập 5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M và M' lần lượt là trung điểm của BC và B'C'. Chứng minh rằng AMC.A'M'C' là hình lăng trụ.

HĐ7. Hình ảnh nào trong HĐ6 gợi nên hình ảnh về hình lăng trụ có đáy là hình bình hành?

Trang 93

Hai đỉnh đối diện của hình hộp là hai định không cùng thuộc bất kì mặt nào của hình hộp. Hai mặt đối diện của hình hộp là hai mặt không có điểm chung.

Ví dụ 6. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'(H.4.52). Chứng minh rằng các đường chéo AC', BD', CA' và DB' của hình hộp cùng đi qua trung điểm của mỗi đường.

Hình 4.52

Giải

Đáy ABCD của hình hộp là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC. Mặt bên BCC'B' của hình hộp là hình bình hành nên BC // B'C' và BC = B'C'. Vậy AD // B'C' và AD = B'C', suy ra ADC'B' là hình bình hành. Từ đó AC' và DB' cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Tương tự AC' và BD', AC' và CA' cũng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vậy bốn đường chéo của hình hộp cùng đi qua trung điểm của mỗi đường.

Luyện tập 6. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ADD'A') và (BCC'B') song song với nhau.

Nhận xét. Từ Ví dụ 6 và Luyện tập 6, ta có:

- Các đường chéo của hình hộp cùng đi qua trung điểm của mỗi đường,

- Các mặt đối diện của hình hộp song song với nhau và có thể coi là hai đây của hình hộp.

Vận dụng 2. Để xác định mực nước trong một chiếc bể có dạng hình hộp, bác Hà đặt một thanh gỗ đủ dài vào trong bể sao cho một đầu của thanh gỗ dựa vào mép của nắp bể, đầu còn lại nằm trên đây bể (H.4.53). Sau đó bác Hà rút thanh gỗ ra ngoài và tính tỉ lệ giữa độ dài của phần thanh gỗ bị ngâm trong nước và độ dài của cả thanh gỗ. Tỉ lệ này chính bằng tỉ lệ giữa mực nước và chiều cao của bề. Hãy giải thích vì sao.

Hình 4.53

BÀI TẬP

4.21. Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt (P), (Q), (R). Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu (P) chứa một đường thẳng song song với (Q) thì (P) song song với (Q).

Trang 94

b) Nếu (P) chứa hai đường thẳng song song với (Q) thì (P) song song với (Q).

c) Nếu (P) và (Q) song song với (R) thì (P) song song với (Q).

d) Nếu (P) và (Q) cắt (R) thì (P) và (Q) song song với nhau.

4.22. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AA', BB', CC'. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABC).

4.23. Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và CD. Qua các điểm A, D lần lượt về các đường thẳng m, n song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng mp(B, m) và mp(C, n) song song với nhau.

4.24. Cho hình tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy các điểm ,

4.25. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D'. Một mặt phẳng song song với mặt phẳng (A'B'C'D') cắt các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại A", B", C", D". Hỏi hình tạo bởi các điểm A, B, C, D, A", B", C", D" là hình gì?

4.26. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A'B'C'.

a) Chứng minh rằng tứ giác AGG'A' là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng AGC.A'G'C' là hình lăng trụ.

4.27. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Một mặt phẳng song song với mặt bên (ABB'A') của hình hộp và cắt các cạnh AD, BC, A'D', B'C' lần lượt tại M, N, M', N' (H.4.54). Chứng minh rằng ABNM.A'B'N'M' là hình hộp.

Hình 4.54

4.28. Cầu thang xương cá là dạng cầu thang có hình dáng tương tự như những đốt xương cá, thường có những bậc cầu thang với khoảng mở lớn, tạo được sự nhẹ nhàng và thoảng đăng cho không gian sống. Trong Hình 4.55, phần mép của mỗi bậc thang nằm trên tường song song với nhau. Hãy giải thích tại sao.

Hình 4.55