Bài 31: Định Nghĩa Và Ý Nghĩa Của Đạo Hàm | Toán tập 2 | Chương IX: Đạo Hàm - Lớp 11 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Trang 81

Chương này trình bày khái niệm và các quy tắc tính đạo hàm, công thức tính đạo hàm của một số hàm số SƠ cấp cơ bản, cũng như ý nghĩa hình học và ý nghĩa cơ học của đạo hàm.
.

Nếu một quả bóng được thả rơi tự do từ đài quan sát trên sẵn thượng của toà nhà Landmark 81 (Thành phố Hồ Chí Minh) cao 461,3 m xuống mặt đất. Có tính được vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất hay không? (Bỏ qua sức cản không khí).

Hình 9.1. Toà nhà Landmark 81 

1. MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪN ĐẾN KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

a) Vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng

HĐ1. Một vật di chuyển trên một đường thẳng (H.9.2). Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t, s = s(t) (được gọi là phương trình của chuyển động).

a) Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ đến t.

b) Giới hạn cho ta biết điều gì?

Vị trí của vật tại thời điểm

Vị trí của vật tại thời điểm t

s(t) - s(

Hình 9.2

Trang 82

b) Cường độ tức thời

HĐ2. Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, có dạng Q = Q(t).

a) Tính cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ đến t.

b) Giới hạn  cho ta biết điều gì?

Nhận xét. Nhiều bài toán trong Vật lí, Hoá học, Sinh học,... đưa đến việc tìm giới hạn dạng ở đó y = f(x) là một hàm số đã cho.

Giới hạn trên dẫn đến một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là khái niệm đạo hàm.

2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và điểm ∈ (a, b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm . kí hiệu bởi f'() (hoặc y'(), tức là .

Chú ý. Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm ∈ (a, b), ta thực hiện theo các bước sau:

1. Tính f(x) → f(

2. Lập và rút gọn tỉ số với x ∈ (a, b), x ≠ .

3. Tìm giới hạn .

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = + 2x tại điểm

Giải

Ta có: f(x) - f(1) = + 2x - 3 = - 1 + 2x - 2 = (x - 1)(x + 3).

Với x ≠ 1, .

Tính giới hạn: .

Vậy f'(1)=4.

Trang 83

Trong thực hành, ta thường trình bày ngắn gọn như sau:

.

Chú ý. Đặt h = x − , khi đó đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm =1 có thể tính như sau:

.

Luyện tập 1. Tính đạo hàm của hàm số y = − + 2x + 1 tại điểm = -1.

3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG

HĐ3. Tính đạo hàm f'(

a) f(x) = c (c là hằng số)

b) f(x) = x.

Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của hàm số y = c, với c là hằng số.

Giải

Với bất kì, ta có:

Vậy hàm số y = c (với c là hằng số) có đạo hàm là hàm số y' = 2cx.

(c)' = 0; (x)' = 1; (c) = 2cx.

Chú ý. Nếu phương trình chuyển động của vật là s = f(t) thì v(t) = f'(t) là vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t.

Trang 84

Ví dụ 3. Giải bài toán trong tình huống mở đầu (bỏ qua sức cản của không khí và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Giải

Phương trình chuyển động rơi tự do của quả bóng là s = f(t) = g

Mặt khác, vì chiều cao của toà tháp là 461,3 m nên quả bóng sẽ chạm đất tại thời điểm với f()= 461,3. Từ đó, ta có:

  (giây).

Vậy vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất là

Luyện tập 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = +1;

b) y = kx + c (với k, c là các hằng số).

4. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM

a) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

HĐ4. Nhận biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và điểm ∈ (C). Xét điểm Q(x; f(x)) thay đổi trên (C) với Xa Xô
Là được gọi là một (H93), Tìm họ có góc kho
a) Đường thẳng đi qua hai điểm P. Q cát tuyến của đồ thị (C) (H.9.3). Tìm hệ
cát tuyến PQ.
Keo
của
b) Khi x → X, thì vị trí của điểm Q(x; f(x)) trên đồ thị (C) thay đổi như thế nào?
c) Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà ko có giới hạn hữu hạn k thì có nhận xét gì về vị trí giới hạn của cát tuyến QP?
f(x)
f(x)
Hình 9,3
Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm (x, y,) và (X,Y), với Xu # Xu, là
X2-X1
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm P(Xoi f ( X, )) là đường thẳng đi qua p với hệ số góc k = lim f(x)−f(X)) nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn, nghĩa là k=f(x).
X-Xo
Điểm P gọi là tiếp điểm.