Bài 21: Phương Trình, Bất Phương Trình Mũ Và Lôgarit | Toán tập 2 | Chương VI: Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit - Lớp 11 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Trang 20

Giả sử giá trị còn lại (tính theo triệu đồng) của một chiếc xe ô tô sau t năm sử dụng được mô hình hoá bằng công thức:

V(t) = 780 - (0,905)

Hỏi nếu theo mô hình này, sau bao nhiêu năm sử dụng thì giá trị của chiếc xe đó còn lại không quá 300 triệu đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ

HĐ1. Nhận biết nghiệm của phương trình mũ

Xét phương trình:

a) Khi viết thành luỹ thừa của 2 thì phương trình trên trở thành phương trình nào?

b) So sánh số mũ của 2 ở hai vế của phương trình nhận được ở câu a để tìm x.

Phương trình mũ cơ bản có dạng = b (với 0 < a ≠ 1). - Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = b - Nếu b ≤ 0 thì phương trình vô nghiệm.

Minh hoạ bằng đồ thị:

Hình 6.5

Chú ý. Phương pháp giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số:

Nếu 0 < a ≠ 1 thì = ⇔ u = v.

Trang 21

Ví dụ 1. Giải phương trình: .

Giải

Đưa vees phải về cơ số 3, ta có .

Từ đó phương trình trở thành

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.

Ví dụ 2. Giải phương trình: = 2 022.

Giải

Lấy lôgarit thập phân hai vế của phương trình ta được x −1=log 2 022 hay x = 1 + log 2 022.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 + log 2 022.

Luyện tập 1. Giải các phương trình sau:

a) ;

b) .

2. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

HĐ2. Nhận biết nghiệm của phương trình lôgarit

Xét phương trình: .

a) Từ phương trình trên, hãy tính

b) Từ kết quả ở câu a và sử dụng định nghĩa lôgarit, hãy tìm x.

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng (0 < a ≠ 1) Phương trình lôgarit cơ bản có nghiệm duy nhất x = .

Minh hoạ bằng đồ thị:

Hình 6.6

Chú ý. Phương pháp giải phương trình lôgarit bằng cách đưa về cùng cơ số:

Nếu u, v > 0 và 0 < a ≠ 1 thì

Trang 22

Ví dụ 3. Giải phương trình: 4 + 3log(2x) = 16.

Giải

Điều kiện: 2x > 0 hay x > 0.

Phương trình trở thành log(2x) = 4. Từ đó 2x = hay x = 5 000 (thoả mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 5 000.

Ví dụ 4. Giải phương trình: .

Giải

Điều kiện: x + 1 > 0 và − 1 > 0, tức là x > 1.

Phương trình trở thành x + 1 = – 1 hay

Từ đó tìm được x = −1 và x = 2, nhưng chỉ có nghiệm x = 2 thoả mãn điều kiện.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.

Luyện tập 2. Giải các phương trình sau:

a) 4 - log(3 - x) = 3;

b) .

3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

HĐ3. Nhận biết nghiệm của bất phương trình mũ

Cho đồ thị của các hàm số y = và y = 4 như Hình 6.7. Tìm khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số y = nằm phía trên đường thẳng y = 4 và từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình > 4. 

Hình 6.7

• Bất phương trình mũ cơ bản có dạng > b (hoặc ≥ b, < b, ≤ b) với a > 0, a = 1. • Xét bất phương trình dạng > b - Nếu b ≤ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là R. - Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với > . Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > . Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x < .

Chú ý

a) Các bắt phương trình mũ cơ bản còn lại được giải tương tự.

b) Nếu a > 1 thì

Nếu 0 < a < 1 thì > ⇔ u < v.

Trang 23

Ví dụ 5. Giải bất phương trình: .

Giải

Ta có:

Ví dụ 6. Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Giải

Ta cần tìm t sao cho

V(t) < 300 ⇔ 780 · (0,905) ≤ 300 ⇔ (0,905) ≤

Vậy sau khoảng 10 năm sử dụng, giá trị của chiếc xe đó còn lại không quá 300 triệu đồng.

Luyện tập 3. Giải các bất phương trình sau:

a) ≤ ;

b) 3 · ≤ 1.

4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

HĐ4. Nhận biết nghiệm của bất phương trình lôgarit

Cho đồ thị của các hàm số

Hình 6.8

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng ( hoặc , , ) với a > 0, a ≠ 1. • Xét bất phương trình dạng log, :  – Nếu a > 1 thì nghiệm của bất phương trình là x > . – Nếu 0 < a < 1 thì nghiệm của bất phương trình là 0 < x < .

Chú ý

a) Các bất phương trình lôgarit cơ bản còn lại được giải tương tự.

b) Nếu a > 1 thì > ⇔ u > v > 0.

Nếu 0 < a < 1 thì > ⇔ 0 < u < v.

Ví dụ 7. Giải bất phương trình:

Giải

Điều kiện: x > .

Vì cơ số 0,3 < 1 nên bắt phương trình trở thành x + 1 ≥ 2x − 1, từ đó tìm được x ≤ 2.

Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là <
<X
2

Trang 24