Bài 22: Hai Đường Thẳng Vuông Góc | Toán tập 2 | Chương VII: Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian - Lớp 11 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Trang 27

Chương này, ta sẽ tìm hiểu về quan hệ vuông góc, góc, khoảng cách và thể tích trong Hình học không gian.

Đối với các nút giao thông cùng mức hay khác mức, để có thể dễ dàng bố trí các nhánh rẽ và đề người tham gia giao thông có góc nhìn đảm bảo an toàn, khi thiết kế người ta đều cố gắng để các tuyến đường tạo với nhau một góc đủ lớn và tốt nhất là góc vuông. Đối với nút giao thông cùng mức, tức là các đường giao nhau, thì góc giữa chúng là góc giữa hai đường thẳng mà ta đã biết. Còn đối với nút giao khác mức, tức là các đường chéo nhau, thì góc giữa chúng được hiểu như thế nào? Bài học này sẽ đề cập tới đối tượng toán học tương ứng.

Hình 7.1. Nút giao (khác mức) Trạm 2, Thủ Đức, Thành phố Hồ Chí Minh (Ảnh: vnexpress.net)

Trang 28

1. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

HĐt. Trong không gian, cho hai đường thẳng chéo nhau m và n. Từ hai điểm phân biệt O, O' tuỳ ý lần lượt kẻ các cặp đường thẳng a, b và a', b' tương ứng song song với m, n (H.7.2).

Hình 7.2

a) Mỗi cặp đường thẳng a, a' và b, b' có cùng thuộc một mặt phẳng hay không?

b) Lấy các điểm A, B (khác C) tương ứng thuộc a, b. Đường thẳng qua A song song với OO' cắt a' tại A, đường thẳng qua B song song với OO' cắt b' tại B'. Giải thích vì sao OAA'O', OBB'O', ABB'A' là các hình bình hành.

c) So sánh góc giữa hai đường thẳng a, b và góc giữa hai đường thẳng a', b'.

(Gợi ý: Áp dụng định lí côsin cho các tam giác OAB, O'A'B').

Chú ý

• Để xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, ta có thể lấy một điểm O thuộc đường thằng a và qua đó kẻ đường thằng b' song song với b. Khi đó (a, b)= (a, b').

• Với hai đường thẳng a, b bất kì: 0° < (a, b) < 90°.

Nếu a song song hoặc trùng với a và b song song hoặc trùng với b' thì (a, b) và (a', b') có mối quan hệ gì?

Ví dụ 1. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các mặt là các hình vuông. Tính các góc (AA', CD), (A'C', BD), (AC, DC').

Giải. (H.7.3)

Hình 7.3

VÌ CD // AB nên (AA', CD)= (AA', AB) = 90°. Tứ giác ACC'A' có các cặp cạnh đối bằng nhau nên nó là một hình bình hành. Do đó, A'C' // AC. Vậy (A'C', BD) =(AC, BD) = 90°.

Tương tự, DC' // AB'. Vậy (AC, DC) = (AC, AB'). Tam giác AB'C có ba cạnh bằng nhau (vì là các đường chéo của các hình vuông có độ dài cạnh bằng nhau) nên nó là một tam giác đều. Từ đó, (AC, DC') = (AC, AB') = 60°.

Trang 29

Vận dụng. Kim tự tháp Cheops là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập, được xây dựng vào thế kỉ thứ 26 trước Công nguyên và là một trong bảy kì quan của thế giới cổ đại. Kim tự tháp có dạng hình chóp với đây là hình vuông có cạnh dài khoảng 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài khoảng 219 m (kích thước hiện nay). (Theo britannica.com).

Hình 2.4

Tính (gần đúng) góc tạo bởi cạnh bên SC và cạnh đáy AB của kim tự tháp (H.7.4).

2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

HĐ2. Đối với hai cánh cửa trong Hình 7.5, tính góc giữa hai đường mép của BC và MN.

Hình 7.5

Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu a ⊥ b, nếu góc giữa chúng bằng 90°.

Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b thì a có vuông góc với các đường thẳng song song với b hay không?

Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (H.7.6).

Hình 7.6

a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng AC và B'D'.

b) Chứng minh rằng AC và B'D' vuông góc với nhau khi và chỉ khi ABCD là một hình thoi.

Giải

a) Hai đường thẳng AC và B'D' lần lượt thuộc hai mặt phẳng song song (ABCD) và (A'B'C'D') nên chúng không có điểm chung, tức là chúng không thể trùng nhau hoặc cắt nhau.

Tứ giác BDD'B' có hai cạnh đối BB' và DD' song song và bằng nhau nên nó là một hình bình hành. Do đó B'D' song song với BD. Mặt khác, BD không song song với AC nên B'D' không song song với AC.

Từ những điều trên suy ra AC và B'D' chéo nhau.

Trang 30

b) Do B'D' song song với BD nên (AC, B'D') = (AC, BD). Do đó, AC và B'D' vuông góc với nhau khi và chỉ khi AC và BD vuông góc với nhau. Do ABCD là hình bình hành nên AC vuông góc với BD khi và chỉ khi ABCD là hình thoi.

Luyện tập 1. Cho tam giác MNP vuông tại N và một điểm A nằm ngoài mặt phẳng (MNP). Lần lượt lấy các điểm B, C, D sao cho M, N, P tương ứng là trung điểm của AB, AC, CD (H.7.7). Chứng minh rằng AD và BC vuông góc với nhau và chéo nhau.

Hình 7.7

BÀI TẬP

7.1. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có các đây là các tam giác đều. Tính góc (AB, B'C').

7.2. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng tứ diện ACB'D' có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.

7.3. Cho tứ diện ABCD có  = 90°.

a) Gọi M, N tương ứng là trung điểm của AB, AD. Chứng minh rằng MN vuông góc với BC.

b) Gọi G, K tương ứng là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD. Chứng minh rằng GK vuông góc với BC.

7.4. Đối với nhà gỗ truyền thống, trong các cấu kiện hoành, quá giang, xà cái, rui, cột tương ứng được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 như trong Hình 7.8, những cặp cấu kiện nào vuông góc với nhau?

Hình 7.8