Bài 23: Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng | Toán tập 2 | Chương VII: Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian - Lớp 11 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Trang 31

Hình 7.9. Quảng trường mẫu nhiệm (Square of Miracles) ở Pisa, Toscana, Italy

Hầu hết các công trình kiến trúc đều được xây dựng theo phương thẳng đứng để có thể vững chãi, mặc dù vậy, cũng có những công trình có phương nghiêng. Nếu đứng tại Quảng trường Pisa bằng mắt thường, cảm nhận rằng tháp cùng phải trong hình là nghiêng và các công trình còn lại đều thắng đúng.

Sau bài học, ta có thể diễn giải chính xác và bản chất hơn về điều này.

1. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

HĐ1. Đối với cánh cửa như trong Hình 7.10, khi đóng – mở cảnh cửa, ta coi mép dưới BC của cánh cửa luôn sát sản nhà (khe hở không đáng kể).

Hình 7.10

a) Từ quan sát trên, hãy giải thích vì sao đường thẳng AB vuông góc với mọi đường thẳng đi qua B trên sản nhà.

b) Giải thích vì sao đường thẳng AB vuông góc với mọi đường thẳng trên sàn nhà.

Trang 32

Chú ý. Khi Δ vuông góc với (P), ta còn nói (P) vuông góc với Δ hoặc Δ và (P) vuông góc với nhau, kí hiệu Δ ⊥ (P).

Nếu đường thẳng Δ và mặt phẳng (P) vuông góc với nhau thì chúng có cắt nhau hay không?

HĐ2. Gấp tấm bìa cứng hình chữ nhật sao cho nếp gấp chia tấm bìa thành hai hình chữ nhật, sau đó đặt nó lên mặt bàn như Hình 7.11.

Hình 7.11

a) Bằng cách trên, ta tạo được đường thẳng AB vuông góc với hai đường thẳng nào thuộc mặt bàn ?

b) Trên mặt bàn, qua điểm A kẻ một đường thẳng a tuỳ ý. Dùng ê ke, hãy kiểm tra trên mô hình xem AB có vuông góc với a hay không.

Người ta chứng minh được rằng:

Hình 7.12

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và cạnh SA vuông góc với các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng BC ⊥ (SAB).

Giải. (H.7.13)

Hình 7.13

Vì SA vuông góc với hai đường thẳng AB và AC nên SA ⊥ (ABC). Suy ra SA ⊥ BC.

Tam giác ABC vuông tại B nên BC ⊥ BA.

Vì BC vuông góc với hai đường thẳng SA và BA nên BC ⊥ (SAB).

Luyện tập 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, SA = SC và SB = SD (H.7.14). Chứng minh rằng SO ⊥ (ABCD).

Hình 7.14

Trang 33

Vận dụng. Khi làm cột treo quần áo, ta có thể tạo hai thanh đế thẳng đặt dưới sàn nhà và dựng cột treo vuông góc với hai thanh để đó (H.7.15). Hãy giải thích vì sao bằng cách đó ta có được cột treo vuông góc với sàn nhà.

Hình 7.15

2. TÍNH CHẤT

HĐ3. Cho điểm O và đường thẳng Δ không đi qua O. Gọi d là đường thẳng đi qua O và song song với A. Xét hai mặt phẳng phân biệt tuỳ ý (P) và (Q) cùng chứa d. Trong các mặt phẳng (P), (Q) tương ứng kẻ các đường thẳng a, b cùng đi qua O và vuông góc với d (H.7.16). Giải thích vì sao mp(a, b) đi qua O và vuông góc với A.

Hình 7.16

Nhận xét. Nếu ba đường thẳng đối một phân biệt a, b, c cùng đi qua một điểm O và cùng vuông góc với một đường thẳng Δ thì ba đường thẳng đó cùng nằm trong mặt phẳng đi qua O và vuông góc với Δ (H7.17).

Hình 7.17

Ví dụ 2. Chứng minh rằng điểm M cách đều hai điểm phân biệt A, B cho trước khi và chỉ khi M thuộc mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB.

Giải. (H.7.18)

Hình 7.18

Gọi (α) là mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB. Ta có MA = MB khi và chỉ khi M trùng I hoặc tam giác MAB cân tại M. Mặt khác, ΔMAB cân tại M khi và chỉ khi MI ⊥ AB, tức là M thuộc mặt phẳng (α). Do đó, MA = MB khi và chỉ khi M thuộc (α).

Chú ý. Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp các điểm cách đều hai điểm A, B.

Trang 34

HĐ4. Cho mặt phẳng (P) và điểm O. Trong mặt phẳng (P), lấy hai đường thẳng cắt nhau a, b tuỳ ý. Gọi (α), (β) là các mặt phẳng qua O và tương ứng vuông góc với a, b (H.7.19).

Hình 7.19

a) Giải thích vì sao hai mặt phẳng (α), (β) cắt nhau theo một đường thẳng đi qua O.

b) Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa Δ và (P).

Luyện tập 2. Cho ba điểm phân biệt A, B, C sao cho các đường thẳng AB và AC cùng vuông góc với một mặt phẳng (P). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Ví dụ 3. Cho điểm A nằm ngoài mặt phẳng (P). Giải thích vì sao có duy nhất điểm H thuộc (P) sao cho đường thẳng AH vuông góc với (P).

Giải

Gọi a là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P). Lấy điểm H thuộc (P). Khi đó, đường thẳng AH vuông góc với (P) khi và chỉ khi AH trùng với a, tức là H là giao điểm của a và (P). Vậy có duy nhất điểm H thuộc (P) để AH vuông góc với (P), đó là giao điểm của a với (P).

3. LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Nội dung của mục này nhằm củng cố kiến thức và kĩ năng đã học ở hai mục trên. Ngoài ra, từ đó có thể rút ra các tính chất về mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

HĐ5. Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và song song với đường thẳng b. Lấy một đường thẳng m bất kì thuộc mặt phẳng (P). Tính (b, m) và từ đó rút ra mối quan hệ giữa b và (P).

Hình 7.20

HĐ6. Cho hai đường thẳng phân biệt a và b cùng vuông góc với mặt phẳng (P). Xét O là một điểm thuộc a nhưng không thuộc b. Gọi c là đường thẳng qua O và song song với b.

a) Hỏi c có vuông góc với (P) hay không? Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa a và c.

b) Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng a và b.

Hình 7.21

Trang 35

Ví dụ 4. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC tương ứng vuông góc với nhau. Gọi M, N tương ứng là trọng tâm của các tam giác ABC, OBC. Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng (OBC).

Giải. (H.7.22)

Hình 7.22

Vì AO vuông góc với các đường thẳng OB, OC nên AO ⊥ (OBC). Kẻ các đường trung tuyến AD, OD tương ứng của các tam giác ABC, OBC.

Ta có . Do đó, MN song song với AO.

Mặt khác, AO ⊥ (OBC) nên MN ⊥ (OBC).

HĐ7. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và đường thẳng Δ vuông góc với (P). Gọi b là một đường thằng bất kì thuộc (Q). Lấy một đường thẳng a thuộc (P) sao cho a song song với b (H.7.23). So sánh (Δ, b) và (Δ, a). Từ đó rút ra mỗi quan hệ giữa Δ và (Q).

Hình 7.23

HĐ8. Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) cùng vuông góc với đường thẳng Δ. Xét O là một điểm thuộc mặt phẳng (P) nhưng không thuộc mặt phẳng (Q). Gọi (R) là mặt phẳng đi qua O và song song với (Q) (H.7.24).

Hình 7.24

a) Hỏi (R) có vuông góc với Δ hay không ? Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa (P) và (R).

b) Nêu vị trí tương đối giữa (P) và (Q).

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC. Các điểm M, N, P tương ứng là trung điểm của SA, SB, SC. Đường thẳng qua S vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cắt mặt phẳng đó tại H. Chứng minh rằng SH ⊥ (MNP).

Giải. (H.7.25)

Hình 7.25

Do MN // AB, MP // AC nên (MNP) // (ABC). Mặt khác, SH ⊥ (ABC). Do đó SH ⊥ (MNP).

Luyện tập 2. Một chiếc bàn có các chân cùng vuông góc với mặt phẳng chứa mặt bàn và mặt phẳng chứa mặt sàn. Hỏi hai mặt phẳng đó có song song với nhau hay không? Vì sao?

HĐ9. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (P). Tính (Δ, a)

Trang 36

HĐ10. Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) cùng vuông góc với một đường thẳng Δ

a) Qua một điểm O thuộc (P), kẻ đường thẳng a' song song với a. Nêu vị trí tương đối giữa a' và (P).

b) Nêu vị trí tương đối giữa a và (P).

Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N tương ứng là trung điểm của SB, BC. Chứng minh rằng BD ⊥ MN.

Giải. (H.7.26)

Hình 7.26

Do SA ⊥ (ABCD) nên BD ⊥ SA. Mặt khác, BD ⊥ AC nên BD ⊥ (SAC). Ta lại có MN // SC nên MN // (SAC). Do đó BD ⊥ MN.

Luyện tập 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Kẻ AH vuông góc với SC (H thuộc SC), BM vuông góc với SC (M thuộc SC). Chứng minh rằng SC ⊥ (MBD) và AH // (MBD).

BÀI TẬP

7.5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A và SA ⊥ (ABC). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

a) BC ⊥ (SAM);

b) Tam giác SBC cân tại S. 

7.6. Cho hình chóp S.ABCD có đây ABCD là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD).

Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông.

7.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N tương ứng là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh rằng: AM ⊥ (SBC), AN ⊥ (SCD), SC ⊥ (AMN).

7.8. Bạn Vĩnh thả quả dọi chìm vào thùng nước. Hỏi khi dây dại căng và mặt nước yên lặng thì đường thẳng chứa dây dọi có vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước trong thùng hay không ?

7.9. Một cột bóng rổ được dựng trên một sản phẳng. Bạn Hùng đo khoảng cách từ một điểm trên sân, cách chân cột 1 m đến một điểm trên cột, cách chân cột 1 m được kết quả là 1,5 m (H.7.27). Nếu phép đo của Hùng là chính xác thì cột có vuông góc với sân hay không? Có thể kết luận rằng cột không có phương thẳng đứng hay không?

Hình 7.27

Trang 37

Em có biết?

Phương thẳng đứng là phương đi qua tâm Trái Đất. Để xác định phương thẳng đứng đi qua một điểm, người ta thường dùng cách thả dây dọi từ điểm đó (H.7.28). Do quả dại chịu lực hút hưởng về tâm Trái Đất nên đường thẳng chứa dây dọi khi đó chính là phương thẳng đứng cần xác định.

Hình 7.28

Trong xây dựng, để có thể vững chãi, các công trình kiến trúc thường được thiết kế với chiều cao có phương thẳng đứng. Trong khi xây, người thợ thường dùng dây dọi để đảm bảo các bức tường chứa phương thẳng đứng. Đặc biệt, đường giao nhau của hai bức tường có phương thẳng đứng (H.7.28).

Nếu công trình kiến trúc không thẳng đứng thì ta nói nó nghiêng, chẳng hạn tháp Pisa ở Italy là nghiêng và thường được gọi là Tháp nghiêng Pisa.

Mặt phẳng nằm ngang tại một điểm là mặt phẳng vuông góc với phương thẳng đứng tại điểm đó. Phương nằm ngang tại một điểm là phương đi qua điểm đó và thuộc mặt phẳng nằm ngang tại đó.

Mặt nước (trong chậu, trong hồ,... ) lúc yên lặng là một mặt phẳng nằm ngang. Dựa vào nguyên tắc binh thông nhau, trong thực tế người ta thường dùng ống nhựa mềm chứa nước bên trong đề xác định phương nằm ngang: Đường thẳng nối hai điểm A, B có phương nằm ngang khi có thể điều chỉnh hai đầu dây đề mực nước trong hai đầu của dây tương ứng ở hai vị trí A và B (H.7.29).

Hình 7.29

Khi công trình kiến trúc được xây dựng trên một mặt phẳng nằm ngang thì bằng mắt thường ta có thể cảm nhận được tương đối chính xác công trình đó là đứng hay nghiêng. Tuy vậy, nếu công trình được xây dựng trên một nền không có phương nằm ngang thì việc nhận biết bằng mắt thường sẽ khó khăn hơn.

Sàn nhà thường được thiết kế có phương nằm ngang. Tuy vậy, cũng có một số ngoại lệ, chẳng hạn, để dễ dàng thoát nước, sàn nhà tắm, sân,... thường được làm nghiêng.

Hình 7.30. Mặc dù nằm trên dốc núi, các ruộng bậc thang đều được thiết kế theo các mặt phẳng nằm ngang nhằm giữ nước.

Hình 7.31. Các cây cột đèn có phương thẳng đứng nên không vuông góc với mặt dốc. (Ảnh: Công an Thành phố Hồ Chí Minh)