Bài 32: Các Quy Tắc Tính Đạo Hàm | Toán tập 2 | Chương IX: Đạo Hàm - Lớp 11 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Trang  88

Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu

trong đó là vận tốc ban đầu của vật, g = 9,8 m/ là gia tốc rơi tự do. Hãy tính vận tốc của vật khi nó đạt độ cao cực đại và khi nó chạm đất.

Hình 9.7

1. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

a) Đạo hàm của hàm số

(n ∈ N*}

HĐ1. Nhận biết đạo hàm của hàm số y = 

a) Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x bất kì.

b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số (n ∈ N*).

Hàm số (n ∈ N*) có đạo hàm trên R và .

b) Đạo hàm của hàm số

HĐ2. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số  tại điểm x>0.

Hàm số có đạo hàm trên khoảng (0;+∞) và .

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số

Giải

Với mọi x ∈ (0; +∞), ta có . Do đó và .

Trang 89

2. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG

HĐ3. Nhận biết quy tắc đạo hàm của tổng

a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số

b) So sánh: và

Giả sử các hàm số u = u (x), v = v (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Khi đó (u + v)' = u' + v'; (u - v)' = u' - v'; (uv)' = u'v + uv';   (v = v (x) ≠ 0).

Chú ý

• Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu có thể áp dụng cho tổng, hiệu của hai hay nhiều hàm số.

• Với k là một hằng số, ta có: (ku)' = ku'.

• Đạo hàm của hàm số nghịch đảo (v = v (x) ≠ 0).

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)

b) .

Giải

a) Ta có:

.

b) Với mọi x ≠ 1, ta có:

.

Ví dụ 3. Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Giải

Phương trình chuyển động của vật là .

Vận tốc của vật tại thời điểm t được cho bởi .

Vật đạt độ cao cực đại tại thời điểm

Vật chạm đất tại thời điểm , mà h() = 0 nên ta có:

⇔

Trang 90

Khi chạm đất, vận tốc của vật là .

Dấu âm của thể hiện độ cao của vật giảm với vận tốc 20 m/s (tức là chiều chuyển động của vật ngược với chiều dương đã chọn).

Luyện tập 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) ;

b)

3. ĐẠO HÀM CỦA HÃM SỐ HỢP

a) Khái niệm hàm số hợp

Diện tích của một chiếc đĩa kim loại hình tròn bán kính r được cho bởi S = π. Bán kính r thay đổi theo nhiệt độ t của chiếc đĩa, tức là r = r (t). Khi đó, diện tích của chiếc đĩa phụ thuộc nhiệt độ S = S (t) = π(r(t)). Ta nói S (t) là hàm số hợp của hàm S = πr với r = r (t).

Hình 9.8

Ví dụ 4. Biểu diễn hàm số

Giải

Hàm số là hàm số hợp của hàm số với u = 2x + 1. 

b) Đạo hàm của hàm số hợp

HĐ4. Nhận biết quy tắc đạo hàm của hàm số hợp

Cho các hàm số và u = x + 1.

a) Viết công thức của hàm số hợp y = (u (x))

b) Tính và so sánh: y' (x) và y' (u) · u' (x).

Nếu hàm số u = g (x) có đạo hàm   tại x  và hàm số y = f (u) có đạo hàm tại tại u thì hàm số hợp y = f (g (x)) có đạo hàm tại x là .

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm số

Giải

Đặt u = + 1 thì và , .

Trang 91

Theo công thức đạo hàm của hàm số hợp, ta có:

Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là .

Trong thực hành, ta thường trình bày ngắn gọn như sau:

.

Luyện tập 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (2x-3);

b)

4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

a) Đạo hàm của hàm số y = sin x

HĐ5. Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = sin x

a) Với h ≠ 0, biến đổi hiệu sin(x + h) - sin x thành tích.

b) Sử dụng đẳng thức giới hạn

Ví dụ 6. Tính đạo hàm của hàm số .

Giải

Ta có: .

Luyện tập 3. Tính đạo hàm của hàm số .

b) Đạo hàm của hàm số y = cos x

HĐ6. Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = cos x

Bằng cách viết y = cos x = , tính đạo hàm của hàm số y = cos x.

Ví dụ 7. Tính đạo hàm của hàm số

Giải

Ta có: .

Trang 92

Luyện tập 4. Tính đạo hàm của hàm số .

c) Đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x

HĐ7. Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x

a) Bằng cách viết (x ≠ + kπ, k ∈ Z), tính đạo hàm của hàm số y = tan x.

b) Sử dụng đẳng thức cot x = tan (

• Hàm số y = tan x có đạo hàm tại mọi x ≠ + kπ (k ∈ Z) và . • Hàm số y = cot x có đạo hàm tại mọi x ≠ kz (k ∈ Z) và . • Đối với các hàm số hợp y = tan u và y = cot u, với u = u (x), ta có ; (giả thiết tan u và cot u có nghĩa).

Ví dụ 8. Tính đạo hàm của hàm số .

Giải

Ta có: .

Luyện tập 5. Tính đạo hàm của hàm số

Vận dụng 1. Một vật chuyển độn có phương trình (m), với t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của vật khi t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

5. ĐẠO HÀM CỦA HÃM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

a) Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit

HĐ8. Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit

a) Sử dụng phép đổi biến

b) Với , tính ln y và tìm giới hạn của  .

c) Đặt t = e – 1. Tính x theo t và tìm giới hạn

Nhận xét. Ta có các giới hạn sau:

;

;

.

Trang 93

b) Đạo hàm của hàm số mũ

HD9. Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ

a) Sử dụng giới hạn và đẳng thức

b) Sử dụng đẳng thức (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số .

• Hàm số có đạo hàm trên R và ( )' = . Đối với hàm số hợp , với u = u (x), ta có: ()' = · u'. • Hàm số (0 < a ≠ 1) có đạo hàm trên R và ()' = Ina. Đối với hàm số hợp , với u = u (x), ta có: ()' = · u' · Ina.

Ví dụ 9. Tính đạo hàm của hàm số .

Giải

Ta có: .

Luyện tập 6. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) ;

b)

c) Đạo hàm của hàm số lôgarit

HĐ10. Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit

a) Sử dụng giới hạn

b) Sử dụng đẳng thức (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số .

• Hàm số y = In x có đạo hàm trên khoảng (0; +∞) và . Đối với hàm số hợp y = ln u, với u = u (x), ta có: . • Hàm số có đạo hàm trên khoảng (0; +∞) và . Đối với hàm số hợp , với u = u (x), ta có: .

Chú ý. Với x < 0, ta có: Inlxl = In (-x) và

, ∀x ≠ 0).

Trang 94

Ví dụ 10. Tính đạo hàm của hàm số .

Giải
=
(x2+1) 2x = x2+1
Vì +1 > 0 với mọi x nên hàm số xác định trên R. Ta có: .

Luyện tập 7. Tính đạo hàm của hàm số y = log

Vận dụng 2. Ta đã biết, độ pH của một dung dịch được xác định bởi pH = -log[H], ở đó [H] là nồng độ (mol) của ion hydrogen. Tính tốc độ thay đổi của pH đối với nồng độ [H

BẢNG ĐẠO HÀM

	(sin x)' = cos x (cos x)' = -sin x
	(sin u)' = u' · cos u (cos u)' = -u' · sin u

BÀI TẬP

9.6. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) ;

b) .

9.7. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 

a) ;

b)

9.8. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) ;

b) ;

c) ;

d) y = tan x + cot x.

9.9. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) ;

b)

9.10. Cho hàm số . Chứng minh rằng |f' (x) ≤ 6 với mọi x.

9.11. Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình h(t) = 100– 4,9t, ở đó độ cao h so với mặt đất tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Tính vận tốc của vật:

a) Tại thời điểm t = 5 giây.

b) Khi vật chạm đất.

9.12. Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi s(t) = 12 + 0,5 sin (4πt), trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau t giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu?