Bài 25: Hai Mặt Phẳng Vuông Góc | Toán tập 2 | Chương VII: Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian - Lớp 11 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Trang 44

Ta có thể gắn cho mỗi vị trí trên Trái Đất một cặp số, được gọi là vĩ độ và kinh độ. Mỗi vị trí trên Trái Đất hoàn toàn xác định khi biết vĩ độ và kinh độ của nó. Sau bài học này, ta có thể hiểu và diễn đạt chính xác các khái niệm đó.

1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

HĐ1. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy hai đường thẳng a, a' cùng vuông góc với (P), hai đường thẳng b, b' cùng vuông góc với (Q). Tìm mối quan hệ giữa các góc (a, b) và (a', b').

Hình 7.44

Chú ý. Nếu φ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì 0 ≤ φ ≤ 90°.

Góc giữa hai mặt phẳng bằng 0° khi nào, khác 0° khi nào?

Trang 45

Ví dụ 1. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến Δ. Lấy một điểm O bắt ki thuộc đường thẳng Δ. Gọi m, n là các đường thẳng đi qua O, tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với Δ. Chứng minh rằng góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa m và n.

Giải. (H.7.45)

Hình 7.45

Trong mặt phẳng chứa m, n, lấy một điểm E không thuộc các đường thẳng m, n. Gọi A, B tương ứng là hình chiếu của E trên m, n. Khi đó Δ vuông góc với các đường thẳng EA, EB.

Do EA ⊥ m, EA ⊥ Δ nên EA ⊥ (P). Tương tự, EB ⊥ (Q). Do đó, góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa EA và EB.

Do = 90° = nên bốn điểm O, A, E, B thuộc một đường tròn. Do đó,

Nhận xét. (H.7.46) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến Δ. Lấy hai đường thẳng m, n tương ứng thuộc (P), (Q) và cùng vuông góc với Δ tại một điểm O (nói cách khác, lấy một mặt phẳng vuông góc với Δ, cắt (P), (Q) tương ứng theo các giao tuyến m, n). Khi đó, góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa m và n. Đặc biệt, (P) vuông góc với (Q) khi và chỉ khi m vuông góc với n.

Hình 7.46

Luyện tập 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình chữ nhật có tâm O, SO ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau khi và chỉ khi ABCD là một hình vuông. 

2. ĐIỀU KIỆN HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

HĐ2. Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (Q). Lấy một đường thằng a vuông góc với (P) (H.7.47).

Hình 7.47

a) Tính góc giữa a và b.

b) Tính góc giữa (P) và (Q).

Ví dụ 2. Cho tứ diện OABC có OA vuông góc với OB và OC. Chứng minh rằng các mặt phẳng (OAB) và (OAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (OBC).

Giải

Do OA vuông góc với OB và OC nên OA ⊥ (OBC). Mặt khác, các mặt phẳng (OAB), (OAC) chứa OA. Do đó chúng cùng vuông góc với mặt phẳng (OBC).

Trang 46

Luyện tập 2. Trong HĐ1 của Bài 23, ta đã nhận ra rằng đường thẳng nối các bản lề của của phòng vuông góc với sàn nhà. Hãy giải thích vì sao trong quá trình đóng – mở, cánh cửa luôn vuông góc với sàn nhà.

3. TÍNH CHẤT HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

HĐ3. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Kẻ đường thẳng a thuộc (P) và vuông góc với giao tuyến A của (P) và (Q). Gọi O là giao điểm của a và Δ. Trong mặt phẳng (Q), gọi b là đường thẳng vuông góc với Δ tại O.

a) Tính góc giữa a và b.

b) Tìm mối quan hệ giữa a và (Q).

Hình 7.48

Nhận xét. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Mỗi đường thẳng qua điểm O thuộc (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q) thì đường thẳng đó thuộc mặt phẳng (P).

HĐ4. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến a và cùng vuông góc với mặt phẳng (R). Gọi O là một điểm thuộc a và a' là đường thẳng qua O và vuông góc với (R).

a) Hỏi a có nằm trong các mặt phẳng (P), (Q) hay không?

b) Tìm mối quan hệ giữa a và a'.

c) Tìm mối quan hệ giữa a và (R).

Hình 7.49

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD), GỌI B', C', D' tương ứng là hình chiếu của A trên SB, SC, SD. Chứng minh rằng:

a) (SBC) ⊥ (SAB), AB' ⊥ (SBC), AD' ⊥ (SCD).

b) Các điểm A, B', C', D' cũng thuộc một mặt phẳng.

Giải. (H.7.50)

a) Vì BC ⊥ SA và BC ⊥ AB nên BC ⊥ (SAB). Do đó, (SBC) ⊥ (SAB). Đường thẳng AB' thuộc (SAB) và vuông góc với SB nên AB' ⊥ (SBC). Tương tự AD' ⊥ (SCD).

b) Từ câu a ta có AB' ⊥ SC, AD' ⊥ SC. Các đường thẳng AB', AC, AD' cùng đi qua A và vuông góc với SC nên cùng thuộc một mặt phẳng. Do đó bốn điểm A', B', C' D' cùng thuộc một mặt phẳng.

Hình 7.50

Trang 47

Luyện tập 3. Với giả thiết như ở Ví dụ 3, chứng minh rằng:

a) Các mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) cùng vuông góc với (SAC).

b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (A'B'C'D') và (ABCD) là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AC.

4. GÓC NHỊ DIỆN

HĐ5. Một tài liệu hướng dẫn rằng đối với ghế bàn ăn, nên thiết kế lưng ghế tạo với mặt ghế một góc có số đo từ 100° đến 105°. Trong Hình 7.51, các tia Ox, Oy được vẽ tương ứng trên mặt ghế, lưng ghế đồng thời vuông góc với giao tuyến a của mặt ghế và lưng ghế.

a) Theo tài liệu nói trên, góc nào trong hình nền có số đo từ 100° đến 105°?

b) Nếu thiết kế theo hướng dẫn đó thì góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo từ bao nhiêu đến bao nhiêu đội

Hình 7.51

Hình 7.52

Mỗi đường thẳng a trong một mặt phẳng chia mặt phẳng thành hai phần, mỗi phần cùng với a là một nửa mặt phẳng bờ a.

Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc như diện IP. a, QJ, vẽ các tia Ox, Oy tương ứng
thuộc (P). (Q) và vuông góc với a. Góc xOy được gọi là một góc phẳng của góc nhị diện [P, a, Q] (gọi tắt là góc phẳng nhị diện). Số đo của góc xOy không phụ thuộc vào vị trí của O trên a, được gọi là số đo của góc nhị diện [P, a, Q]
Mặt phẳng chứa góc phẳng nhị diện xOy của [P, a, Q1 vuông góc với cạnh a.
Chú ý
Hình 7.53
• Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị từ 0° đến 180°. Góc nhị diện được gọi là vuông, nhọn, tù nếu nó có số đo tương ứng bằng, nhỏ hơn, lớn hơn 90.
• Đối với hai điểm M, N không thuộc đường thẳng a, ta kí hiệu [M, a, Mị là góc nhị diện có cạnh a và các mặt tương ứng chữa M, N.
• Hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành bốn góc nhị diện. Nếu một trong bốn góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì các góc nhị diện còn lại cũng là góc nhị diễn vuông.