Bài 25: Hai Mặt Phẳng Vuông Góc | Toán tập 2 | Chương VII: Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian - Lớp 11 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Trang 44

Ta có thể gắn cho mỗi vị trí trên Trái Đất một cặp số, được gọi là vĩ độ và kinh độ. Mỗi vị trí trên Trái Đất hoàn toàn xác định khi biết vĩ độ và kinh độ của nó. Sau bài học này, ta có thể hiểu và diễn đạt chính xác các khái niệm đó.

1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

HĐ1. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy hai đường thẳng a, a' cùng vuông góc với (P), hai đường thẳng b, b' cùng vuông góc với (Q). Tìm mối quan hệ giữa các góc (a, b) và (a', b').

Hình 7.44

Chú ý. Nếu φ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì 0 ≤ φ ≤ 90°.

Góc giữa hai mặt phẳng bằng 0° khi nào, khác 0° khi nào?

Trang 45

Ví dụ 1. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến Δ. Lấy một điểm O bắt ki thuộc đường thẳng Δ. Gọi m, n là các đường thẳng đi qua O, tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với Δ. Chứng minh rằng góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa m và n.

Giải. (H.7.45)

Hình 7.45

Trong mặt phẳng chứa m, n, lấy một điểm E không thuộc các đường thẳng m, n. Gọi A, B tương ứng là hình chiếu của E trên m, n. Khi đó Δ vuông góc với các đường thẳng EA, EB.

Do EA ⊥ m, EA ⊥ Δ nên EA ⊥ (P). Tương tự, EB ⊥ (Q). Do đó, góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa EA và EB.

Do = 90° = nên bốn điểm O, A, E, B thuộc một đường tròn. Do đó,

Nhận xét. (H.7.46) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến Δ. Lấy hai đường thẳng m, n tương ứng thuộc (P), (Q) và cùng vuông góc với Δ tại một điểm O (nói cách khác, lấy một mặt phẳng vuông góc với Δ, cắt (P), (Q) tương ứng theo các giao tuyến m, n). Khi đó, góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa m và n. Đặc biệt, (P) vuông góc với (Q) khi và chỉ khi m vuông góc với n.

Hình 7.46

Luyện tập 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình chữ nhật có tâm O, SO ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau khi và chỉ khi ABCD là một hình vuông. 

2. ĐIỀU KIỆN HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

HĐ2. Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (Q). Lấy một đường thằng a vuông góc với (P) (H.7.47).

Hình 7.47

a) Tính góc giữa a và b.

b) Tính góc giữa (P) và (Q).

Ví dụ 2. Cho tứ diện OABC có OA vuông góc với OB và OC. Chứng minh rằng các mặt phẳng (OAB) và (OAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (OBC).

Giải

Do OA vuông góc với OB và OC nên OA ⊥ (OBC). Mặt khác, các mặt phẳng (OAB), (OAC) chứa OA. Do đó chúng cùng vuông góc với mặt phẳng (OBC).

Trang 46

Luyện tập 2. Trong HĐ1 của Bài 23, ta đã nhận ra rằng đường thẳng nối các bản lề của của phòng vuông góc với sàn nhà. Hãy giải thích vì sao trong quá trình đóng – mở, cánh cửa luôn vuông góc với sàn nhà.

3. TÍNH CHẤT HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

HĐ3. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Kẻ đường thẳng a thuộc (P) và vuông góc với giao tuyến A của (P) và (Q). Gọi O là giao điểm của a và Δ. Trong mặt phẳng (Q), gọi b là đường thẳng vuông góc với Δ tại O.

a) Tính góc giữa a và b.

b) Tìm mối quan hệ giữa a và (Q).

Hình 7.48

Nhận xét. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Mỗi đường thẳng qua điểm O thuộc (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q) thì đường thẳng đó thuộc mặt phẳng (P).

HĐ4. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến a và cùng vuông góc với mặt phẳng (R). Gọi O là một điểm thuộc a và a' là đường thẳng qua O và vuông góc với (R).

a) Hỏi a có nằm trong các mặt phẳng (P), (Q) hay không?

b) Tìm mối quan hệ giữa a và a'.

c) Tìm mối quan hệ giữa a và (R).

Hình 7.49

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD), GỌI B', C', D' tương ứng là hình chiếu của A trên SB, SC, SD. Chứng minh rằng:

a) (SBC) ⊥ (SAB), AB' ⊥ (SBC), AD' ⊥ (SCD).

b) Các điểm A, B', C', D' cũng thuộc một mặt phẳng.

Giải. (H.7.50)

a) Vì BC ⊥ SA và BC ⊥ AB nên BC ⊥ (SAB). Do đó, (SBC) ⊥ (SAB). Đường thẳng AB' thuộc (SAB) và vuông góc với SB nên AB' ⊥ (SBC). Tương tự AD' ⊥ (SCD).

b) Từ câu a ta có AB' ⊥ SC, AD' ⊥ SC. Các đường thẳng AB', AC, AD' cùng đi qua A và vuông góc với SC nên cùng thuộc một mặt phẳng. Do đó bốn điểm A', B', C' D' cùng thuộc một mặt phẳng.

Hình 7.50

Trang 47

Luyện tập 3. Với giả thiết như ở Ví dụ 3, chứng minh rằng:

a) Các mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) cùng vuông góc với (SAC).

b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (A'B'C'D') và (ABCD) là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AC.

4. GÓC NHỊ DIỆN

HĐ5. Một tài liệu hướng dẫn rằng đối với ghế bàn ăn, nên thiết kế lưng ghế tạo với mặt ghế một góc có số đo từ 100° đến 105°. Trong Hình 7.51, các tia Ox, Oy được vẽ tương ứng trên mặt ghế, lưng ghế đồng thời vuông góc với giao tuyến a của mặt ghế và lưng ghế.

a) Theo tài liệu nói trên, góc nào trong hình nền có số đo từ 100° đến 105°?

b) Nếu thiết kế theo hướng dẫn đó thì góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo từ bao nhiêu đến bao nhiêu đội

Hình 7.51

Hình 7.52

Mỗi đường thẳng a trong một mặt phẳng chia mặt phẳng thành hai phần, mỗi phần cùng với a là một nửa mặt phẳng bờ a.

Hình 7.53

Mặt phẳng chứa góc phẳng nhị diện xOy của [P, a, Q] vuông góc với cạnh a.

Chú ý

• Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị từ 0° đến 180°. Góc nhị diện được gọi là vuông, nhọn, tù nếu nó có số đo tương ứng bằng, nhỏ hơn, lớn hơn 90°.

• Đối với hai điểm M, N không thuộc đường thẳng a, ta kí hiệu [M, a, N] là góc nhị diện có cạnh a và các mặt tương ứng chứa M, N.

• Hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành bốn góc nhị diện. Nếu một trong bốn góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì các góc nhị diện còn lại cũng là góc nhị diện vuông.

Trang 48

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a, AC = a, SA = a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình thoi ABCD và H là hình chiếu của O trên SC.

a) Tính số đo của các góc nhị diện [B, SA, D], [S, BD, A], [S, BD, C].

b) Chứng minh rằng BHD là một góc phẳng của góc nhị diện [B, SC, D].

Giải. (H.7.54)

Hình 7.54

a) Vì SA ⊥ (ABCD) nên AB và AD vuông góc với SA. Vậy  là một góc phẳng của góc nhị diện [B, SA, D]. Hình thoi ABCD có cạnh bằng a và AC = a nên các tam giác ABC, ACD đều. Do đó  = 120°. Vậy số đo của góc nhị diện [B, SA, D] bằng 120°. Vì BD ⊥ AC và BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAC). Vậy AC và SO vuông góc với BD. Suy ra

Tam giác SAO vuông tại A và có SA = a = AO nên = 45°. Suy ra = 180 –

b) Theo chứng minh trên, BD ⊥ (SAC) nên BD ⊥ SC. Mặt khác, OH ⊥ SC nên SC ⊥ (BOD). Do đó, BHD là một góc phẳng của góc nhị diện [B, SC, D].

Luyện tập 4. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB = AC = a, = 120°, . Gọi M là trung điểm của BC. 

Hình 7.55

a) Chứng minh rằng SMA là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].

b) Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].

Vận dụng 1. Trong cửa sổ ở Hình 7.56, cảnh và khung cửa là các nửa hình tròn có đường kính 80 cm, bản lề được định ở điểm chính giữa O của các cung tròn khung và cánh cửa. Khi cửa mở, đường kinh của khung và đường kinh của cánh song song với nhau và cách nhau một khoảng dị khi cửa đóng, hai đường kính đó trùng nhau. Hãy tính số đo của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa khi d = 40 cm.

Hình 7.56

Trở lại vấn đề được nêu ở đầu bài học. Trên Trái Đất, mỗi kinh tuyến là một nửa đường tròn có đường kính là trục của Trái Đất (đoạn thẳng nổi cực Bắc và cực Nam). Kinh tuyến gốc là kinh tuyến đi qua Đài Thiên văn Greeanwich ở London. Mặt phẳng chứa kinh tuyến gốc chia Trái Đất làm hai nửa là Đông và Tây, nước ta nằm ở nửa Đông. Kinh độ của một điểm P trên Trái Đất là số đo của

Trang 49

góc nhị diện có hai cạnh tương ứng chứa kinh tuyến gốc và kinh tuyến đi qua P (cạnh của góc nhị diện này là trục Trái Đất). Do đó, các điểm trên cùng kinh tuyến thì có cùng kinh độ. Vĩ độ của điểm P là số đo của góc giữa mặt phẳng chứa đường xích đạo và đường thẳng nối P với tâm Trái Đất. Mỗi điểm trên Trái Đất sẽ thuộc một trong hai bán cầu Bắc hoặc Nam và thuộc nửa Đông hay nửa Tây. Vì vậy, đi kèm số đo vĩ độ còn có chữ E hoặc W nếu vị trí đó tương ứng thuộc nửa Đông, nửa Tây, và có chữ N, S nếu vị trí đó tương ứng ở bán cầu Bắc, bán cầu Nam. Chẳng hạn, Bia Chủ quyền đảo Song Tử Tây thuộc xã Song Tử Tây, huyện Hoàng Sa, tỉnh Khánh Hoà, có vị trí: 11°25'55"N,114°8'00"E, (Theo baokhanhhoa.vn).

Kinh tuyến gốc

Xích đạo

Hình 7.57

5. MỘT SỐ HÌNH LĂNG TRỤ ĐẶC BIỆT

Trong chương IV, ta đã biết khái niệm hình lăng trụ. Với các kiến thức về quan hệ vuông góc, ta có thể định nghĩa một số hình lăng trụ đặc biệt sau đây.

a) Hình lăng trụ đứng

Hình 7.58

HĐ4. Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình gì và các mặt bên đó có vuông góc với mặt đáy không? Vì sao?

b) Hình lăng trụ đều

Hình 7.59

HĐ7. Các mặt bên của hình lăng trụ đều có phải là các hình chữ nhật có cùng kích thước hay không? Vì sao?

c) Hình hộp đứng

Hình 7.60

HĐ8. Trong 6 mặt của hình hộp đứng, có ít nhất bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao?

d) Hình hộp chữ nhật

Hình 7.61

Trang 50

HĐ9

a) Hình hộp chữ nhật có bao nhiều mặt là hình chữ nhật? Vì sao?

b) Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường hay không? Vì sao?

Ví dụ 5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng AA’C'C là một hình chữ nhật.

Giải. (H.7.62)

Hình 7.62

Ta có AA' = CC' và AA' // CC' (Vì AA', CC' cùng bằng và cùng song song với DD'). Do đó ACC'A' là một hình bình hành.

Mặt khác, AA' ⊥ (A'B'C'D') nên AA' ⊥ A'C. Do đó ACC'A' là một hình chữ nhật.

e) Hình lập phương

Hình 7.63

HĐ10. Các mặt của một hình lập phương là các hình gì? Vì sao?

Chú ý. Khi đây của hình lăng trụ đứng (đều) là tam giác, tứ giác, ngũ giác... đôi khi ta cũng tương ứng gọi rõ là hình lăng trụ đứng (đều) tam giác, tứ giác, ngũ giác,...

Ví dụ 6. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng A'BD là tam giác đều.

Giải. (H.7.64)

Hình 7.64

Gọi a là độ dài các cạnh của hình lập phương. Do các mặt của hình lập phương là các hình vuông nên

;

;

Vận dụng 2. Từ một tấm tôn hình chữ nhật, tại 4 góc bác Hùng cắt bỏ đi 4 hình vuông có cùng kích thước và sau đó hàn gắn các mép tại các góc như Hình 7.65. Giải thích vì sao bằng cách đồ, bác Hùng nhận được chiếc thùng không nắp có dạng hình hộp chữ nhật.

Hình 7.65

Trang 51

6. HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU 

HĐ11. Tháp lớn tại Bảo tàng Louvre ở Paris (H.7.66) (với kết cấu kinh và kim loại) có dạng hình chóp với đây là hình vuông có cạnh bằng 34 m, các cạnh bên bằng nhau và có độ dài xấp xỉ 32,3 m (theo Wikipedia.org).

Giải thích vì sao hình chiếu của đình trên đây là tâm của đây tháp.

Hình 7.66

Chú ý. Tương tự như đối với hình chóp, khi đáy của hình chóp đều là tam giác đều, hinh vuông, ngũ giác đều... đôi khi ta cũng gọi rõ chúng tương ứng là chóp tam giác đều, tử giác đều, ngũ giác đều,...

HĐ12. Cho hình chóp . Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (

Hình 7.67

a) Trong trường hợp hình chóp đã cho là đều, vị trí của điểm O có gì đặc biệt đối với tam giác đều .

b) Nếu đa giác  là đều và O là tâm của đa giác đó thì hình chóp đã cho có gì đặc biệt?

Ví dụ 7. Chúng minh rằng một hình chóp là đều khi và chỉ khi đáy của nó là một đa giác đều và các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy các góc bằng nhau.

Giải. (H.7.68)

Hình 7.68

Xét hình chóp . Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy.

Giả sử hình chóp là đều, khi đó O là tâm của đa giác đều

,

Luyện tập 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng . Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].

Trang 52

HĐ13. Cho hình chóp đều . Một mặt phẳng không đi qua S và song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh , ,...

a) Giải thích vì sao  là một hình chóp đều.

b) Gọi H là tâm của đa giác

Hình 7.69

Hình 7.70

• Hình gồm các đa giác đều , và các hình thang cân , ,

Hình chóp cụt đều có các cạnh bên bằng nhau hay không?

Ví dụ 8. Cho hình chóp cụt đều ABC.A'B'C' có chiều cao bằng h, các đây là các tam giác đều ABC, A'B'C' có cạnh tương ứng là a, a' (a > a'). Tính độ dài các cạnh bên của hình chóp cụt.

Giải. (H.7.71)

Hình 7.71

Gọi H, H' tương ứng là tâm của các tam giác ABC, A'B'C'.

Khi đó, HH' vuông góc với hai đáy của hình chóp cụt.

Trong tam giác đều ABC, ta có

Trong tam giác đều A'BC, ta có .

Hình thang AHH'A' vuông tại H và H'. Kẻ A'M ⊥ HA (M ∈ HA).

Trang 53

Ta có .

Vậy các cạnh bên của chóp cụt có độ dài bằng .

BÀI TẬP

7.16. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Gọi H là hình chiếu của A trên BC.

a) Chứng minh rằng (SAB) ⊥ (ABC) và (SAH) ⊥ (SBC).

b) Giả sử tam giác ABC vuông tại A, = 30°, AC = a, SA =

7.17. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.

a) Tính độ dài đường chéo của hình lập phương.

b) Chứng minh rằng (ACC'A') ⊥ (BDD'B')

c) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Chứng minh rằng là một góc phẳng của góc nhị diện [C, BD, C']. Tinh (gần đúng) số đo của các góc nhị diện [C, BD, C] [A, BD, C'].

7.18. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'

a) Chứng minh rằng (BDD'B') ⊥ (ABCD)

b) Xác định hình chiếu của AC' trên mặt phẳng (ABCD).

c) Cho AB = a, BC = b, CC' = c. Tính AC'.

7.19. Cho hình chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b.

a) Tính sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.

b) Tinh tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên.

7.20. Hai mãi nhà trong Hình 7.72 là hai hình chữ nhật. Giả sử AB = 4,8m; OA = 2,8 m; OB = 4 m.

Hình 7.72

a) Tính (gần đúng) số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà.

b) Chứng minh rằng mặt phẳng (OAB) vuông góc với mặt đất phẳng. Lưu ý: Đường giao giữa hai mãi (đường nóc) song song với mặt đất.

c) Điểm A ở độ cao (so với mặt đất) hơn điểm B là 0,5 m. Tinh (gần đúng ) góc giữa mái nhà (chứa OB) so với mặt đất.

7.21. Độ dốc của mái nhà, mặt sân, con đường thẳng là tang của góc tạo bởi mái nhà mặt sân, con đường thẳng đó với mặt phẳng nằm ngang. Độ dốc của đường thẳng dành cho người khuyết tật được quy định là không quá . Hỏi theo đó, góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá bao nhiêu độ? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).