Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác | Giải bài tập Toán 11 Tập 1 | Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Lớp 11 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

1. Góc lượng giác

Mở đầu trang 5 Toán 11 Tập 1: Trạm vũ trụ Quốc tế ISS (tên Tiếng Anh: International Space Station) nằm trong quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất khoảng 400 km (H.1.1). Nếu trạm mặt đất theo dõi được trạm vũ trụ ISS khi nó nằm trong góc 45° ở tâm của quỹ đạo tròn này phía trên ăng-ten theo dõi, thì trạm vũ trụ ISS đã di chuyển được bao nhiêu kilômét trong khi nó đang được trạm mặt đất theo dõi? Giả sử rằng bán kính của Trái Đất là 6 400 km. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Hình 1.1

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Bán kính quỹ đạo của trạm vũ trụ quốc tế là R = 6 400 + 400 = 6 800 (km).

Đổi 

Vậy trong khi được trạm mặt đất theo dõi, trạm ISS đã di chuyển một quãng đường có độ dài là

HĐ1 trang 5 Toán 11 Tập 1: Nhận biết khái niệm góc lượng giác. Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2.

a) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay ngược chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?

b) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay của chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?

c) Có bao nhiêu cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12?

Lời giải:

Quan sát đồng hồ ta thấy một vòng tròn theo chiều quay của kim phút được chia thành 12 phần bằng nhau.

a) Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2, để nó chỉ đúng số 12 khi quay kim phút theo chiều quay ngược chiều kim đồng hồ thì ta phải quay kim phút từ vị trí số 2 đến vị trí số 12 theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, nghĩa là quay kim phút một khoảng bằng  vòng tròn.

b) Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2, để nó chỉ đúng số 12 khi quay kim phút theo chiều quay của chiều kim đồng hồ thì ta phải quay kim phút từ vị trí số 2 đến vị trí số 12 theo chiều quay của kim đồng hồ, nghĩa là quay kim phút một khoảng bằng

c) Có vô số cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12, đó là quay ngược chiều kim đồng hồ và quay theo chiều quay của kim đồng hồ theo từng số vòng nhất định.

Luyện tập 1 trang 7 Toán 11 Tập 1: Cho góc hình học = 45°. Xác định số đo của góc lượng giác (Ou, Ov) trong mỗi trường hợp sau:

Lời giải:

Ta có:

- Góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov, quay theo chiều dương có số đo là sđ(Ou, Ov) = 45°.

- Góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov, quay theo chiều âm có số đo là sđ(Ou, Ov) = – (360° – 45°) = – 315°. 

HĐ2 trang 7 Toán 11 Tập 1: Nhận biết hệ thức Chasles

Cho ba tia Ou, Ov, Ow với số đo của các góc hình học uOv và vOw lần lượt là 30° và 45°.

a) Xác định số đo của ba góc lượng giác (Ou, Ov), (Ov, Ow) và (Ou, Ow) được chỉ ra ở Hình 1.5.

b) Với các góc lượng giác ở câu a, chứng tỏ rằng có một số nguyên k để sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + k360°.

Lời giải:

a) Quan sát Hình 1.5 ta có:

sđ(Ou, Ov) = 30°;

sđ(Ov, Ow) = 45°;

sđ(Ou, Ow) = – (360° – 30° – 45°) = – 285°.

b)  Ta có: sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = 30° + 45° = 75°.

Lại có: – 285° + 1 . 360° = 75°.

Vậy tồn tại một số nguyên k = 1 để sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + k360°.

Luyện tập 2 trang 8 Toán 11 Tập 1: Cho một góc lượng giác (Ox, Ou) có số đo 240° và một góc lượng giác (Ox, Ov) có số đo – 270°. Tính số đo của các góc lượng giác (Ou, Ov).

Lời giải:

Số đo của các góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov là

sđ(Ou, Ov) = sđ(Ox, Ov) – sđ(Ox, Ou) + k360°

= – 270° – 240° + k360° = – 510° + k360°

= 210° – 720° + k360° = 210° + (k – 2)360°

= 210° + m360° (m = k – 2, m ∈ ℤ).

Vậy các góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là 210° + m360° (m ∈ ℤ).

2. Đơn vị đo góc và độ dài cũng tròn

Luyện tập 3 trang 9 Toán 11 Tập 1:

a) Đổi từ độ sang rađian các số đo sau: 360°; – 450°;

b) Đổi từ rađian sang độ các số đo sau: 3π;

Lời giải:

a) Ta có:

b) Ta có:

HĐ3 trang 9 Toán 11 Tập 1: Xây dựng công thức tính độ dài của cung tròn

Cho đường tròn bán kính R.

a) Độ dài của cung tròn có số đo bằng 1 rad là bao nhiêu?

b) Tính độ dài l của cung tròn có số đo α rad.

Lời giải:

a) Theo lí thuyết ta có cung tròn có số đo bằng 1 rad nếu độ dài của nó đúng bằng bán kính R. Do đó, độ dài của cung tròn có số đo bằng 1 rad là R.

b) Vì độ dài của cung tròn có đo bằng 1 rad là R nên độ dài của cung tròn có số đo α rad là l = Rα.

Vận dụng 1 trang 9 Toán 11 Tập 1: Một máy kéo nông nghiệp với bánh xe sau có đường kính là 184 cm, bánh xe trước có đường kính là 92 cm, xe chuyển động với vận tốc không đổi trên một đoạn đường thẳng. Biết rằng vận tốc của bánh xe sau trong chuyển động này là 80 vòng/phút.

a) Tính quãng đường đi được của máy kéo trong 10 phút.

b) Tính vận tốc của máy kéo (theo đơn vị km/giờ).

c) Tính vận tốc của bánh xe trước (theo đơn vị vòng/phút).

Lời giải:

a) Chu vi của bánh xe sau là: C_s = π . 184 (cm).

Khi đó, bánh xe sau đi mỗi vòng được quãng đường có độ dài là 184π (cm).

Trong 10 phút, bánh xe sau chuyển động được 80 . 10 = 800 (vòng).

Quãng đường đi được của máy kéo trong 10 phút hay chính là quãng đường đi được khi bánh xe sau lăn 800 vòng là 800 . 184π = 147 200π (cm) = 1,472π (km).

b) Ta có: 10 phút = 1/6 giờ

Vận tốc của máy kéo là

c) Chu vi của bánh xe trước là: C_t = π . 92 (cm).

Khi bánh xe sau lăn được 800 vòng trong 10 phút thì bánh xe trước lăn được số vòng là

Vận tốc của bánh xe trước trong chuyển động này là 1600/10 = 160 (vòng/phút).

3. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

HĐ4 trang 10 Toán 11 Tập 1: Nhận biết khái niệm đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 1. Chọn điểm gốc của đường tròn là giao điểm A(1; 0) của đường tròn với trục Ox. Ta quy ước chiều dương của đường tròn là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ.

a) Xác định điểm M trên đường tròn sao cho sđ(OA, OM) = 5π/4

b) Xác định điểm N trên đường tròn sao cho sđ(OA, ON) = -7π/4

Lời giải:

a) Ta có: sđ(OA, OM)

Điểm M trên đường tròn sao cho sđ(OA, OM) = 5π/4 được xác định như trên hình vẽ dưới đây:

b) Ta có: sđ(OA, ON)

Điểm N trên đường tròn sao cho sđ(OA, ON) = -7π/4 được xác định như trên hình vẽ dưới đây:

Luyện tập 4 trang 10 Toán 11 Tập 1: Xác định các điểm M và N trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác có số đo bằng -15π/4 và 420°.

Lời giải:

Ta có: , điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng

Ta có: 420° = 60° + 360°, điểm N trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng 420° được xác định trong hình dưới đây:

HĐ5 trang 11 Toán 11 Tập 1: Nhắc lại khái niệm các giá trị lượng giác sin α, cos α, tan α, cot α của góc α (0° ≤ α ≤ 180°) đã học ở lớp 10 (H.1.9a).

Lời giải:

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x0; y0) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Khi đó:

• sin của góc α là tung độ y0 của điểm M, kí hiệu là sin α

sin α = y₀. 

• côsin của góc α là hoành độ của x0 của điểm M, kí hiệu là cosα

cos α = x­₀.

• Khi α ≠ 90° (hay là x0 ≠ 0), tang của α là , kí hiệu là tan α

• Khi α ≠ 0° và α ≠ 180° (hay là y0 ≠ 0), côtang của α là , kí hiệu là cot α.

Luyện tập 5 trang 12 Toán 11 Tập 1: Cho góc lượng giác có số đo bằng

a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho.

b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.

Lời giải:

a) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng  được xác định trong hình sau:

b) Ta có:

Luyện tập 6 trang 13 Toán 11 Tập 1: Sử dụng máy tính cầm tay để:

a) Tính:

b) Đổi 179°23'30" sang rađian;

c) Đổi sang độ.

Lời giải:

Dùng máy tính cầm tay fx570 VN PLUS.

a) + Để tính ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện 0,222520934

Vậy

+ Để tính tan (– 37°25') ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện – 0,76501876

Vậy tan (– 37°25') ≈ – 0,76501876.

b) Đổi 179°23'30" sang rađian ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện 3,130975234

Vậy 179°23'30" ≈ 3,130975234 (rad).

 c) Đổi sang độ ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện 44°33'48,18"

Vậy

4. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

HĐ6 trang 13 Toán 11 Tập 1: Nhận biết các công thức lượng giác cơ bản

a) Dựa vào định nghĩa của sin α  và cos α, hãy tính sin² α + cos² α.

b) Sử dụng kết quả của HĐ6a và định nghĩa của tan α, hãy tính 1 + tan² α.

Lời giải:

a) Theo định nghĩa, ta có: sin α = y, cos α = x.

Do đó, sin² α + cos² α = (sin α)² + (cos α)² = y² + x².

Từ hình vẽ ta thấy x2 + y2 = R2 = 1 (theo định lí Pythagore và đường tròn đơn vị có bán kính R = 1).

Vậy sin² α + cos² α = 1.

b) Theo định nghĩa với

Do đó,

Vậy

Luyện tập 7 trang 14 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết: cos

Lời giải:

HĐ7 trang 14 Toán 11 Tập 1: Nhận biết mối liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc đối nhau

Xét hai điểm M, N trên đường tròn lượng giác xác định bởi hai góc đối nhau (H1.12a).

a) Có nhận xét gì về vị trí của hai điểm M, N đối với hệ trục Oxy. Từ đó rút ra liên hệ giữa: cos (– α) và cos α; sin (– α) và sin α.

b) Từ kết quả HĐ7a, rút ra liên hệ giữa: tan (– α) và tan α; cot (–α) và cot α.

Lời giải:

a) Giả sử M(x_M; y_M), N(x_N; y_N). 

Từ Hình 1.12a, ta thấy hai điểm M và N đối xứng với nhau qua trục hoành Ox, do đó ta có: x_M = x_N và y_M = – y_N.

Theo định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, ta lại có:

cos α = x_M và cos (– α) = x_N. Suy ra cos (– α) = cos α.

sin α = y_M và sin (– α) = y_N. Suy ra sin α = – sin (– α) hay sin (– α) = – sin α.

b) Ta có:

Vậy tan (– α) = – tan α; cot (– α) = – cot α.

Luyện tập 8 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính:

a) sin(– 675°);

b)

Lời giải:

Ta có:

Vận dụng 2 trang 16 Toán 11 Tập 1: Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp tâm trương (tức là áp lực máu lên thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm t được cho bởi công thức:

trong đó t là số giờ tính từ lúc nửa đêm và B(t) tính bằng mmHg (milimét thủy ngân). Tìm huyết áp tâm trương của người này vào các thời điểm sau:

a) 6 giờ sáng;

b) 10 giờ 30 phút sáng;

c) 12 giờ trưa;

d) 8 giờ tối.

Lời giải:

a) Thời điểm 6 giờ sáng, tức t = 6, khi đó

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 6 giờ sáng là 87 mmHg.

b) Thời điểm 10 giờ 30 phút sáng, tức t = 10,5, khi đó

82,68

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 10 giờ 30 phút sáng xấp xỉ 82,68 mmHg.

c) Thời điểm 12 giờ trưa, tức t = 12, khi đó

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 12 giờ trưa là 80 mmHg.

d) Thời điểm 8 giờ tối hay 20 giờ, tức t = 20, khi đó

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 8 giờ tối là mmHg.

Bài tập

Bài 1.1 trang 16 Toán 11 Tập 1: Hoàn thành bảng sau:

Lời giải:

Để hoàn thành bảng đã cho, ta thực hiện chuyển đổi từ độ sang rađian và từ rađian sang độ.

Ta có:

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

Bài 1.2 trang 16 Toán 11 Tập 1: Một đường tròn có bán kính 20 cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau:

a) π/12;

b) 1,5;

c) 35°;

d) 315°.

Lời giải:

a) Độ dài của cung tròn có số đo  trên đường tròn có bán kính R = 20 cm là

b) Độ dài của cung tròn có số đo 1,5 trên đường tròn có bán kính R = 20 cm là

c) Ta có:

Độ dài của cung tròn có số đo 35° trên đường tròn có bán kính R = 20 cm là

d) Ta có:

Độ dài của cung tròn có số đo 315° trên đường tròn có bán kính R = 20 cm là

Bài 1.3 trang 16 Toán 11 Tập 1: Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:

a)

b)

c) 150°;

d) – 225°.

Lời giải:

a) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng  được xác định trong hình sau:

b) Ta có:

Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng

c) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng 150° được xác định trong hình sau:

d) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng – 225° được xác định trong hình sau:

Bài 1.4 trang 16 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết:

a) Vì 0 < α <

Do đó,

b) Vì  nên cos α < 0. Mặt khác, từ sin² α + cos² α = 1 suy ra

Do đó,

c) Ta có:

Vì nên cos α < 0. Mặt khác, từ suy ra

Mà 

d) Ta có:

Vì  nên cos α > 0. Mặt khác, từ suy ra

Mà

Bài 1.5 trang 16 Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức:

Lời giải:

a) Áp dụng sin² α + cos² α = 1, suy ra sin² α = 1 – cos² α.

Ta có: VT = cos⁴ α – sin⁴ α = (cos² α)² – (sin² α)²

= (cos² α + sin² α)(cos² α – sin² α)

= 1 . (cos² α – sin² α)

= cos² α – (1 – cos² α)

= 2cos² α – 1 = VP (đpcm).

b) Áp dụng các hệ thức lượng giác cơ bản.

Bài 1.6 trang 16 Toán 11 Tập 1: Một người đi xe đạp với vận tốc không đổi, biết rằng bánh xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây.

a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.

b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính của bánh xe đạp là 680 mm.

Lời giải:

a) Trong 1 giây, bánh xe đạp quay được 11/5 vòng.

Vì một vòng ứng với góc bằng 360° nên góc mà bánh quay xe quay được trong 1 giây là

Vì một vòng ứng với góc bằng 2π nên góc mà bánh quay xe quay được trong 1 giây là

b) Ta có: 1 phút = 60 giây.

Trong 1 phút bánh xe quay được

Chu vi của bánh xe đạp là: C = 680π (mm).

Quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong một phút là

680π.132 = 89 760π (mm) = 89,76π (m).