Bài 5: Dãy số | Giải bài tập Toán 11 Tập 1 | Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân - Lớp 11 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Mở đầu trang 42 Toán 11 Tập 1: Năm 2020, số dân của một thành phố trực thuộc tỉnh là khoảng 500 nghìn người. Người ta ước tính rằng số dân của thành phố đó sẽ tăng trưởng với tốc độ khoảng 2% mỗi năm. Khi đó số dân Pn (nghìn người) của thành phố đó sau n năm, kể từ năm 2020, được tính bằng công thức Pn = 500(1 + 0,02)ⁿ. Hỏi nếu tăng trưởng theo quy luật như vậy thì vào năm 2030, số dân của thành phố đó là khoảng bao nhiêu nghìn người?

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Ta có: n = 2030 – 2020 = 10.

Vậy số dân của thành phố đó vào năm 2030 sẽ là

P10 = 500 . (1 + 0,02)¹⁰ ≈ 609 (nghìn người).

1. Định nghĩa dãy số

HĐ1 trang 42 Toán 11 Tập 1: Viết năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần. Từ đó, dự đoán công thức tính số chính phương thứ n.

Lời giải:

Năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần là: 0; 1; 4; 9; 16.

Số chính phương thứ nhất là u₁ = 0² = 0

Số chính phương thứ hai là u₂ = 1² = 1

Số chính phương thứ ba là u₃ = 2² = 4

Số chính phương thứ tư là u₄ = 3² = 9

Số chính phương thứ năm là u₅ = 4² = 16

Tiếp tục như trên, ta dự đoán được công thức tính số chính phương thứ n là u_n = (n – 1)² với n ∈ ℕ*.

HĐ2 trang 43 Toán 11 Tập 1:

a) Liệt kê tất cả các số chính phương nhỏ hơn 50 và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn.

b) Viết công thức số hạng un của các số tìm được ở câu a) và nêu rõ điều kiện của n.

Lời giải:

a) Các số chính phương nhỏ hơn 50 được sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49.

b) Ta có: un = (n – 1)² với n ∈ ℕ* và n ≤ 8.

Luyện tập 1 trang 43 Toán 11 Tập 1:

a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của dãy số.

b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn này.

Lời giải:

a) Xét số tự nhiên a khác 0, ta có a chia cho 5 dư 1, khi đó tồn tại số tự nhiên q khác 0 để a = 5q + 1.

Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số là u_n = 5n + 1 (n ∈ ℕ*).

b) Dãy gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a là: 6; 11; 16; 21; 26.

Số hạng đầu của dãy là u₁ = 6, số hạng cuối của dãy là u₅ = 26.

2. Các cách cho một dãy số

HĐ3 trang 43 Toán 11 Tập 1: Xét dãy số (un) gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...

a) Viết công thức số hạng tổng quát u_n của dãy số.

b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 của dãy số. Công thức thu được gọi là hệ thức truy hồi.

Lời giải:

a) Số hạng tổng quát của dãy số là u_n = 5n (n ∈ ℕ*).

b) Số hạng đầu của dãy số là u₁ = 5.

Công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 là u_n = u_n – 1 + 5 (n ∈ ℕ*, n > 1).

Luyện tập 2 trang 44 Toán 11 Tập 1:

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số (u_n ) với số hạng tổng quát u_n = n!.

b) Viết năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci (F_n) cho bởi hệ thức truy hồi

F₁ = 1, F₂ = 1
F_n = F_n-1 + F_n-2 (n ≥ 3)

Lời giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số (un) với số hạng tổng quát un = n! là

u₁ = 1! = 1;

u₂  = 2! = 2;

u₃ = 3! = 6;

u₄ = 4! = 24;

u₅ = 5! = 120.

b) Năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci (Fn) là

F₁ = 1;

F₂ = 1;

F₃ = F₂ + F₁ = 1 + 1 = 2;

F₄ = F₃ + F₂ = 2 + 1 = 3;

F₅ = F₄ + F₃ = 3 + 2 = 5.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm, và dãy số bị chặn

HĐ4 trang 45 Toán 11 Tập 1:

a) Xét dãy số (u_n) với u_n = 3n – 1. Tính u_n + 1 và so sánh với u_n.

b) Xét dãy số (v_n) với  

. Tính v_n+1 và so sánh với v_n.

Lời giải:

a) Ta có: u_n+1 = 3(n + 1) – 1 = 3n + 3 – 1 = 3n + 2

Xét hiệu u_n+1 – u_n ta có: u_n+1 – u_n = (3n + 2) – (3n – 1) = 3 > 0, tức là u_n+1 > u_n ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy u_n+1 > u_n ∀ n ∈ ℕ*.

b) Ta có:

Xét hiệu v_n+1 – v_n ta có:

Tức là v_n+1 < v_n , ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy v_n+1 < v_n ∀ n ∈ ℕ*.

Luyện tập 3 trang 45 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n), với

Lời giải:

Ta có:

Tức là u_n+1 < u_n, ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

HĐ5 trang 45 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với

a) So sánh u_n và 1.

b) So sánh u_n và 2.

Lời giải:

a) Ta có:

b) Ta có:

Do đó,

Luyện tập 4 trang 46 Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của dãy số (u_n), với u_n = 2n – 1.

Lời giải:

Ta có: u_n = 2n – 1 ≥ 1, ∀ n ∈ ℕ*.

Do đó, dãy số (u_n) bị chặn dưới.

Dãy số (u_n) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

u_n = 2n – 1 ≤ M với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

Vận dụng trang 46 Toán 11 Tập 1: Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đồng. Gọi s_n (triệu đồng) là lương vào năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có:

s₁ = 200, s_n = s_n-1  ­+ 25 với n ≥ 2.

a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty.

b) Chứng minh (s_n) là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.

Lời giải:

a) Ta có: s₂ = s₁ + 25 = 200 + 25 = 225

s₃ = s₂ + 25 = 225 + 25 = 250

s₄ = s₃ + 25 = 250 + 25 = 275

s₅ = s₄ + 25 = 275 + 25 = 300

Vậy lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty là 300 triệu đồng.

b) Ta có: s_n = s_n-1 + 25 ⇔ s_n – s_n-1 = 25 > 0 với mọi n ≥ 2, n ∈ ℕ*.

Tức là s_n > s_n-1 với mọi n ≥ 2, n ∈ ℕ*.

Vậy (s_n) là dãy số tăng. Điều này có nghĩa là mức lương hàng năm của anh Thanh tăng dần theo thời gian làm việc.