Bài 15: Giới hạn của dãy số | Giải bài tập Toán 11 Tập 1 | Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục - Lớp 11 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

HĐ1 trang 105 Toán 11 Tập 1: Nhận biết dãy số có giới hạn là 0

Cho dãy số (u_n­) với

a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.

b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01?

Lời giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số (un) đã cho là

Biểu diễn các số hạng này trên trục số, ta được:

b) Khoảng cách từ u_n đến 0 là

Ta có:

Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 của dãy thì khoảng cách từ u_n đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Luyện tập 1 trang 105 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng

Lời giải:

Xét dãy số (u_n) có

Ta có

HĐ2 trang 105 Toán 11 Tập 1: Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn

Cho dãy số (u_n) với . Xét dãy số (v_n) xác định bởi v_n = u_n – 1.

Tính

Lời giải:

Ta có:

Do đó,

Luyện tập 2 trang 106 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với . Chứng minh rằng

Lời giải:

Ta có:

Do vậy,

Vận dụng 1 trang 106 Toán 11 Tập 1: Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng 2/3 độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử un là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số (u_n) có giới hạn là 0.

Lời giải:

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn, sau lần chạm sàn đầu tiên, quả bỏng nảy lên một độ cao là

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₁ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₂ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là và cứ tiếp tục như vậy.

Sau lần chạm sàn thứ n, quả bóng nảy lên độ cao là

Ta có: , do đó, , suy ra điều phải chứng minh.

2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

HĐ3 trang 106 Toán 11 Tập 1: Hình thành quy tắc tính giới hạn

Cho hai dãy số (u_n) và (v_n) với

Tính và so sánh:

Lời giải:

Luyện tập 3 trang 107 Toán 11 Tập 1: Tìm

Lời giải:

Áp dụng các quy tắc tính giới hạn, ta được:

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

HĐ4 trang 107 Toán 11 Tập 1: Làm quen với việc tính tổng vô hạn

Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi u₁, u₂, ..., u_n, ... lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.

a) Tính tổng S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n.

b) Tìm

Lời giải:

a) Ta có: u₁ là độ dài cạnh của hình vuông được tô màu tạo từ việc chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, do đó

Cứ tiếp tục như thế, ta được:

Do vậy, độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội .

Do đó, tổng của n số hạng đầu là

b) Ta có:

Luyện tập 4 trang 108 Toán 11 Tập 1: Tính tổng

Lời giải: 

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 2 và q = 1/7.

Do đó,

Vận dụng 2 trang 108 Toán 11 Tập 1: (Giải thích nghịch lí Zeno)

Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu là a = 100 (km).

a) Tính thời gian t₁, t₂, ..., t_n, ... tương ứng để Achilles đi từ A₁ đến A₂, từ A₂ đến A₃, ... từ An đến A_{n + 1}, ...

b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường A₁A₂, A₂A₃, ..., A_n­A_{n + 1}, ..., tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa.

c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?

Lời giải:

Ta có: Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h.

a) Để chạy hết quãng đường từ A₁ đến A₂ với A₁A₂ = a = 100 (km), Achilles phải mất thời gian

Để chạy hết quãng đường từ A₂ đến A₃ với A₂A₃ = 1 (km), Achilles phải mất thời gian . Với thời gian t₂ này, rùa đã chạy được quãng đường A₃A₄ = 1/100 (km).

Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường từ A_n đến A_{n + 1} với , Achilles phải mất thời gian

 b) Tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường A₁A₂, A₂A₃, ..., A_­nA_{n + 1}, ..., tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa là 

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1, công bội , nên ta có

Như vậy, Achilles đuổi kịp rùa sau giờ.

c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là khoảng thời gian mà anh bắt kịp được rùa.

4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

HĐ5 trang 108 Toán 11 Tập 1: Nhận biết giới hạn vô cực

Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kì 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi.

a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn un sau chu kì thứ n.

b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000?

Lời giải:

a) Ta có số lượng ban đầu của vi khuẩn là u₀ = 50.

Sau chu kì thứ nhất, số lượng vi khuẩn là u₁ = 2u₀ = 2 . 50.

Sau chu kì thứ hai, số lượng vi khuẩn là u₂ = 2u₁ = 2 . 2 . 50 = 2² . 50.

Cứ tiếp tục như vậy, ta dự đoán được sau chu kì thứ n, số lượng vi khuẩn là u_n = 2ⁿ . 50.

b) Giả sử sau chu kì thứ k, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10000.

Khi đó ta có u_k = 2^k . 50 > 10 000 ⇔ 2^k > 200.

Luyện tập 5 trang 109 Toán 11 Tập 1: Tính

Lời giải:

Ta có: . Hơn nữa

Do đó,