Nội Dung Chính
(Trang 52)
| THUẬT NGỮ
| KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
|
| Trong kĩ thuật, người ta thường sử dụng các hình vẽ trên giấy để biểu diễn, mô tả các vật thể trong không gian (H.3.1). Toán học mô tả các hình vẽ đó như thế nào, và chúng có những đặc điểm gì? Em hãy cùng tìm hiểu qua bài học này. |
Hình 3.1. Hình về mô tả một chi tiết máy |
(Trang 53)
1. HÌNH CHIẾU BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH, KHỐI
>HĐ1. Hình 3.2 mô tả ba phép chiếu biến hình 
thành hình 
. Em đã biết những phép chiếu nào trong ba phép chiếu đó? Hãy nhắc lại khái niệm về các phép chiếu mà em đã học.
Hình 3.2
| Hình biểu diễn lên một mặt phẳng qua một phép chiếu. - Nếu phép chiếu là phép chiếu vuông góc thì - Nếu phép chiếu là phép chiếu song song (nhưng không là phép chiếu vuông góc) thì |
Phép chiếu còn lại trong Hình 3.2 được gọi là phép chiếu xuyên tâm và hình |
>Ví dụ 1. Quan sát Hình 3.3 và cho biết hình nào thể hiện hình chiếu vuông góc, hình nào thể hiện hình chiếu trục đo của tam giác ABC.
Hình 3.3
Giải
Trong Hình 3.3a các đường thẳng AA', BB', CC' đôi một song song và vuông góc với mặt phẳng chiếu. Do đó Hình 3.3a thể hiện hình chiếu vuông góc của tam giác ABC.
Trong Hình 3.3b và Hình 3.3c các đường thẳng AA', BB', CC' đôi một song song nhưng không vuông góc với mặt phẳng chiếu. Do đó Hình 3.3b và Hình 3.3c thể hiện hình chiếu trục đo của tam giác ABC.
(Trang 54)
>Luyện tập 1. Quan sát Hình 3.4 và cho biết hình nào thể hiện hình chiếu trục đo của tứ giác ABCD.
Hình 3.4
2. HÌNH CHIẾU ĐỨNG, HÌNH CHIẾU BẰNG VÀ HÌNH CHIẾU CẠNH
| >HĐ2. Quan sát Hình 3.5 và cho biết các hình A, B, C có phải là hình chiếu của hình qua các phép chiếu song song hoặc vuông góc hay không? Nêu có hãy chỉ rõ mặt phẳng chiếu và phương chiếu của mỗi phép chiếu đó. |
Hình 3.5 |
Hình 3.6
Mặt phẳng hình chiếu đứng
Mặt phằng hình chiếu cạnh
Mặt phẳng hình chiếu bằng
Hướng nhìn từ trên
Hướng nhìn từ trái
Hướng nhìn từ trước
(Trang 55)
| Cho hình và mặt phẳng (P3) vuông góc với hướng nhìn từ phía trái của hình (H.3.6). Khi đó: Các mặt phẳng (P1), (P2), (P3) lần lượt được gọi là mặt phẳng hình chiếu đứng, mặt phẳng hình chiếu bằng và mặt phẳng hình chiếu cạnh. Các hình chiếu vuông góc của hình H lên các mặt phẳng (P1), (P2), (P3) lần lượt được gọi là hình chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh của hình |
| >Ví dụ 2. Xác định hình chiếu vuông góc của hình (H.3.7a) trong các hình dưới đây. |
Trong vẽ kĩ thuật, người ta có thề sử dụng thêm các hướng nhìn từ sau ra trước, từ dưới lên trên và từ phải sang trái để nhận được thêm ba hình chiếu của vật thể, từ đó giúp hình dung vật thể rõ hơn. Tuy nhiên, hình chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh thường là đủ để mô tả vật thể. |
 |  |
Hình 3.7
| Giải Hình 3.7b là hình chiếu cạnh của hình |
Với hướng nhìn từ trước, em nhìn thấy những phần nào của vật thể? |
| >Luyện tập 2. Xác định hình chiếu vuông góc của hình (H.3.8a) trong các hình dưới đây. |  Hình 3.8 |
>Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD (H.3.9a). Xác định hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của hình chóp nếu chọn mặt phẳng hình chiếu đứng (P1) song song với mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng hình chiếu bằng (P2) song song với mặt phẳng (ABCD).
Giải
Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của hình chóp S.ABCD lần lượt được cho như trong Hình 3.9b và Hình 3.9c.
(Trang 56)
Hình 3.9
>Luyện tập 3. Thực hiện Ví dụ 2 khi mặt phẳng hình chiếu đứng (P1) song song với mặt phẳng (SBD), mặt phẳng hình chiếu bằng (P2) song song với mặt phẳng (ABCD).
Nhận xét. Trong Ví dụ 2 đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC) nên không vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng (P1). Do đó hình chiếu đứng của ba điểm này trùng nhau.
Một cách tổng quát, các hình chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh có các tính chất của hình chiếu vuông góc ví dụ như hình chiếu của đường thẳng là điểm, hình chiếu của các đường thẳng vuông góc với đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
? Hãy giải thích tại sao trong Hình 3.6b, điểm B' (hình chiếu đứng của B) là trung điểm của đoạn thằng A'C' (hình chiếu đứng của AC).
| >Vận dụng 1. Trong vẽ kĩ thuật có hai phương pháp chiếu góc thứ nhất và phương pháp chiếu góc thứ ba. Với phương pháp chiếu góc thứ nhất, vật thể luôn nằm giữa người quan sát và các mặt phẳng hình chiếu (H.3.5) còn với phương pháp chiếu góc thứ ba thì các mặt phẳng chiếu luôn nằm giữa người quan sát và vật thể (H.3.10). Mỗi hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bảng nhận được từ hai phương pháp chiếu đều bằng nhau. Hãy giải thích tại sao. |
Hình 3.10 |
Hướng chiếu từ trên
Hướng chiếu từ trái
Hướng chiều từ trước
| Chú ý. Vì hình chiếu nhận được qua hai phương pháp chiếu góc thứ nhất và thứ ba là như nhau nên từ nay về sau, nếu không giải thích gì thêm, các hình chiếu được nhắc tới đều lấy theo phương pháp chiếu góc thứ nhất. |
Hình chiếu song song của một hình lên hai mặt phẳng song song có bằng nhau không? |
3. MỐI LIÊN HỆ GIỮA BA HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC
>HĐ3. Trong không gian cho điểm A và ba mặt phẳng đôi một vuông góc (P1), (P2) và (P3) giao nhau tại Ox. Gọi A1, A2 lần lượt là hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của điểm A (H.3.11a). Quay mặt phẳng (P2) quanh Ox sao cho (P2) trùng với (P1), khi đó hai điểm A1, A2 cùng thuộc mặt phẳng (P1) (H.3.11b).
a) Nhận xét về vị trí của các điểm A1, A2 đối với đường thẳng Ox. Đường thẳng A1A2 có vuông góc với Ox hay không
b) Hãy trình bày cách xác định điểm A khi biết các điểm A1, A2 trong mặt phằng (P1).
(Trang 57)
Hình 3.11
| Một điểm trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết hai hình chiếu của điểm đó. Ví dụ vậy, một vật thể hoàn toàn được xác định nếu biết hai hình chiếu của mỗi điểm thuộc vật thể đó. |
Trong vẽ kĩ thuật, Hình 3.11b được gọi là đồ thức của điểm A. Khoảng cách từ điểm A đến hai mặt phẳng (P1), (P2) lần lượt được gọi là độ xa và độ cao của A. |
>Ví dụ 4. Trong Hình 3.12, hình nào thể hiện đúng hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm A trong không gian?
Hình 3.12
Giải
Nếu A1 và A2 là hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của điểm A thì đường thẳng A1A2 vuông góc với Ox. Do đó chỉ Hình 3.12b thể hiện đúng hai hình chiếu của điểm A.
>Luyện tập 4. Trong Hình 3.13, hình nào thể hiện đúng hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm A trong không gian?
Hình 3.13
(Trang 58)
>HĐ4. Trong HĐ2, gọi (P3) là mặt phẳng hình chiếu cạnh và A3 là hình chiếu cạnh của A. Gọi Oz là giao tuyển của (P1) và (P3), Oy là giao tuyến của (P2) và (P3). Quay mặt phẳng (P2) quanh Ox sao cho (P2) trùng với (P1) và quay mặt phẳng (P3) quanh Oz sao cho (P3) trùng với (P1), khi đó ba điểm A1, A2, A3 cùng thuộc mặt phẳng (P,) (H.3.14).
a) Đường thẳng A1A3 có vuông góc với đường thẳng Oz hay không? Khoảng cách từ A2 đến Oz có bằng khoảng cách từ A2 đến Ox hay không?
b) Trong mặt phẳng (P1), trình bày cách xác định điểm A3 khi biết hai điểm A1, A2.
| Trong mặt phẳng (P1), một trong ba điểm A1, A2, A3 hoàn toàn được xác định nếu biết hai điểm còn lại. |
>Ví dụ 5. Hình 3.15a thể hiện hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của đoạn thẳng AB trong không gian. Xác định hình chiếu cạnh của đoạn thẳng đó.
Giải
Hình chiếu cạnh của đoạn thẳng AB có hai đầu mút là hình chiếu cạnh A3 của A và B3 của B. Để xác định A3 ta làm như sau: Qua điểm A2 vẽ đường thẳng vuông góc với Oz tại C và trên Oz lấy điểm D sao cho OC = OD (H.3.15b). Đường thẳng qua A1 và vuông góc với Oz cắt đường thẳng qua D và vuông góc với Ox tại A3. Tương tự xác định B3. Nối A3 và B3 ta nhận được hình chiếu cạnh của đoạn thẳng AB.
(Trang 59)
| >Luyện tập 5. Hình 3.16 thể hiện hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của một đoạn thằng AB trong không gian. Xác định hình chiều bằng của đoạn thẳng đó. |
Hình 3.16 |
| >Vận dụng 2. Dựa vào mối liên hệ giữa ba hình chiếu, giải thích cách bố trí các hình chiếu trên bản vẽ kĩ thuật. Vì sao đối với một số vật thể đơn giản, bản vẽ kĩ thuật chỉ thể hiện hai thay vì ba hình chiếu? |
Ngày nay khi sử dụng các phần mềm đồ hoạ như AutoCAD, SketchUP, Photoshop... ta chi cần vẽ hai hình chiếu bất kì của vật thể, phần mềm sẽ phân tích, xử lí và cho ra hình chiếu còn lại. |
4. HÌNH CHIẾU TRỤC ĐO
| >HĐ5. Cho hình hộp chữ nhật  lên mặt phẳng (P) theo phương l (H.3.16) và trả lời các câu hỏi sau: a) Hình b) Phương chiếu l có song song với mặt nào của hình hộp chữ nhật |
Nhắc lại khái niệm hình chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh. |
Hình 3.17
| Hình chiếu song song của một hình lên mặt phẳng (P) theo phương I không song song với bề mặt nào của hình được gọi là hình chiếu trục đo của . |
? Tại sao hình chiếu trục đo thường thể hiện nhiều mặt của vật thể hơn so với hình chiếu vuông góc?
Nhận xét. Vì hình chiếu trục đo thường thể hiện nhiều mặt của vật thể hơn so với hình chiếu vuông góc nên nó giúp người xem hình dung vật thể rõ ràng hơn. Trên thực tế, hầu hết các hình biểu diễn có tính lập thể (hay hình 3D) mà em đã từng gặp đều là hình chiếu trục đo (H.3.18).
Hình 3.18
>Ví dụ 6. Trong các hình chiếu song song sau (H.3.19), hình nào là hình chiếu trục đo của một hình lập phương?
Hình 3.19
Giải
Trong Hình 3.19a và 3.19b chỉ thấy được hai mặt của hình lập phương, tức là phép chiếu song song tương ứng có phương chiếu song song với ít nhất một mặt của hình lập phương. Vì vậy Hình 3.19a và 3.19b không là hình chiếu trục đo của hình lập phương. Trong Hình 3.19c có thể thấy được cả ba mặt của hình lập phương nên hình này là hình chiếu trục đo của hình lập phương.
>Luyện tập 6. Trong các hình chiếu song song sau (H.3.20), hình nào thể hiện đúng hình chiếu trục đo của một hình hộp chữ nhật?
Hình 3.20
(Trang 61)
>Vận dụng 3. Xoay một hình lập phương để có thể quan sát được cả ba mặt của nó. Khi đó các phần quan sát được của hình lập phương có tạo thành hình chiếu trục đo của nó hay không? Hãy giải thích tại sao.
| >HĐ6. Giả sử hình hộp chữ nhật a) Hình chiếu của các góc b) Giả sử M, N là hai điểm thuộc trục Oz và M', N' là hình chiếu tương ứng thuộc trục O'z'. So sánh hai tỉ số |
Nhắc lại tính chất bảo toàn tỉ số độ dài đoạn thẳng của phép chiếu song song. |
và 
.
Hình 3.21
| Cho hình .
Trong Hình 3.26, các tỉ số |
được gọi là các góc trục đo.
lần lượt được gọi là (Trang 62)
Chú ý. Hệ số biến dạng trên mỗi trục đo phụ thuộc vào vị trí tương đối của mỗi trục với mặt phẳng chiếu và phụ thuộc vào phương chiếu. Mục 2 của bài này sẽ trình bày một phép chiếu trục đo đặc biệt mà ở đó các hệ số biến dạng được lựa chọn đề thuận tiện cho việc vẽ hình chiếu trục đo của vật thể.
>Ví dụ 7. Cho một hình lập phương có độ dài mỗi cạnh là 6 cm. Hình chiếu trục đo của hình lập phương được cho như trong Hình 3.22a. Tính hệ số biến dạng theo mỗi trục đo.
Hình 3.22
Giải
Gọi Ο, A, B, C là các đỉnh của hình lập phương có hình chiếu lần lượt là O', A', B', С'. Khi đó OA = OB = OC = 6 cm và các hệ số biến dạng lần lượt là 
>Luyện tập 7. Hình chiếu trục đo của một hình hộp chữ nhật được cho như trong Hình 3.21b. Biết các hệ số biến dạng là p = 1, q = r= 0,5. Tính kích thước thực tế của hình hộp chữ nhật đó.
| >HĐ7. Cho hình tứ diện vuông OABC có các cạnh ОА, ОВ, ОC bằng nhau và lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Xét phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) đi qua O sao cho các trục Ox, Oy, Oz tạo với (P) các góc bằng nhau (H.3.22a). Gọi A', B', C' lần lượt là hình chiếu của А, В, С. a) Chứng minh rằng ABC là tam giác đều. b) Giải thích tại sao các khoảng cách từ A, B, C đến (P) bằng nhau, từ đó suy ra mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng (P). c) Gọi I là tâm tam giác đều ABC. Giải thích tại sao |
Trong HĐ3, AIB.A'O'B' là hình lăng trụ đứng tam giác. |
, từ đó suy ra 
(Trang 63)
Hình 3.23
| Trong hình chiếu trục đo vuông góc đều có:
|
Một mô hình phòng khách được biểu diễn bằng hình chiều trục đo |
? Hãy quan sát hình ảnh mở đầu (H.3.1) và cho biết hình nào là hình chiếu trục đo vuông góc đều của vật thể.
Nhận xét. Trong HĐ7, ta có thể chứng minh được 
(xem bài tập 3.10) và do đó các hệ số biến dạng theo các trục bằng 0.82. Tuy nhiên, để thuận tiện cho việc tính toán và vẽ hình, ta thường quy ước các hệ số biến dạng bằng 1.
>Ví dụ 8. Cho một hình lập phương có độ dài mỗi cạnh là 6 cm. Hình nào trong Hình 3.26 thể hiện đúng hình chiếu trục đo vuông góc đều của hình lập phương đó?
Hình 3.24
Giải
Hình 3.24c có các góc trục đo khác 120° nên không là hình chiếu trục đo vuông góc đều. Hình 3.24b là hình chiếu trục đo vuông góc đều nhưng không thể hiện đúng kích thước của hình lập phương. Chỉ có Hình 3.24a là hình chiếu trục đo vuông góc đều và thể hiện đúng kích thước của hình lập phương.
| >Luyện tập 8. Hình chiếu trục đo của một hình hộp chữ nhật được vẽ trên giấy kẻ ô tam giác đều như trong Hình 3.25. Quy ước độ dài mỗi cạnh của tam giác đều là 10 mm, xác định kích thước mỗi chiều của hình hộp đó. |
Hình 3.25 |
>Vận dụng 4. Hình 3.26a thể hiện cách vẽ dạng nổi của chữ cái “L” trên giấy kẻ ô tam giác đều. Hình nhận được là một hình chiếu trục đo vuông góc đều. Bằng cách tương tự hãy vẽ dạng nổi của chữ cái “T” (H.3.26b).
BÀI TẬP
3.1. Trong các khẳng định sau, những khẳng định nào là đúng?
a) Hình chiếu đứng của một hình H là hình chiếu song song của hình H lên một mặt phẳng đó.
b) Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
c) Hình chiếu cạnh của một đường thẳng luôn là một đường thẳng.
d) Hình chiếu bằng của hai điểm phân biệt luôn là hai điểm phân biệt.
3.2. Cho ví dụ về một vật thể có cả ba hình chiếu vuông góc là:
a) hình chữ nhật;
b) hình tròn.
(Trang 65)
3.3. Trên hình chiếu của mỗi vật thể (H.3.27) còn thiếu một số nét. Bổ sung các nét còn thiếu đó.
Hình 3.27
3.4. Bạn Hoàng nói rằng, “hình chiếu đứng của một đoạn thẳng luôn có độ dài lớn hơn độ dài của đoạn thẳng đó”. Bạn Hoàng nói đúng hay sai? Vì sao?
3.5. Khi nào thì hình chiếu đứng của một đoạn thẳng AB là một điểm? Khi nào thì hình chiếu bằng của một đoạn thẳng AB là một điểm?
3.6. Cho đoạn thẳng AB và gọi A1B1 là hình chiếu đứng của AB. Biết đường thẳng AB song song với mặt phẳng hình chiếu đứng, chứng minh rằng AB = A1B1.
3.7. Trong các hình của Hình 3.28, hình nào là hình chiếu trục đo của hình lăng trụ tam giác?
Hình 3.28
3.8. Trong các hình của Hình 3.29, hình nào là hình chiếu trục đo vuông góc đều của một hình lập phương? Giải thích vì sao.
Hình 3.29
(Trang 66)
3.9. Cho hình tứ diện OABC có OA = 2 cm, OB = 3 cm và OC = 6 cm. Hình chiếu trục đo của hình tứ diện được cho trong Hình 3.30. Tính hệ số biến dạng theo mọi trục đo.
Hình 3.30
3.10. Trong HĐ3, bằng cách xét tam giác vuông OIA và tính tỉ số 
, chứng minh rằng trong phép chiếu trục đo vuông góc đều thì 
3.11. Hình chiếu trục đo của một vật thể được vẽ trên giấy kẻ ô tam giác đều như trong Hình 3.31. Quy ước độ dài mỗi cạnh của tam giác đều là 10 cm, tính thể tích của vật thể đó.
Hình 3.31
(Trang 67)
| Em có biết? Công nghệ in 3D đã được phát triển và áp dụng vào thực tế từ những năm 1980 bởi Charles Hull. Để in 3D, phần mềm của máy in sẽ phân tách vật thể thành các lớp chồng lên nhau, sau đó tính toán đường chạy cho đầu in để in từng lớp. Hết một lớp in, đầu in sẽ dịch chuyển lên trên để in lớp tiếp theo. Làm thế nào để phần mềm máy in 3D thực hiện được điều đó?
Máy in 3D
Quá trình in từng lớp của vật thể
(Theo www.sculpteo.com) |
Các Bài Học Khác
Chuyên đề học tập Toán 11 - Bài 12: Bản Vẽ Kĩ Thuật - Tìm hiểu về các loại bản vẽ kỹ thuật, quy ước và tiêu chuẩn biểu diễn các chi tiết máy, công trình.
Xem thêm ⟶
Bình Luận
Để Lại Bình Luận Của Bạn