Bài 1: Đơn thức | Toán 8 - Tập 1 | Chương I: Đa thức - Lớp 8 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

(Trang 5) 

Bài toán. Một nhóm thiện nguyện chuẩn bị y phần quà giúp đỡ những gia đình có hoàn cảnh khó khăn. Mỗi phần quà gồm x kg gạo và x gói mì ăn liền. Viết biểu thức biểu thị giá trị bằng tiền (nghìn đồng) của toàn bộ số quà đó.

Hai bạn Tròn và Vuông lập luận như sau: 

Tổng số gạo trong y phần quà trị giá 12xy (nghìn đồng); tổng số gói mì ăn liền trong y phần quà trị giá 4,5xy (nghìn đồng). Vậy biểu thức cần tìm là 12xy + 4,5xy

Mỗi phần quà trị giá 12x + 4,5x = 16,5x (nghìn đồng). Do đó, y phần quà trị giá 16,5xy (nghìn đồng). Vậy biểu thức cần tìm là 16,5xy.

Theo em, bạn nào giải đúng?

(Trang 6)

1. ĐƠN THỨC VÀ ĐƠN THỨC THU GỌN

Khái niệm đơn thức

HĐ1:  Biểu thức x² - 2x có phải là đơn thức một biến không? Vì sao? Hãy cho một vài ví dụ về đơn thức một biến.

HĐ2: Xét các biểu thức đại số:

Hãy sắp xếp các biểu thức đó thành hai nhóm:

Nhóm 1: Những biểu thức có chứa phép cộng hoặc phép trừ.
Nhóm 2: Các biểu thức còn lại.

Nếu hiểu đơn thức (nhiều biến) tương tự đơn thức một biến thì theo em, nhóm nào trong hai nhóm trên bao gồm những đơn thức?

Ví dụ 1

Tìm đơn thức tong các biểu thức sau:

Giải

Biểu thức x+2y không là đơn thức vì có chứa phép cộng. Biểu thức không là đơn thức vì có chứa căn bậc hai của biến. Hai biểu thức còn lại đều là đơn thức.

Luyện tập 1

Trong các biểu thức sau đây, biểu thức nào là đơn thức?

Tranh luận

Còn em nghĩ sao?

(Trang 7) 

Đơn thức thu gọn, bậc của một đơn thức

1) Quan sát hai đơn thức A = 2xy(-3)x² và B = 5x²y³z, ta thấy: Trong đơn thức A có hai số (2 và –3), và biến x xuất hiện hai lần. Trái lại, trong đơn thức B chỉ có một số và mỗi biến chỉ xuất hiện một lần (dưới dạng một luỹ thừa). Ta gọi các đơn thức như B là các đơn thức thu gọn.

2) Với các đơn thức chưa là đơn thức thu gọn, ta có thể thu gọn chúng bằng cách áp dụng các tính chất của phép nhân và phép nâng lên luỹ thừa. Ví dụ, với đơn thức A ta làm như sau:

A = 2xy(-3)x² = 2 · (-3) · (x · x²) · y=-6 · x³ · y = -6x³ · y. 

3) Tổng số mũ của các biến trong một đơn thức thu gọn với hệ số khác 0 gọi là bậc của đơn thức đó. Chẳng hạn, trong đơn thức B, tổng các số mũ của x, y và z là 2+3+1= 6 nên B có bậc là 6.

Để xác định bậc của một đơn thức chưa thu gọn, ta nên thu gọn đơn thức đó. Chẳng hạn, đơn thức thu gọn của A là đơn thức –6x³y. Đơn thức này có bậc là 4 nên đơn thức A có bậc là 4.

4) Trong một đơn thức thu gọn, phần số còn gọi là hệ số, phần còn lại gọi là phần biến. Ví dụ, đơn thức –6x³y có hệ số là –6, phần biến là x³y.

Chú ý 

• Với các đơn thức có hệ số là +1 hay -1, ta không viết số 1. Ví dụ, đơn thức xy² có hệ số là hệ số là 1; đơn thức -x²y² có hệ số là -1.
• Mỗi số khác 0 là một đơn thức thu gọn bậc 0.

• Số 0 cũng được coi là một đơn thức. Nó không có bậc.

Cho biết hệ số, phần biến và bậc của mỗi đơn thức sau:

Ví dụ 2 Xác định hệ số, phần biến và bậc của đơn thức 0,5xy²4x².

Giải

Trước hết ta thu gọn đơn thức đã cho:

Vậy hệ số của đơn thức là 2, phần biến là x³y² và bậc là 5.

(Trang 8)

Luyện tập 2

Thu gọn và xác định bậc của đơn thức 4,5x²y(-2)xyz.

2. ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG

Từ đây, khi nói đến một đơn thức, ta hiểu rằng đơn thức đó đã được thu gọn.

HĐ3: Cho đơn thức một biến M = 3x². Hãy viết ba đơn thức biến x, cùng bậc với M rồi so sánh phần biến của các đơn thức đó.
HĐ4: Xét ba đơn thức    và   

So sánh: 

a) Bậc của ba đơn thức A, B và C.

b) Phần biến của ba đơn thức A, B và C.

Ta gọi hai đơn thức A và B như trên là hai đơn thức đồng dạng.

Một cách tổng quát:

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức với hệ số khác 0 và có phân biến giống nhau.

Nhận xét. Hai đơn thức đồng dạng thì có cùng bậc.

Luyện tập 3 Cho các đơn thức: 

Hãy sắp xếp các đơn thức đã cho thành từng nhóm, sao cho tất cả các đơn thức đồng dạng thì thuộc cùng một nhóm

.

Tranh luận

Ta đã biết nếu hai đơn thức một biến có cùng biến và có cùng bậc thì đồng dạng với nhau. Hỏi điều đó có còn đúng không đối với hai đơn thức hai biến (nhiều hơn một biến)?

Cộng và trừ đơn thức đồng dạng

HĐ5: Quan sát ví dụ sau: 

2,5 · 3² · 5³ + 8,5 · 3² · 5³ = (2,5 +8,5) · 32 · 5³ = 11 · 3² · 5³

Trong ví dụ này, ta đã vận dụng tính chất gì của phép nhân để thu gọn tổng ban đầu?

HĐ6: Cho hai đơn thức đồng dạng M=2,5x²y³ và P=8,5x²y³. Tương rự HĐ5, hãy:

(Trang 9)

a) Thu gọn tổng M+P;

b) Thu gọn hiệu M-P.

Ta rút ra quy tắc cộng (trừ) các đơn thức đồng dạng như sau:

Ví dụ 3

Cho các đơn thức A=3xy²; B=-5xy² và C=xy² là ba đơn thức đồng dạng.

Tính A+B; A-B; A+B+C.

Giải

A+B=[3+(-5)]xy²=-2xy²;

A-B=[3-(-5)]xy²-8xy²;

A+B+C=(3-5+1)xy2=-xy²

Luyện tập 4

Cho các đơn thức -x³y; 4x³y và -2x³y.

a) Tính tổng S của ba đơn thức đó.

b) Tính giá trị của tổng S tại x=2; y=-3.

Vận dụng

Trở lại các lập luận của Tròn và Vuông trong tình huống mở đầu. Hãy trả lời và giải thích rõ tại sao.

BÀI TẬP

1.1. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức?

1.2. Cho các đơn thức: 

a) Liệt kê các đơn thức thu gọn trong các đơn thức đã cho và thu gọn các đơn thức còn lại.

b) Với mỗi đơn thức nhận được, hãy cho biết hệ số, phần biến và bậc của nó.

(Trang 10)

1.3. Thu gọn rồi tính giá trị của mỗi đơn thức sau:

a) khi

b) khi

1.4. Sắp xếp các đơn thức sau thành từng nhóm, mỗi nhóm chứa tất cả các đơn thức đồng dạng với nhau:

1.5. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

khi và

1.6. Tính tổng của bốn đơn thức: 

1.7. Một mảnh đất có dạng như phần được tô màu xanh trong hình bên cùng với các kích thước được ghi trên đó. Hãy tìm đơn thức (thu gọn) với hai biến x và y biểu thị diện tích của mảnh đất đã cho bằng hai cách:

Cách 1. Tính tổng diện tích của hai hình chữ nhật ABCD và EFGC.

Cách 2. Lấy diện tích của hình chữ nhật HFGD trừ đi diện tích của hình chữ nhật HEBA.