Bài 11: Hình thang cân | Toán 8 - Tập 1 | Chương III. Tứ giác - Lớp 8 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

(Trang 52)

Bài 11: HÌNH THANG CÂN

Cắt một mảnh giấy hình thang cân bằng một nhát cắt thẳng cả hai cạnh đáy thì được hai hình thang. Lật một trong hai hình thang đó rồi ghép với hình thang còn lại dọc theo các cạnh bên của hình thang ban đầu (Hình 3.11). Hãy giải thích tại sao hình tạo thành cũng là một hình thang cân.

1. HÌNH THANG. HÌNH THANG CÂN

Khái niệm hình thang và hình thang cân

Trong bài này, ta sẽ xét tứ giác có hai cạnh đối song song.

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

Trên Hình 3.12 là hình thang ABCD (AB II CD). Hai cạnh song song gọi là hai đáy, hai cạnh còn lại gọi là hai cạnh bên của hình thang. Đường vuông góc AH kẻ từ A đến CD gọi là một đường cao của hình thang ABCD.

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Trên Hình 3.13. là hình thang cân ABCD (AB II CD).

• Hai góc A, B kề đáy nhỏ AB, .
• Hai góc C, D kề góc lớn CD, .

(Trang 53)

Ví dụ 1

Chứng minh rằng hai góc kề một cạnh bên của hình thang bù nhau.

Giải (H.3.14).

Vì ABCD là hình thang (AB II CD) nên  (hai góc đồng vị)

Do =180° (hai góc kề bù) suy ra 180° 

Luyện tập 1

Tính các góc của hình thang cân ABCD  (AB II CD), biết

2. TÍNH CHẤT CỦA HÌNH THANG CÂN

Tính chất về cạnh bên của hình thang cân

HĐ1 Cho hình thang cân ABCD, AB II CD và AB<CD (H.3.16).

a) Từ A và B kẻ AH ⊥ DC, BI ⊥ DC, H ∈ CD, I ∈ CD. Chứng minh rằng AH=BI bằng cách chứng minh △AHI=△IBA.

b) Chứng minh △AHD=△BIC, từ đó suy ra AD=BC.

Định lí 1

Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

Cụ thể, hình thang cân ABCD (H.3.17) có hai cạnh bên là AD và BC thì AD=BC.

Luyện tập 2:

Cho tứ giác ABCD như Hình 3.18. 

Biết rằng .

Chứng minh rằng AD=BC.

(Trang 54)

Tính chất về đường chéo của hình thang cân

HĐ2 Cho hình thang cân ABCD, kẻ hai đường chéo AC, BD (H.3.19). Hãy chứng minh △ACD=△BDC. Từ đó suy ra AC=BD.

Định lí 2

Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

Luyện tập 3

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ một đường thẳng d song song với BC, d cắt cạnh AB tại D và cắt cạnh AC tại E (H.3.20).

a) Tứ giác DECB là hình gì?

b) Chứng minh BE=CD.

3. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

Định lí 2 cho ta biết nếu một hình thang là hình thang cân thì hai đường chéo của nó bằng nhau. Ngược lại, một hình thang có hai đường chéo bằng nhai có là hình thang cân không?

Người ta chứng minh được:

Định lí 3

Nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân.

Ví dụ 2: 

Cho hình thang ABCD (AB II CD) có . Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.

Giải (H.3.21)

GT	Hình thang ABCD, AB II CD,
KL	ABCD là hình thang cân.

Hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I.

(Trang 55)

Vì AB II CD nên , (các cặp góc so le trong).

Mặt khác, . Suy ra

Từ đó, tam giác ICD và tam giác IAB cùng cân tại I.

Vậy IC=ID, IA=IB, suy ra AC=IA+IC=IB+ID=BD.

Theo định lí 3, hình thang ABCD là hình thang cân.

Thực hành (H.3.22)

a) Vẽ hình thang có hai đường chéo bằng nhau theo các bước sau:

- Vẽ hai đường thẳng song song a, b. Trên a lấy hai điểm A, B.

- Vẽ hai cung tròn tâm A và B có cùng bán kính sao cho cung tròn tâm A cắt b tại C; cung tròn tâm B cắt b tại D và hai đoạn thẳng AC, BD cắt nhau. Hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD bằng nhau.

b) Hình thang ABCD có là hình thang cân không? Vì sao?

Vận dụng

Hãy giải thích bài toán mở đầu.

BÀI TẬP 

3.4. Hình thang trong Hình 3.23. có là hình thang cân không? Vì sao?

3.5. Cho hình thang ABCD (AB II CD). Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C và đường thẳng vuông góc với BD tại D, hai đường thẳng này cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu EC=ED thì hình thang ABCD là hình thang cân.

3.6. Vẽ hình thang cân ABCD (AB II CD) biết đáy lớn CD dài 4 cm, cạnh bên dài 2 cm và đường chéo dài 3 cm.

3.7. Hai tia phân giác của hai góc A, B của hình thang cân ABCD (AB II CD) cắt nhau tại điểm E trên cạnh đáy CD. Chứng minh rằng EC=ED.

3.8. Hình thang cân ABCD (AB II CD) có các đường thẳng AD, BC cắt nhau tại I, các đường thẳng AC, BD cắt nhai tại J. Chứng minh rằng đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.