Bài 12: Hình bình hành | Toán 8 - Tập 1 | Chương III. Tứ giác - Lớp 8 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

(Trang 57)

Hai con đường lớn a và b cắt nhau tạo thành một góc. Bên trong góc đó có một điểm dân cư O. Phải mở một con đường thẳng đi qua O như thế nào để theo con đường đó, hai đoạn đường từ điểm O đến hai con đường a và b bằng nhau (các con đường đều là đường thẳng) (H.3.27)?

Hình 3.27

1 HÌNH BÌNH HÀNH VÀ TÍNH CHẤT

Khái niệm hình bình hành

HĐ1 Trong Hình 3.28, có một hình bình hành. Đó là hình nào? Em có thể giải thích tại sao không?

Hình 3.28

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

Ví dụ 1

Trong Hình 3.29, cho tứ giác ABCD và ba góc bằng nhau. Tứ giác ABCD có là hình bình hành không? Tại sao?

Hình 3.29

(Trang 58)

Giải 

Ta có = và chúng ở vị trí so le trong nên AB II CD.

Tương tự, AD II CB.

Vậy theo định nghĩa, tứ giác ABCD là hình bình hành.

Thực hành 1 Vẽ hình bình hành, biết hai cạnh liên tiếp bằng 3 cm, 4 cm và góc xen giữa hai cạnh đó bằng 60°. Hãy mô tả cách vẽ và giải thích tại sao hình vẽ được là hình bình hành.

Tính chất của hình bình hành

HĐ2 Hãy nêu các tính chất của hình bình hành mà em đã biết.

HĐ3 Cho hình bình hành ABCD (H.3.30).

Hình 3.30

a) Chứng minh ΔABC = ΔCDA.

Từ đó suy ra AB = CD, AD = BC và = .

b) Chứng minh ΔABD = ΔCDB. Từ đó suy ra = .

c) Gọi giao điểm của hai đường chéo AC, BD là O.

Chứng minh ΔAOB = ΔCOD. Từ đó suy ra OA = OC, OB = OD.

Định lí 1

Trong hình bình hành:

a) Các cạnh đối bằng nhau;

b) Các góc đối bằng nhau;

c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

GT	ABCD là hình bình hành; O là giao điểm của AC và BD.
KL	a) AB = CD, AD = BC; b) , ; c) OA OC, OB = OD

Nhận xét. Dễ thấy trong một hình bình hành, hai góc kề một cạnh bất kì là hai góc
bù nhau.

Luyện tập 1 Cho tam giác ABC. Từ một điểm M tuỳ ý trên cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt cạnh AC tại N và kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh AB tại P. Gọi I là trung điểm của đoạn NP. Chứng minh rằng I cũng là trung điểm của đoạn thẳng AM.

(Trang 59)

Tranh luận

Theo em, bạn nào đúng? Vì sao?

2 DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

Dấu hiệu nhận biết hình bình hành theo cạnh

Ta đã biết hình bình hành thì có các cạnh đối bằng nhau. Ngược lại, một tứ giác có các cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó có là hình bình hành không?

Ta có thể chứng minh được:

Định lí 2

a) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là một hình bình hành.

b) Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là một hình bình hành.

Hãy viết giả thiết, kết luận của Định lí 2.

Ví dụ 2 Cho hình bình hành ABCD. Từ A, C kẻ AH, CK cùng vuông góc với BD (H.3.31).

Hình 3.31

Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

Giải

Theo giả thiết ABCD là hình bình hành nên AD II BC và AD = BC, suy ra

Hai tam giác vuông AHD và CKB có: AD = BC, (chứng minh trên).

Vậy hai tam giác vuông AHD và CKB bằng nhau (cạnh huyền – góc nhọn).

Do đó AH = CK. Mặt khác, AH và CK cùng vuông góc với BD nên AH II CK.

(Trang 60)

Tứ giác AHCK có cặp cạnh đối AH, CK song song và bằng nhau nên theo Định lí 2, AHCK là hình bình hành.

Luyện tập 2 Cho hình bình hành ABCD (AB > BC).

Tia phân giác của góc D cắt AB tại E và tia phân giác của góc B cắt CD tại F (H.3.32).

Hình 3.32

a) Chứng minh hai tam giác ADE và CBF là những tam giác cân, bằng nhau.

b) Tứ giác DEBF là hình gì? Tại sao?

Thực hành 2 Chia một sợi dây xích thành bốn đoạn: hai đoạn dài bằng nhau, hai đoạn ngắn bằng nhau và đoạn dài, đoạn ngắn xen kẽ nhau. Hỏi khi móc hai đầu mút của sợi dây xích đó lại để được một tứ giác ABCD (có các đỉnh tại các điểm chia) như Hình 3.33 thì tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?

Hình 3.33

Dấu hiệu nhận biết hình bình hành theo góc và đường chéo

Ta biết hình bình hành thì có các góc đối bằng nhau và hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Ngược lại, một tứ giác có các góc đối bằng nhau hoặc có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác đó có là hình bình hành không?

Ta có thể chứng minh được:

Định lí 3

a) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là một hình bình hành.

b) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là một hình bình hành.

? Hãy viết giả thiết, kết luận của Định lí 3.

Ví dụ 3 Trong ba tứ giác dưới đây, tứ giác nào là hình bình hành, tứ giác nào không là hình bình hành? Vì sao?

Hình 3.34

(Trang 61)

Giải

Tứ giác trong Hình 3.34a là hình bình hành (theo Định lí 2a).

Tứ giác trong Hình 3.34c là hình bình hành (theo Định lí 3b).

Tứ giác trong Hình 3.34b không là hình bình hành vì có hai góc đối A, C không bằng nhau.

Luyện tập 3 Cho hai điểm A, B phân biệt và điểm O không nằm trên đường thẳng AB.

Gọi A', B' là các điểm sao cho O là trung điểm của AA', BB'. Chứng minh rằng A'B' = AB và đường thẳng A'B' song song với đường thẳng AB.

Vận dụng Trở lại bài toán mở đầu. Em hãy vẽ hình và nêu cách vẽ con đường cần mở đi qua O sao cho theo con đường đó, hai đoạn đường từ O tới a và tới b bằng nhau.

BÀI TẬP

3.13. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Vì sao?

a) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành.

b) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành.

c) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng song song là hình bình hành.

3.14. Tính các góc còn lại của hình bình hành ABCD trong Hình 3.35.

Hình 3.35

3.15. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh BF = DE.

3.16. Trong mỗi trường hợp sau đây, tứ giác nào là hình bình hành, tứ giác nào không là hình bình hành? Vì sao?

Hình 3.36

3.17. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD.

Chứng minh rằng:

a) Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành; b) EF = AD, AF = EC.

3.18. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Một đường thẳng đi qua O lần lượt cắt các cạnh AB, CD của hình bình hành tại hai điểm M, N. Chứng minh △OAM = △OCN. Từ đó suy ra tứ giác MBND là hình bình hành.