Bài 14: Hình thoi và hình vuông | Toán 8 - Tập 1 | Chương III. Tứ giác - Lớp 8 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

(Trang 67)

Lấy một tờ giấy, gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh dấu hai điểm A, B trên hai cạnh góc vuông rồi cắt chéo theo đoạn thẳng AB (H.3.46a). Sau khi mở tờ giấy ra, ta được một tứ giác. Tứ giác đó là hình gì? Vì sao? Nếu ta có OA = OB thì tứ giác nhận được là hình gì (H.3.46b)?

Hình 3.46

1 HÌNH THOI

Khái niệm hình thoi và tính chất của nó

Trong Hình 3.47, tứ giác ABCD có các cạnh AB, BC, A CD, DA bằng nhau, nó là một hình thoi.

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Hình 3.47

Hình thoi có phải là hình bình hành không? Nếu có, từ tính chất đã biết của hình bình hành, hãy suy ra những tính chất tương ứng của hình thoi.

(Trang 68)

Trong bài này, ta sẽ tìm hiểu thêm tính chất về đường chéo của hình thoi.

Tính chất về hai đường chéo của hình thoi

HĐ1 Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O (H.3.48).

Hình 3.48

a) △ABD có cân tại A không?
b) AC có vuông góc với BD không và AC có là đường phân giác của góc A không? Vì sao?

Định lí 1

Trong hình thoi:

a) Hai đường chéo vuông góc với nhau;

b) Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc trong hình thoi.

Ví dụ 1 Hai đường tròn tâm A và C có cùng bản kính, cắt nhau tại B, D (H.3.49).

a) Hỏi tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?

b) Chứng minh AC ⊥ BD.

Giải

a) Vì hai đường tròn tâm A và C có cùng bán kính, cắt nhau tại B, D nên AB = AD = CD = CB.
Vậy theo định nghĩa, tứ giác ABCD là hình thoi. 

b) Từ câu a và theo Định lí 1 ta có AC ⊥ BD.

Dấu hiệu nhận biết hình thoi

Ngoài nhận biết hình thoi bằng định nghĩa (tứ giác có bốn cạnh bằng nhau), ta còn có thể nhận biết hình thoi bằng những dấu hiệu khác.

Định lí 2

a) Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

b) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

c) Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

Hãy viết giả thiết, kết luận của câu c trong Định lí 2.

(Trang 69)

Ví dụ 2 Trong Hình 3.50, tứ giác nào là hình thoi? Vì sao?

Hình 3.50

Giải
a) Tứ giác ABCD là hình bình hành vì có các góc đối bằng nhau: ,

Mặt khác, ta lại có hai cạnh kề AB và BC bằng nhau.

Do đó, tứ giác ABCD là hình thoi.

b) Tứ giác MNPQ không phải là hình thoi vì hai cạnh kề MN và NP không bằng nhau

Luyện tập 1

Trong Hình 3.51, hình nào là hình thoi? Vì sao?

Hình 3.51

2 HÌNH VUÔNG

Thực hiện HĐ mở đầu theo Hình 3.46b, ta được một hình vuông.

Khái niệm hình vuông và tính chất của nó

Tứ giác ABCD trong Hình 3.52 có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau, ta gọi tứ giác đó là một hình vuông.

Hình 3.52

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

(Trang 70)

Tính chất về đường chéo của hình vuông

HĐ2 Hãy giải thích tại sao hai đường chéo của hình vuông bằng nhau và vuông góc với nhau.

Định lí 3

Trong một hình vuông, hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và là các đường phân giác của các góc của hình vuông.

Dấu hiệu nhận biết hình vuông

Ngoài nhận biết hình vuông bằng định nghĩa (tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau), ta còn có thể nhận biết hình vuông bằng những dấu hiệu khác.

Định lí 4

a) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

b) Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.

c) Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

? Hãy viết giả thiết, kết luận của câu a trong Định lí 4.

Ví dụ 3: Tìm hình vuông trong Hình 3.53.

Hình 3.53

Giải

a) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật vì có ba góc vuông mà AD = DC nên ABCD là hình vuông.

b) Tứ giác MNPQ có hai đường chéo MP và NQ không bằng nhau nên nó không phải là hình chữ nhật. Do đó, tứ giác MNPQ không phải là hình vuông.

(Trang 71)

Luyện tập 2

Với mỗi hình dưới đây, ta dùng dấu hiệu nhận biết nào để khẳng định đó là hình vuông?

Hình 3.54

Vận dụng

Trở lại tình huống mở đầu. Hãy giải thích tại sao:

- Trường hợp a, ta được hình thoi.

- Trường hợp b, ta được hình vuông.

BÀI TẬP

3. 9. Tìm các hình thoi và hình vuông trong Hình 3.55. -

(Trang 72)

3.30. Cho tam giác ABC, D là một điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB, AC, chúng cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại E, F.

a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?

b) Nếu tam giác ABC cân tại A thì điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC để tứ giác AEDF là hình thoi?

c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì?

d) Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC để AEDF là hình vuông?

3.31. Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

3.32. Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

3.33. Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi bằng 36 cm. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Biết rằng MA ⊥ MD. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD (H.3.56).

Hình 3.56