Bài 16: Đường trung bình của tam giác | Toán 8 - Tập 1 | Chương IV: Định lí Thalès - Lớp 8 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

(Trang 81)

Cho B và C là hai điểm cách nhau bởi một hồ nước như Hình 4.12 với D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết DE = 500 m, liệu không cần đo trực tiếp, ta có thể tính được khoảng cách giữa hai điểm B và C không?

Hình 4.12

1 ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

Nhận biết đường trung bình của tam giác

Hình 4.13 mô tả thước chữ A dùng để đo đạc trên mặt đất. Thanh ngang đặt ở trung điểm của hai thanh bên. Thanh ngang của thước chữ A trong Hình 4.13 là hình ảnh đường trung bình của tam giác.

Tổng quát ta có định nghĩa sau: 

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

Hình 4.12

Em hãy chỉ ra các đường trung bình của △DEF và △IHK trong Hình 4.14.

Hình 4.14

(Trang 82)

2 TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

Tính chất đường trung bình của tam giác

Cho DE là đường trung bình của tam giác ABC (H.4.15).

Hình 4.15

HĐ1 Sử dụng định lí Thalès đảo, chứng minh rằng DE // BC.

HĐ2 Gọi F là trung điểm của BC. Chứng minh tứ giác DEFB là hình bình hành. Từ đó suy ra

Định lí 1

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

GT	△ABC, AD = DB, AE = EC, D ∈ AB, E ∈ AC.
KL	DE // BC;

Chứng minh định lí

Gọi M là trung điểm của BC (H.4.16).

Hình 4.16

Tam giác ABC có suy ra DE // BC (định lí Thalès đảo).

Tương tự, ta chứng minh được EM // AB.

Tứ giác DEMB có: DE // BM và EM // DB nên tứ giác DEMB là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành), suy ra

Vậy DE II BC và .

Chú ý. Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

Ví dụ

Cho tam giác ABC với M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC và BC = 10 cm. Tính MN.

Hình 4.17

(Trang 83)

Giải (H.4.17)

Tam giác ABC có M là trung điểm của AB; N là trung điểm của AC. Do đó, MN là đường trung bình của △ABC (Suy ra (cm) (tính chất đường trung bình của tam giác). Vậy MN = 5 cm.

Luyện tập Cho tam giác ABC cân tại A, D và E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tứ giác DECB là hình gì? Tại sao?

Vận dụng. Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

BÀI TẬP

4.6. Tính các độ dài x, y trong Hình 4.18.

Hình 4.18

4.7. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC.

a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang.

b) Tứ giác MNPB là hình gì? Tại sao?

4.8. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Lấy hai điểm D và E trên cạnh AB sao cho AD = DE = EB và D nằm giữa hai điểm A, E.

a) Chứng minh DC II EM.

b) DC cắt AM tại I. Chứng minh I là trung điểm của AM.

4.9. Cho hình chữ nhật ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Chứng minh rằng tứ giác AHOK là hình chữ nhật.