Bài 34: Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác | Toán 8 - Tập 2 | Chương IX: Tam giác đồng dạng - Lớp 8 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

(Trang 83)

Trong môn bóng đá, độ khó của mỗi pha ghi bàn còn được tính bởi góc sút vào cầu môn là rộng hay hẹp. Nếu biết độ rộng của khung thành là 7,32 m, trái bóng cách hai cột gôn lần lượt là 10,98 m và 14,64 m thì em có cách nào để đo được góc sút ở vị trí này bởi các dụng cụ học tập không?

Hình 9.10

1 TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ NHẤT CỦA TAM GIÁC

Để kiểm tra hai tam giác đồng dạng ta có nhất thiết phải kiểm tra tất cả các góc bằng nhau và độ dài tất cả các cạnh tỉ lệ với nhau không?

Trường hợp đồng dạng cạnh – cạnh – cạnh

HĐ1 Cho hai tam giác ABC và A'B'C' có

a) Nếu A'B'=AB thì hai tam giác có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

b) Nếu A'B' < AB như Hình 9.11. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M sao cho AM= A'B'. Kẻ đường thẳng M song song với BC và cắt AC tại N.

Hình 9.11

– Hãy giải thích vì sao △AMN ᔕ △ABC.

– Hãy chứng tỏ rằng AN = A'C', MN = B'C' để suy ra △AMN ᔕ △A'B'C' (c.c.c).

– Hai tam giác A'B'C' và ABC có đồng dạng với nhau không? Nếu có, em hãy viết đúng kí hiệu đồng dạng giữa chúng.

c) Nếu A'B' > AB thì tam giác A'B'C' có đồng dạng với tam giác ABC không? Vì sao?

(Trang 84)

Tổng quát, ta có định lí sau:

Định lí (trường hợp đồng dạng cạnh - cạnh - cạnh)

Hình 9.12

Những cặp tam giác nào dưới đây (H.9.13) là đồng dạng? (Các kích thước được tính theo đơn vị centimét). Viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Hình 9.13

Ví dụ 1

Cho các tam giác ABC và MNP có 3AB = 4BC = 8CA, MN = 8 cm, NP = 6 cm, PM = 3 cm. Chứng minh rằng △ABC ᔕ △MNP.

Giải. (H.9.14)

Hình 9.14

Từ giả thiết ta có: 3MN = 4NP = 8PM và 3AB = 4BC = 8CA. 

Vậy △ABC và △MNP có:

Do đó △ABC ᔕ △MNP (c.c.c)

(Trang 85)

Luyện tập 1

Cho tam giác ABC có chu vi bằng 18 cm và tam giác DEF có chu vi bằng 27 cm. Biết rằng AB = 4 cm, BC = 6 cm, DE = 6 cm, FD = 12 cm. Chứng minh △ABC ᔕ △DEF.

Vận dụng

Trở lại tình huống mở đầu. Em hãy vẽ một tam giác có ba cạnh tỉ lệ với ba cạnh của tam giác tạo bởi ba đỉnh là trái bóng và hai chân cột gôn. Từ đó tính góc sút bằng góc tương ứng của tam giác vừa vẽ được.

2 TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ HAI CỦA TAM GIÁC

Nếu không đo tất cả các cạnh của hai tam giác, ta có cách nào để kiểm tra hai tam giác đó đồng dạng hay không?

Trường hợp đồng dạng cạnh - góc - cạnh C

HĐ2 Cho hai tam giác ABC và A'B'C' có độ dài các cạnh (theo đơn vị cm) như Hình 9.15. Biết rằng Â= .

Hình 9.15

- So sánh các tỉ số

- Dùng thước có vạch chia đo độ dài BC, B'C' và tính tỉ số

- Theo em, tam giác A'B'C' có đồng dạng với tam giác ABC không? Nếu có thì tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

Tổng quát, ta có định lí sau:

Định lí (trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh)

Chứng minh định lí (H.9.16)

GT	△ABC, A'B'C',
KL	△A'B'C' ᔕ △ABC.

Hình 9.16

• Nếu A'B' = AB thì A'C'= AC. Do đó △A'B'C' = △ABC (c.g.c). Suy ra △A'B'C' ᔕ △ABC.

• Nếu A'B' ≠ AB thì không mất tính tổng quát, ta giả sử A'B' < AB. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = A'B'. Kẻ đường thẳng qua M song song với BC, cắt AC tại N.

Vì MN // BC nên △AMN  ᔕ  △ABC (theo định lí trang 81). Do đó ta có

Kết hợp với AM = A'B' và giả thiết ta suy ra: AN = A'C',

Hai tam giác AMN và A'B'C' có:

AM = A'B' (theo cách dựng), Â=

Vậy △AMN = △A'B'C' (c.g.c). Vì △AMN ᔕ △ABC nên △A'B'C' ᔕ △ABC.

Những cặp tam giác nào trong Hình 9.17 là đồng dạng? (Các kích thước được tính theo đơn vị centimét). Viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Hình 9.17

Ví dụ 2

Cho △A'B'C' ᔕ △ABC và M, M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B'C'. Chứng minh rằng △A'B'M' ᔕ △ABM.

Giải. (H.9.18)

Hình 9.18

(Trang 87)

Vì △A'B'C' ᔕ △ABC nên và  

Do M, M' lần lượt là trung điểm của BC, B'C' nên

Hai tam giác A'B'M' và ABM có  và (theo chứng minh trên).

Vậy △A'B'M' ᔕ △ABM (c.g.c).

Nhận xét. Nếu △A'B'C' ᔕ △ABC theo tỉ số k và AM, A'M' lần lượt là các đường trung tuyến của △ABC và △A'B'C' thì

Luyện tập 2

Cho △A'B'C' ᔕ △ABC. Trên tia đối của các tia CB, C'B' lần lượt lấy các điểm M, M' sao cho Chứng minh rằng △A'B'M' ᔕ △ABM.

Tranh luận

1. Bạn Lan nhận xét rằng nếu tam giác ABC và tam giác A'B'C' có

Gợi ý. Khi góc ACB tù, lấy điểm M trên tia BC sao cho △AMC cân (H.9.19) rồi xét xem trong hai tam giác ABC và ABM, tam giác nào đồng dạng với tam giác A'B'C'.

Hình 9.19

2. Nếu thêm giả thiết và đều là góc nhọn thì hai tam giác ABC và A'B'C' có đồng dạng không?

3 TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA CỦA TAM GIÁC

Nếu chỉ đo các góc của hai tam giác, ta có thể kiểm tra được hai tam giác đó có đồng dạng không?

Trường hợp đồng dạng góc – góc

Bạn Tròn đang đứng ở vị trí điểm A bên bờ sông và nhờ anh Pi tính giúp khoảng cách từ chỗ mình đứng đến chân một cột cờ tại điểm C bên kia sông (H.9.20a). Anh Pi lấy một vị trí B sao cho AB = 10 m,

(Trang 88)

Hình 9.20

HĐ3 Em hãy dự đoán xem tam giác A'B'C' có đồng dạng với tam giác ABC không? Nếu có thì tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

HĐ4 Nếu △A'B'C' ᔕ △ABC và anh Pi đo được A'C' = 3,76 cm thì khoảng cách từ bạn Tròn đến chân cột cờ là bao nhiêu mét?

Tổng quát, ta có định lí sau:

Định lí (trường hợp đồng dạng góc – góc)

Chứng minh định lí (H.9.21)

GT	△ABC, △A'B'C', , .
LK	△A'B'C' ᔕ △ABC

Hình 9.21

• Nếu A'B' = AB thì △A'B'C' = △ABC (g.c.g). Suy ra △A'B'C' ᔕ △ABC.

• Nếu A'B' ≠ AB thì không mất tính tổng quát, ta giả sử A'B' < AB. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = A'B'. Kẻ đường thẳng qua M song song với BC, cắt AC tại N.

Vì MN // BC nên △AMN ᔕ △ABC (theo định lí trang 81).

Do đó ta có = =

Hai tam giác AMN và A'B'C' có:

Â= Â' (theo giả thiết), AM = A'B' (theo cách dựng), = (chứng minh trên). Vậy △AMN = △A'B'C' (g.c.g). Vì △AMN ᔕ △ABC nên △A'B'C' có △ABC.

(Trang 89)

Những cặp tam giác nào trong Hình 9.22 là đồng dạng? Viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Hình 9.22

Ví dụ 3

Cho △A'B'C' ᔕ △ABC và AM, A'M' lần lượt là các đường phân giác của tam giác ABC và tam giác A'B'C'. Chứng minh rằng △A'B'M' ᔕ △ABM.

Giải. (H.9.23)

GT	△A'B'C' ᔕ △ABC, M ∈ BC,  M' ∈ B'C',   = , = .
KL	△A'B'M' ᔕ △ABM.

Hình 9.23

Vì △A'B'C' ᔕ △ABC nên   và

Vì AM, A'M' lần lượt là các đường phân giác của và nên

Hai tam giác ABM và A'B'M' có

Vậy △A'B'M' ᔕ △ABM (g.g)

Nhận xét. Nếu △A'B'C' ᔕ △ABC theo tỉ số k và AM, A'M' lần lượt là các đường phân giác của phân giác của △ABC và △A'B'C' thì

Luyện tập 3

Cho các điểm A, B, C, D như Hình 9.24. Biết rằng

Hình 9.24

Thử thách nhỏ

Biết rằng ba đường phân giác của tam giác ABC đồng quy tại I, ba đường phân giác của tam giác A'B'C' đồng quy tại I'. Hãy chứng tỏ rằng nếu =

(Trang 90)

BÀI TẬP

9.5. Khẳng định nào sau đây chứng tỏ rằng hai tam giác đồng dạng?

a) Ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh tam giác kia.

b) Hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh tam giác kia và có một cặp góc bằng nhau.

c) Hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia.

d) Hai cạnh của tam giác này bằng hai cạnh của tam giác kia.

9.6. Cho hai tam giác đồng dạng. Tam giác thứ nhất có độ dài ba cạnh là 4 cm, 8 cm và 10 cm. Tam giác thứ hai có chu vi là 33 cm. Độ dài ba cạnh của tam giác thứ hai là bộ ba nào sau đây?

a) 6 cm, 12 cm, 15 cm.                   b) 8 cm, 16 cm, 20 cm.

c) 6 cm, 9 cm, 18 cm.                     d) 8 cm, 10 cm, 15 cm.

9.7. Cho AM, BN, CP là các đường trung tuyến của tam giác ABC. Cho A'M', B'N', C'P' là các đường trung tuyến của tam giác A'B'C'. Biết rằng △A'B'C' ᔕ △ABC.

Chứng minh rằng

9.8. Cho tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 15 cm. Trên các tia AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = 10 cm, AN = 8 cm. Chứng minh rằng △ABC ᔕ △ANM.

9.9. Cho góc BAC và các điểm M, N lần lượt trên các đoạn thẳng AB, AC sao cho =

a) Chứng minh rằng △ABN ᔕ △ACM.

b) Gọi l là giao điểm của BN và CM. Chứng minh rằng IB . IN = IC . IM.

9.10. Có hai chiếc cột dựng thẳng đứng trên mặt đất với chiều cao lần lượt là 3 m và 2 m. Người ta nối hai sợi dây từ đỉnh cột này đến chân cột kia và hai sợi dây cắt nhau tại một điểm (H.9.25), hãy tính độ cao h của điểm đó so với mặt đất.

Hình 9.25