Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng | Toán 8 - Tập 2 | Chương IX: Tam giác đồng dạng - Lớp 8 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

(Trang 93)

Bác thợ muốn xây một cầu thang bắc từ mặt sàn lên sân thượng. Biết rằng bức tường từ sàn lên sân thượng cao 4 m, chân cầu thang cách bức tường 3 m (H.9.31). Hỏi chiều dài của cầu thang là bao nhiêu mét?

Hình 9.31

1 ĐỊNH LÍ PYTHAGORE

Độ dài ba cạnh trong một tam giác vuông có liên hệ gì với nhau không?

Định lí Pythagore

HĐ1 Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3 cm, AC = 4 cm (H.9.32). Hãy đo độ dài cạnh BC và so sánh hai đại lượng với .

Hình 9.32

HĐ2 Lấy giấy trắng cắt bốn tam giác vuông bằng nhau. Gọi a, b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của các tam giác vuông này. Cắt một hình vuông bằng tấm bìa có cạnh dài a + b. Dán bốn tam giác vuông lên tấm bìa như Hình 9.33.

Hình 9.33

- Dùng ê ke kiểm tra xem phần bìa không bị che lấp có phải là hình vuông cạnh bằng c không. Từ đó tính diện tích phần bìa này theo c.

- Tổng diện tích bốn tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông a, b là bao nhiêu?

- Diện tích cả tấm bìa hình vuông cạnh a + b bằng bao nhiêu?

- So sánh

(Trang 94)

Từ các hoạt động trên, ta có định lí sau:

Định lí Pythagore

Chứng minh định lí (H.9.34)

GT	△ABC, Â = 90°
KL

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.

Hai tam giác ABC và HBA có: = 90° = , chung.

Vậy △ABC ᔕ △HBA (g.g). Suy ra hay

Tương tự △ABC ᔕ △HAC. Suy ra hay     (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Chú ý. Người ta cũng chứng minh được định lí sau đây (định lí Pythagore đảo):

Nếu tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

Tìm độ dài x và y trong Hình 9.35.

Hình 9.35

Ví dụ 1

Cho tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = x (cm).

a) Tính x trong trường hợp tam giác ABC vuông tại B (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

b) Tìm x để tam giác ABC vuông tại A.

Giải

a) Nếu tam giác ABC vuông tại B thì theo định lí Pythagore ta có:

, suy ra , hay x = .

Vậy x ≈ 2,6.

b) Theo định lí Pythagore đảo thì tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi . Vậy giá trị x cần tìm thoả mãn

(Trang 95)

Luyện tập 1

Trên giấy kẻ ô vuông (cạnh ô vuông bằng 1 cm), cho các điểm A, B, C như Hình 9.36. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

Hình 9.36

Vận dụng 1

Trở lại tình huống mở đầu. Xem thành cầu thang như cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC (H.9.37). Từ đó, hãy tính độ dài cạnh BC để suy ra chiều dài cầu thang cần xây.

Hình 9.37

2 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ PYTHAGORE

Tính độ dài đoạn thẳng

Bài toán 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Hãy tính độ dài cạnh BC, đường cao AH và các đoạn thẳng BH, CH.

Hình 9.38

Giải. (H.9.38)

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABC, ta được

= 100, hay BC= 10 (cm).

Vì diện tích của tam giác ABC bằng

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông AHB, ta được:

= 12,96 hay BH = 3,6 cm.

Suy ra CH = BC – BH = 10 – 3,6 = 6,4 (cm).

Nhận xét. Nếu tam giác vuông ABC tại A có đường cao AH = h, các cạnh BC = a, AC = b, AB = c thì h . a = b . c.

Luyện tập 2

Cho các tam giác vuông với kích thước như Hình 9.39. Hãy tính độ dài x và cho biết những tam giác nào đồng dạng, viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Hình 9.39

Vận dụng 2

Để đón được một người khách, một xe taxi xuất phát từ vị trí điểm A, chạy dọc một con phố dài 3 km đến điểm B thì rẽ vuông góc sang trái, chạy được 3 km đến điểm C thì tài xế cho xe rẽ vuông góc sang phải, chạy 1 km nữa thì gặp người khách tại điểm D (H.9.40). Hỏi lúc đầu, khoảng cách từ chỗ người lái xe đến người khách là bao nhiêu kilômét?

Hình 9.40

Chứng minh tính chất hình học

Bài toán 2. Một chiếc cột có chiều cao h dựng thẳng đứng trên mặt đất tại điểm M, người ta kéo căng các sợi dây từ đỉnh cột (điểm A) lần lượt đến các điểm C và D trên mặt đất (H.9.41). Biết rằng CM = c, DM = d và c < d. Hãy chứng minh rằng a < b.

Hình 9.41

Giải. (H.9.41)

Áp dụng định lí Pythagore cho hai tam giác vuông AMC và AMD, ta được:

, hay           (1)

và

Vì c < d nên từ (1) và (2) suy ra a < bè. Do đó a < b.

Chú ý. Trong Bài toán 2, nếu gọi AM là đường cao, các đoạn thẳng AC, AD là đường xiên thì đoạn thẳng MC được gọi là hình chiếu của đường xiên AC và đoạn thẳng của MD được gọi là hình chiếu của hình xiên AD.

Cho Hình 9.42, trong các đoạn thẳng AC, AD, AE, đoạn nào có độ dài lớn nhất, đoạn nào có độ dài nhỏ nhất

Hình 9.42

 Luyện tập 3

Trước đây chúng ta thừa nhận định lí về trường hợp bằng nhau đặc biệt của hai tam giác vuông: “Nếu một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau”. Áp dụng định lí Pythagore, em hãy chứng minh định lí trên.

Hình 9.43

(Trang 97)

Thử thách nhỏ

Hãy tính chiều cao theo đơn vị centimét của một tam giác đều cạnh 2 cm (H.9.44) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Hình 9.44

9.17. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) .                 b) .

c) .                 d) .

9.18. Những bộ ba số đo nào dưới đây là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông?

a) 1 cm, 1 cm, 2 cm.                     b) 2 cm, 4 cm, 20 cm.

c) 5 cm, 4 cm, 3 cm.                     d) 2 cm, 2 cm,

9.19. Tính các độ dài x, y, z, t trong Hình 9.45.

Hình 9.45

9.20. Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, chiều cao AH = 3 cm và cạnh đáy BC = 10 cm. Hãy tính độ dài các cạnh bên AB, AC.

9.21. Hãy tính diện tích của một hình chữ nhật có chiều rộng 8 cm và đường chéo dài 17 cm.

9.22. Chú cún bị xích bởi một sợi dây dài 6 m để canh một mảnh vườn giới hạn bởi các điểm A, B, E, F, D trong hình vuông ABCD có cạnh 5 m như Hình 9.46. Đầu xích buộc cố định tại điểm A của mảnh vườn. Hỏi chú cún có thể chạy đến tất cả các điểm của mảnh vườn mình phải canh không?

Hình 9.46