Bài 38: Hình chóp tam giác đều | Toán 8 - Tập 2 | Chương X: Một số hình khối trong thực tiễn - Lớp 8 - Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

(Trang 112)

Những kim tự tháp tại Ai Cập, công trình kiến trúc tại bảo tàng Louvre (Pháp) hay những chiếc rubik,... có dạng hình chóp tứ giác đều, hình chóp tam giác đều,... Đây là những hình khối đẹp, có nhiều ứng dụng trong thực tế đời sống. Chương này chúng ta sẽ tìm hiểu một số vấn đề cơ bản về chúng và những bài toán liên quan.

Đỉnh FANSIPAN (Lào Cai) cao 3 143 m, là đỉnh núi cao nhất Đông Dương. Trên đỉnh núi, người ta đặt một chóp làm bằng inox có dạng hình chóp tam giác đều cạnh đáy dài 60 cm, chiều cao 90 cm (H.10.1). Hỏi tổng diện tích các mặt bên của hình chóp bằng bao nhiêu?

Hình 10.1

(Trang 113)

1 HÌNH CHÓP TAM GIÁC ĐỀU

Hình chóp tam giác đều

• Hình chóp tam giác đều có đáy là một tam giác đều, các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau chung một đỉnh. Đỉnh chung này được gọi là đỉnh của hình chóp tam giác đều.

Trong Hình 10.2, S.ABC là hình chóp tam giác đều.

• Đoạn thẳng nối đỉnh của hình chóp và trọng tâm của tam giác đáy gọi là đường cao của hình chóp tam giác đều.

• Đường cao vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên gọi là trung đoạn của hình chóp tam giác đều.

 Hình 10.2

Hãy gọi tên đỉnh, cạnh bên, mặt bên, mặt đáy, đường cao, trung đoạn của hình chóp tam giác đều S.ABC trong Hình 10.2.

Nhận xét. Hình chóp tam giác đều có:

– Đáy là tam giác đều;

– Mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh;

– Chân đường cao kẻ từ đỉnh tới mặt đáy là điểm cách đều các đỉnh của tam giác đáy.

Thực hành

Sử dụng bìa cứng, cắt và gấp hình chóp tam giác đều với kích thước như Hình 10.3 theo hướng dẫn sau:

Hình 10.3

Bước 1. Vẽ hình khai triển của hình chóp tam giác đều theo kích thước đã cho như Hình 10.4.

Bước 2. Cắt theo viền.

Bước 3. Gấp theo các đường màu cam để được hình chóp tam giác đều (H.10.5).

(Trang 114)

2 DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH CHÓP TAM GIÁC ĐỀU

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều

HĐ1 Quan sát hình chóp tam giác đều và hình khai triển của nó (H.10.6). Hãy tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp.

HĐ2 Hãy tính tích của nửa chu vi mặt đáy với trung đoạn của hình chóp tam giác đều. So sánh kết quả vừa tính với tổng diện tích các mặt bên của hình chóp.

Ví dụ 1

Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều S.ABC trong Hình 10.7. 

Hình 10.7

Giải

Nửa chu vi đáy của hình chóp tam giác đều là:

Trung đoạn của hình chóp tam giác đều là d = SH = 6 cm. Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều S.ABC là:

Luyện tập

Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều S.MNP trong Hình 10.8, biết IP = 3 cm và cạnh bên SP = 5 cm.

(Trang 115)

Thể tích của hình chóp tam giác đều

Hai dụng cụ đựng nước có dạng hình lăng trụ đứng đáy là tam giác đều và hình chóp tam giác đều có thể đặt “chồng khít” lên nhau. Chiều cao của hình chóp tam giác đều bằng chiều cao của hình lăng trụ.

Nếu ta lấy dụng cụ hình chóp tam giác đều múc đầy nước và đổ hết vào dụng cụ hình lăng trụ đứng thì thấy chiều cao của cột nước chỉ bằng chiều cao của hình lăng trụ (H.10.9).

Như vậy:

Hình 10.9

Ví dụ 2

Tính thể tích hình chóp tam giác đều S.ABC trong Hình 10.10, biết cạnh đáy bằng 6 cm, chiều cao của hình chóp SO= 10 cm. Cho biết ≈ 5,2. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hình 10.10

Giải

Trong tam giác đều ABC có CH ⊥ AB nên CH là trung tuyến của △ABC.

Suy ra  

Tam giác AHC vuông tại H nên

Suy ra

Diện tích tam giác ABC là:

Thể tích của hình chóp tam giác đều S.ABC là:

(Trang 116)

Vận dụng

Hình 10.11 mô tả hình chóp trong tình huống mở đầu. Dựa vào đó, em hãy trả lời câu hỏi của bài toán.

Hình 10.11

BÀI TẬP

10.1. Gọi tên đỉnh, cạnh bên, mặt bên, mặt đáy, đường cao và một trung đoạn của hình chóp tam giác đều trong Hình 10.12.

Hình 10.12

10.2. Vẽ và cắt một tam giác đều có cạnh 10 cm (H.10.13) rồi gấp theo đường màu cam để được hình chóp tam giác đều (H.10.14).

Trong các bài tập 10.3, 10.4, hãy làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

10.3. Cho hình chóp tam giác đều S.MNP như Hình 10.15.

a) Tính diện tích tam giác MNP.

b) Tính thể tích hình chóp S.MNP, biết .

Hình 10.15

10.4. Nhà bạn Thu có một đèn trang trí có dạng hình chóp tam giác đều như Hình 10.16. Các cạnh của hình chóp đều bằng nhau và bằng 20 cm. Bạn Thu dự định sẽ dán các mặt bên của đèn bằng những tấm giấy màu. Tính diện tích giấy bạn Thu sử dụng (coi như mép dán không đáng kể). Cho biết .

Hình 10.16