Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số | Bài giải GIẢI TÍCH 12 | CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ - Lớp 12 - Sách Bài Giải

Câu hỏi 1 trang 20 SGK

Xét tính đồng biến, nghịch biến và tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Lời giải:

a) Ta có: y' = 2x ≤ 0 trên đoạn [-3 ; 0]. Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn [-3 ; 0].

Khi đó trên đoạn [-3 ; 0]: hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = -3 và giá trị lớn nhất bằng 9, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0 và giá trị nhỏ nhất = 0.

b) Ta có:  trên đoạn [3 ; 5]. Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn [3 ; 5].

Khi đó trên đoạn [3 ; 5]: hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 3 và giá trị lớn nhất bằng 2, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 5 và giá trị nhỏ nhất bằng 3/2.

Câu hỏi 2 trang 21 SGK

Cho hàm số  có đồ thị như Hình 10. Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2 ; 3] và nêu cách tính.

Lời giải:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2 ; 3] là điểm thấp nhất của đồ thị trên đoạn đó. Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -2. Thay x = -2 vào hàm số y đã cho ta có giá trị nhỏ nhất là -2.

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2 ; 3] là điểm cao nhất của đồ thị trên đoạn đó. Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 3. Thay x = 3 vào hàm số y đã cho ta có giá trị lớn nhất là 3.

Câu hỏi 3 trang 23 SGK

Lập bảng biến thiên của hàm số

Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của f(x) trên tập xác định.

Lời giải:

1.TXĐ: D = ℝ.

2.

 thì ⇔ x = 0.

3. Bảng biến thiên:

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là – 1 tại x = 0.

Bài 1 trang 23 SGK

Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y = x³ - 3x² - 9x + 35 trên các đoạn [-4 ; 4] và [0 ; 5];

b) y = x⁴ - 3x² + 2 trên các đoạn [0 ; 3] và [2 ; 5];

c) trên các đoạn [2 ; 4] và [-3 ; -2];

d) trên đoạn [-1 ; 1].

Lời giải:

a) TXĐ: D = R.

y' = 3x² - 6x - 9;

y' = 0 ⇔ x = –1 hoặc x = 3.

+ Xét hàm số trên đoạn [-4 ; 4] :

y(-4) = -41;

y(-1) = 40;

y(3) = 8

y(4) = 15.

+ Xét hàm số trên [0 ; 5].

y(0) = 35;

y(3) = 8;

y(5) = 40.

b) TXĐ: D = R

y' = 4x³ - 6x

y’ = 0 ⇔ 2x.(2x² – 3) = 0 ⇔

+ Xét hàm số trên [0 ; 3] :

+ Xét hàm số trên [2 ; 5] :

y(2) = 6;

y(5) = 552.

c) TXĐ: D = (-∞; 1) ∪ (1; +∞)

> 0 với ∀ x ∈ D.

⇒ hàm số đồng biến trên (-∞ ; 1) và (1 ; +∞).

⇒ Hàm số đồng biến trên [2 ; 4] và [-3 ; -2]

d) TXĐ: D = (-∞ ; 5/4]

Ta có: < 0 với ∀ x ∈ (-∞ ; 5/4)

Suy ra hàm số nghịch biến trên (-∞ ; 5/4)

Do đó hàm số nghịch biến trên [-1 ; 1]

Vậy .

Kiến thức áp dụng

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên [a; b]. + Tìm các điểm xi trên khoảng (a; b) sao cho tại đó f’(xi) = 0 hoặc không xác định. + Tính f(a); f(xi); f(b). + Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có: Nếu hàm số đồng biến trên [a; b] thì Nếu hàm số nghịch biến trên [a; b] thì

Bài 2 trang 24 SGK

Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Lời giải:

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 16 : 2 = 8cm.

Gọi độ dài 1 cạnh của hình chữ nhật là x (cm)

⇒ độ dài cạnh còn lại là : 8 – x (cm)

⇒ Diện tích của hình chữ nhật là:

S = x(8 – x) = 8x – x² = 16 – (16 – 8x + x²) = 16 – (x – 4)² ≤ 16.

⇒ S_max = 16

Dấu bằng xảy ra khi (x – 4)² = 0 ⇔ x = 4.

Vậy trong các hình chữ nhật có chu vi 16cm thì hình vuông cạnh bằng 4cm có diện tích lớn nhất bằng 16cm².

Kiến thức áp dụng

Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại xo ∈ D để f(xo) = M.

Bài 3 trang 24 SGK

Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích 48 m², hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi độ dài một cạnh của hình chữ nhật là x (m) (điều kiện: x > 0).

Suy ra độ dài cạnh còn lại là:   (m)

Do đó chu vi hình chữ nhật:

Xét hàm số trên (0 ; +∞)

Ta có: P'(x) = 2 - 96/x²

P'(x) = 0 ⇔ 2 - 96/x² = 0

⇔ x² = 48 => x = 4√3

Bảng biến thiên trên (0; +∞):

Suy ra

Suy ra cạnh của hình chữ nhật là x =  4√3  và 48/x = 48/4√3 = 4√3

Vậy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích 48 m² thì hình vuông cạnh 4√3 m có chu vi nhỏ nhất.

Kiến thức áp dụng

Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại xo ∈ D để f(xo) = M.

Bài 4 trang 24 SGK

Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

Lời giải:

a) TXĐ: D = R

Ta thấy: 1 + x² ≥ 1

⇒  đạt được khi 1 + x² = 1 ⇔ x = 0.

b) TXĐ : D = R

⇒ y' = 12x² - 12x³ = 12x²(1 - x)

y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: max y = y(1) = 1.

Kiến thức áp dụng

Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại xo ∈ D để f(xo) = M.

Bài 5 trang 24 SGK

Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

Lời giải:

a)

- Cách 1:

Ta có: y = |x| ≥ 0 ∀ x

⇒ Hàm số có giá trị nhỏ nhất là min y = 0 khi x = 0.

- Cách 2:

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: min y = 0

b) D = (0 ; +∞)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: min y = y(2) = 4

Kiến thức áp dụng

Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại xo ∈ D để f(xo) = M.